2021-2022学年黑龙江省大庆市肇源县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2021-2022学年黑龙江省大庆市肇源县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是(    )

A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，

2. 在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若函数为反比例函数，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 菱形不具备的性质是(    )

A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 对角线互相垂直 D. 对角线一定相等

5. 若将一元二次方程化成的形式，则，的值分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

7. 正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，轴于点，轴于点如图，则四边形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 已知点在第一象限的角平分线上，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

9. 如图，是的中线，点在上，，连接并延长交于点，则：的值是(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

10. 已知一元二次方程，给出下列命题：若，则；若方程两根为和，则；若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实根．其中真命题有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 若关于的方程有一个根是，则______．
12. 某种灯的使用寿命为小时，它的可使用天数与平均每天使用的小时数之间的关系式为______ ．
13. 从正面和左面看一个长方体得到的形状图如图所示单位：，则其从上面看到的形状图的面积为______．

14. 如图，是反比例函数的常数图象上第二象限内的一点，轴且的面积为，则的值为______．

15. 如图，在中，点，分别在边，上，若，则与四边形的面积比是______．

16. 如图，光源在水平横杆的上方，照射横杆得到它在平地上的影子为点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，不难发现已知，，点到横杆的距离是，则点到地面的距离等于______
17. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至腰部的长度与腰部至足底的长度之比是黄金分割比例在设计人体雕像时，雕像如图所示的腰部以下长为，身高的，如果我们选择最美设计方案，当为米时，则约为______ 米，精确到米

18. 如图，菱形中，，点、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点，则下列结论：≌，，，中，正确的是______．

三、解答题（本大题共10小题，共66分）

19. 解下列方程：
    ．
    ．
20. 已知线段，，满足，且求线段，，的长．
21. 如图，在矩形中，点、分别在边、上，∽，，，，求的长．

22. 已知关于的方程．
    求证：此方程有两个不相等的实数根；
    设此方程的两个根分别为，，若求的值．
23. 如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，正方形网格中，每个小正方形的边长为．
    以点为位似中心，在第三象限画出，使与位似，
    且位似比为：；
    画出将线段绕点顺时针旋转所得的线段，并求出点旋转到点所经过的路径长．

24. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，，交于点，求证：．

25. 国土资源部提出“保经济增长、保耕地红线”行动，坚持实行最严格的耕地保护制度，某村响应国家号召，年有耕地亩，经过改造后，年有耕地亩．
    求该村耕地两年平均增长率；
    按照中平均增长率，求年该村耕地拥有量．
26. 如图，一次函数、为常数，的图象与轴、轴分别交于、两点，且与反比例函数为常数且的图象在第二象限交于点，轴，垂足为，若．
    求一次函数与反比例函数的解析式；
    求两个函数图象的另一个交点的坐标；
    请观察图象，直接写出不等式的解集．

27. 年月日，第届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱．某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为每件元，据市场分析，若按每件元销售，一个月能售出件；销售单价每涨元，月销售量就减少件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：
    当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到元．
    商店想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，则销售定价应为多少元？
28. 如图，已知菱形，点是上的点，连接，点关于的对称点恰好落在边上，连接、，延长，交延长线于点．
    求证：∽；
    连接，若，菱形的边长为．
    求菱形的面积；
    求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项符合题意；
D、，故选项不符合题意．
故选：．
如果其中两条线段的比即它们的长度比与另两条线段的比相等，则四条线段叫成比例线段．根据比例性质对选项一一分析，排除错误答案．
此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
 

2.【答案】 

【解析】解：设这栋楼的高度为，
在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，
，解得．
故选：．
根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
本题考查平行投影及相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故选D．
根据反比例函数的定义．即，只需令即可．
本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质，轴对称的概念和中心对称的概念熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
根据菱形的性质，轴对称的概念和中心对称的概念对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】
解：菱形沿任意一条对角线所在的直线折叠两旁的部分能够重合所以是轴对称图形，故正确；
B.菱形绕着对角线的交点旋转能够与原来的图形重合所以是中心对称图形，故正确；
C.据菱形的性质知对角线互相垂直，故正确；
D.菱形的对角线互相垂直平分但不一定相等，故不正确；
故选D．  

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，
故选：．
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根的情况，本题属于基础题型．根据根的判别式即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：，
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：解方程组 得，
即：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点的坐标分别为
所以点的坐标为，点的坐标为
因为，轴于点，轴于点
所以，与均是直角三角形
则：，
即：四边形的面积是
联立正比例函数与反比例函数的解析式，解方程组得点、、、的坐标，然后在求四边形的面积．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解反比例函数与一次函数的图形的交点坐标是其解析式联立而成的方程组的解
 

8.【答案】 

【解析】解：点在第一象限的角平分线上，
，
，
解得，，
当时，，
点在第三象限，不符合题意，
所以的值为．
故选：．
根据第一象限角平分线上点的横坐标与纵坐标相等列方程求解，再根据第一象限点的横坐标与纵坐标都是正数作出判断．
本题考查了点的坐标，熟记第一象限平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键，易错点在于要注意对求出的解进行判断．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作，与交于点．
，
，
是的中线
，
，即
，即，
：：：．
故选：．
过点作，与交于点于是，，因此：：：．
本题考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线充分利用平行线分线段成比例的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
方程有一根为，
又，
，这是真命题，故符合题意；
由根与系数的关系可知，，
整理得：，这是真命题，故符合题意；
方程有两个不相等的实根，
，
，
方程必有两个不相等的实根，这是真命题，故符合题意；
真命题有个，
故选：．
，说明原方程有一根是，，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，；
已知方程两根的值，可利用根与系数的关系变形，得出结论；
判断方程的根的情况，只要看根的判别式的符号就可以了．
本题考查命题与定理，熟记一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．把代入方程得出，求出方程的解即可．
【解答】
解：关于的方程有一个根是，
把代入方程得：，
解得：，
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
根据等量关系“工作时间工作总量工效”即可列出关系式．本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系．
【解答】

解：由题意得：使用天数与平均每天使用的小时数之间的关系式为．
故本题答案为：．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据从左面、从上面看到的形状图的相关数据可得：
从正面看到的形状图是长为宽为的长方形，
则从正面看到的形状图的面积是；
故答案为：．
先根据从左面、从正面看到的形状图的相关数据可得，从正面看到的形状图是长为宽为的长方形，再根据长方形的面积公式计算即可．
此题考查了由三视图判断几何体，关键是根据从左面、从上面看到的形状图的相关数据得出从正面看到的形状图是长为宽为的长方形．
 

14.【答案】 

【解析】解：轴且的面积为，
，
故答案为：．
根据反比例函数的几何意义求即可．
本题考查了反比例函数的几何意义，注意的符合是关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，
与四边形的面积比是，
故答案为：．
通过证明∽，可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，作于点，
，
∽，，
∽，
，
即：，
解得．
故答案为：．
易得∽，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比可得与间的距离．
考查相似三角形的应用；用到的知识点为：相似三角形对应边的比等于对应高的比．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意得，，即，
解得，米，
故答案为：．
根据黄金比值是列式计算即可．
本题考查的是黄金分割的概念，掌握黄金比值是是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，
，
，
即是等边三角形，
同理：是等边三角形
，
在和中，
，
≌；
故正确；
由得，
，
；
故正确；
在上截取，连接，
，
点，，，四点共圆，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
；
故正确；
，，
∽，
：：，
．
故正确．
故答案为：．
由菱形中，，易证得是等边三角形，则可得，由即可证得≌；
由则可得，利用三角形外角的性质，即可求得；
在上截取，连接，易得点，，，四点共圆，则可证得是等边三角形，然后由即可证得≌，则可证得；
根据已知条件易证得∽，由相似三角形的对应边成比例，即可得．
此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 

19.【答案】解：方程整理得：，
开方得：，
解得：，；
方程整理得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，． 

【解析】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；
方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程直接开平方法，因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：设，
则，，，

，
解得，
，
，
． 

【解析】设，然后用表示出、、，再代入求解得到，即可得到、、的值．
本题考查了比例的性质，比例线段，关键是利用“设法”用表示出、、解答．
 

21.【答案】解：∽，，，，
，即，解得，
． 

【解析】先根据相似三角形的性质求出的长，再由勾股定理即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
 

22.【答案】证明：，
方程有两个不相等的实数根；
解：，，
，
化简，得，
解得或． 

【解析】根据一元二次方程根的判别式，即可得证；
根据根与系数的关系可得，，再根据解方程即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，为所作；

如图，为所作，
，
点旋转到点所经过的路径长 

【解析】把、、点的横纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点，从而得到，然后利用弧长公式计算点旋转到点所经过的路径长．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

24.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，
，，
，
又，
同角的余角相等，
在和中
，
≌．
． 

【解析】根据，利用同角的余角相等得出，再根据即可证出≌．
此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定，利用正方形性质得出是解题关键．
 

25.【答案】解：设该村耕地两年平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该村耕地两年平均增长率为．
亩．
答：年该村拥有耕地亩． 

【解析】设该村耕地两年平均增长率为，利用年该村耕地拥有量年该村耕地拥有量年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
年该村耕地拥有量年该村耕地拥有量年平均增长率，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

26.【答案】解：，
，，，
，
，
∽，
，
，
，
点坐标是，
，，
，解得，
一次函数为．
反比例函数经过点，
，
反比例函数解析式为．
由，解得或，
的坐标为．
由图象可知的解集是：或． 

【解析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用解方程组解决，学会利用图象确定自变量取值范围，属于中考常考题型．
先求出、、坐标，再利用待定系数法确定函数解析式．
两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可解决问题．
根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题．
 

27.【答案】解：设销售单价涨元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：当销售单价涨元或元时，月销售利润能够达到元．
当时，月销售成本为，不合题意，舍去；
当时，月销售成本为，符合题意，此时．
答：销售定价应为元． 

【解析】设销售单价涨元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用月销售利润每件的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
利用月销售成本每件的销售成本月销售量，可分别求出取各值的月销售成本，结合月销售成本不超过元，即可得出销售定价应为元．
本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及代数式求值，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，求出取各值的月销售成本．
 

28.【答案】解：四边形是菱形，
，
由对称知，，
，
四边形是菱形，
，
，
∽；

如图，连接，相交于，
四边形是菱形，
，，，
在中，根据勾股定理得，，
，
；

过点作于，
，
由知，，
，
，
在中，，
由对称知，，
，
，
由知，∽，
，
，
，
． 

【解析】由菱形的性质判断出，，再由对称得出，得出，即可得出结论；
先利用勾股定理求出，进而得出，即可得出结论；
先利用菱形的面积求出，再用勾股定理求出，进而得出，最后借助的结论得出，即可求出，即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，对称的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出∽是解本题的关键．