高考数学一轮复习考点规范练23解三角形含解析新人教版

考点规范练23　解三角形

一、基础巩固

1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,b=2,A=60°,则c等于(　　)

A B.1 C D.2

答案:B

解析:由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.

2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosA=bcosB,则△ABC的形状是(　　)

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

答案:D

解析:∵acosA=bcosB,

∴sinAcosA=sinBcosB,

∴sin2A=sin2B,

∴A=B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°,

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.

3.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccos A+acosC=2bcos B,△ABC的面积S=,则b等于(　　)

A B.4 

C.3 D

答案:A

解析:由题意可得,2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,∵sinB≠0,

∴cosB=B∈(0,π),∴B=

又S=acsinB=1×c,

∴c=4.

∵b2=a2+c2-2accosB=1+16-2×1×4=13,

∴b=

4.(2021陕西西安中学模拟)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC=15°,A地测得最高点H的仰角为∠HAO=30°,则该仪器的垂直弹射高度CH为(　　)米.

A.210() B.140

C.210 D.20()

答案:B

解析:设AC=x,则BC=x-40,

在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2·AC·AB·cos∠BAC,

即(x-40)2=x2+1002-100x,解得x=420.

在△ACH中,AC=420,∠CAH=15°+30°=45°,∠CHA=90°-30°=60°,

由正弦定理,得,即,解得CH=140

5.(2021云南红河三模)如图所示,若网格中小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点处,则△ABC外接圆的面积为(　　)

A B C D

答案:C

解析:设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.

由题图可知a=3,b=,c=,由余弦定理,得cosC=,从而sinC=

设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理,得2R=,解得R=,故△ABC外接圆的面积S=πR2=

6.设△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,sin A,sinB,sinC成等比数列,则这个三角形的形状是 (　　)

A.直角三角形 B.钝角三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

答案:D

解析:∵△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,

∴B=

∵sinA,sinB,sinC成等比数列,∴sin2B=sinAsinC.

由正弦定理得b2=ac.

在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos,

∴ac=a2+c2-ac,∴(a-c)2=0,∴a=c,

∴△ABC为等边三角形.

7.在△ABC中,cosC=,AC=4,BC=3,则tan B等于(　　)

A B.2

C.4 D.8

答案:C

解析:由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=16+9-2×4×3=9,即AB=3.

由余弦定理的推论知cosB=,又cos2B+sin2B=1,且B∈(0,π),解得sinB=,故tanB==4故选C.

8.(多选)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,c=3,A+3C=π,则下列结论正确的是(　　)

A.cosC= B.sin B=

C.a=3 D.S△ABC=

答案:AD

解析:由A+3C=π,得B=2C.

根据正弦定理,得2sinC=3×2sinCcosC,

又sinC≠0,故cosC=

因为C∈(0,π),

所以sinC=,

sinB=sin2C=2sinCcosC=

由c2=a2+b2-2abcosC,化简得到a2-4a+3=0,解得a=3或a=1.

若a=3,则A=C=,B=,不满足题意,故a=1.

S△ABC=absinC=1×2

9.如图,为了测量两山顶D,C间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,在A位置时,观察点D的俯角为75°,观察点C的俯角为30°;在B位置时,观察点D的俯角为45°,观察点C的俯角为60°,且AB= km,则C,D之间的距离为　　　　　km. 

答案:

解析:在△ABD中,∵∠BAD=75°,∠ABD=45°,∴∠ADB=60°.

由正弦定理可得,

即,

得AD=km.

由题意得∠ABC=120°,∠BAC=∠BCA=30°,

则BC=AB=km,于是AC=3km.

在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠DAC=5,即CD=km.

10.(2021辽宁大连一模)如图,AB是底部不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).

(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;

注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.

(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际高度有误差,请你针对误差情况进行说明.

解:(1)选用测角仪和米尺.测量方法如下:

①选择一条水平基线HG(如图),使H,G,B三点共线;

②在G,H两点分别用测角仪测得A的仰角为α,β,用米尺测量得CD=a,测角仪的高为h.

③经计算建筑物的高度AB=+h

(2)①测量工具问题;②两次测量时位置的间距差;③用身高代替测角仪的高度.

二、综合应用

11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,b=4,则△ABC的面积的最大值为(　　)

A.4 B.2 C.2 D

答案:A

解析:∵在△ABC中,,

∴(2a-c)cosB=bcosC.

由正弦定理,得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.

则2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.

∵sinA≠0,∴cosB=,

即B=

由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,故ac≤16,当且仅当a=c时,取等号,

因此,△ABC的面积S=acsinB=ac≤4,故选A.

12.(2021河南郑州二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D.若a+4c的最小值为9,则BD=　　　　　. 

答案:

解析:如图,∠ABC的平分线交AC于点D,

所以∠ABD=∠CBD=45°,

所以SΔABC=acsin90°=c·BD·sin45°+a·BD·sin45°,

可得2ac=c·BD+a·BD,可得=1,

所以a+4c=BD,

所以a+4c=BDBDBD=9,

当且仅当a=2c时取等号,所以BD=

13.某学校高一同学参加社会实践活动,应用所学知识测量一个四边形公园的面积,如图所示,测得公园的四边边长分别为AB=1 km,BC=3 km,CD=AD=2 km,∠A=120°,则公园的面积为　　　　　 km2.当地政府规划建一条圆形的公路,使得整个公园都在圆形公路的里面,则这条公路的总长度的最小值为　　　　　km.(备注:把公路看成一条曲线,公路宽度不计) 

答案:2

解析:连接BD(图略),由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA=1+4-2×1×2×cos120°=7,

所以cosC=,则C=60°,则四边形ABCD的面积等于S△ABD+S△BDC=AB·ADsinA+CD·CBsinC=1×2×sin120°+2×3×sin60°=2

由∠A+∠C=180°,得四边形ABCD存在外接圆,即为△ABD的外接圆.设外接圆半径为R,则由正弦定理可知=2R,则R=,所以当公路恰为四边形的外接圆时其长度最小,最小值为2π

14.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,

(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个:①a=7,②b=10,③c=8,④△ABC的面积S=10,请指出这三个条件,并说明理由;

(2)若a=3,求△ABC周长L的取值范围.

解:因为,

所以sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC,

sinAcosB-cosAsinB=cosAsinC-sinAcosC,

所以sin(A-B)=sin(C-A),

因为A,B,C∈(0,π),所以A-B=C-A,

即2A=B+C,所以A=

(1)△ABC还同时满足条件①③④,理由如下:

若△ABC同时满足条件①②,则由正弦定理,得sinB=>1,这不可能,所以△ABC不能同时满足条件①②,所以△ABC同时满足条件③④.

因为△ABC的面积S=bcsinA=b×8=10,

所以b=5,与②矛盾,所以△ABC同时满足条件①③④.

(2)在△ABC中,由正弦定理,得=2,因为C=-B,

所以b=2sinB,c=2sin,

所以L=a+b+c=2sinB+sin-B+3=6sinB+cosB+3=6sin+3.

因为B,所以B+,sinB+,所以△ABC周长L的取值范围为(6,9].

三、探究创新

15.(多选)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,若a=2csin A,且0<C<,b=4,则下列说法正确的是(　　)

A.C=

B.若c=,则cosB=

C.若sin A=2cos BsinC,则△ABC是等边三角形

D.若△ABC的面积是2,则该三角形外接圆的半径为4

答案:AC

解析:由正弦定理可将条件a=2csinA转化为sinA=2sinCsinA,因为sinA≠0,所以sinC=,因为C,所以C=,故A正确;

若c=,则由正弦定理可知,则sinB=sinC=,因为B∈(0,π),b>c,所以cosB=±=±=±,故B错误;

若sinA=2cosBsinC,则根据正弦定理可得a=2ccosB,

因为a=2csinA,即a=csinA,即有csinA=2ccosB,所以sinA=cosB.

因为A+B=π-C=,则A=-B,所以sin-B=cosB,整理得cosB+sinB=cosB,即sinB=cosB,解得tanB=,故B=,则A=

因为A=B=C=,所以△ABC是等边三角形,故C正确;

若△ABC的面积是2,即absinC=2,解得a=2,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=4+16-2×2×4=12,即c=2

设△ABC的外接圆半径是R,由正弦定理可得2R==4,则该三角形外接圆半径为2,故D错误.

16.如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,　　　　,DC=2,在下面给出的三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解答. 

①3AB=4BC,sin∠ACB=;②tan∠BAC+=;③2BCcos∠ACB=2AC-AB.

(1)求∠DAC;

(2)求△ADC面积的最大值.

解:若选①:

(1)在△ABC中,由正弦定理,得,

∵3AB=4BC,sin∠ACB=,

∴sin∠BAC=

∵AB⊥AD,则0<∠BAC<,

∴∠BAC=,∴∠DAC=

(2)在△ADC中,DC=2,由余弦定理,得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,即AC·AD≤4,

则S△ADC=AC·ADsin∠DAC4

当且仅当AC=AD时取“=”.

故△ADC面积的最大值为

若选②:

(1)由tan,可得∠BAC=,

∵AB⊥AD,∴∠BAD=,∴∠DAC=

(2)在△ADC中,DC=2,由余弦定理,得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,即AC·AD≤4.

则S△ADC=AC·ADsin∠DAC4,

当且仅当AC=AD时取“=”.

故△ADC面积的最大值为

若选③:

(1)已知2BCcos∠ACB=2AC-AB,由正弦定理,得2sin∠BACcos∠ACB=2sin∠ABC-sin∠ACB,

则2sin∠BACcos∠ACB=2sin(∠ACB+∠BAC)-sin∠ACB,

得2sin∠BACcos∠ACB=2sin∠ACBcos∠BAC+2cos∠ACBsin∠BAC-sin∠ACB,

即2sin∠ACBcos∠BAC=sin∠ACB.

∵sin∠ACB>0,∴cos∠BAC=

∵∠BAC∈(0,π),∴∠BAC=

又AB⊥AD,∴∠BAD=,

∴∠DAC=

(2)在△ADC中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,即AC·AD≤4,

则S△ADC=AC·ADsin∠DAC4,

当且仅当AC=AD时取“=”.

故△ADC面积的最大值为