【通用版】2023届高考数学一轮复习数列专练（4）等比数列的概念

（4）等比数列的概念

1.在正项等比数列中，，且是和的等差中项，则(   )

A.8 B.6 C.3 D.

2.已知等比数列的各项均为正数，且，则(   )

A.10 B.12 C. D.

3.已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为(   )

A.12 B.18 C.24 D.32

4.在等比数列中，已知，则该数列的公比是(   )

A.-3 B.3 C. D.9

5.已知数列满足，则“”是“数列是等比数列”的(   )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

6.已知等比数列的前5项积为32，，则的取值范围为(   )

A. B. C. D.

7.已知等比数列的各项均为正数，若，则(   )

A.1 B.3 C.6 D.9

8.在等比数列中，若，，则的值为(   )

A.12 B.21 C.192 D.198

9.已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，则(   )

A. B. C. D.

10.已知数列满足，则中整数项的个数为(   )

A.20 B.21 C.22 D.23

11.已知数列是等比数列，，，则_________.

12.等比数列的各项均为实数，已知，，则_____________.

13.若无穷等比数列的各项均大于1，且满足，，则公比__________.

14.已知公比的等比数列满足，.若，且数列是递增数列，则实数的取值范围是______________.

15.已知等比数列的前n项和为，且.

(1)求与；

(2)记，求数列的前n项和.

答案以及解析

1.答案：B

解析：设正项等比数列的公比为q，则.

因为，是和的等差中项，所以，

所以，由于，，

所以，，

解得或（舍去），故.

故选B.

2.答案：A

解析：，，，.故选A.

3.答案：C

解析：设正项等比数列的公比为，则，，令，，则，当且仅当时取等号，则的最小值为24.

4.答案：B

解析：设的公比为q，根据题意知，，所以.又，所以.

5.答案：A

解析：由，得，

又，所以数列是公比为2的等比数列；

当数列是等比数列时，假设其公比不为2，则不满足.

因此“”是“数列是等比数列”的充分不必要条件，故选A.

6.答案：C

解析：因为等比数列的前5项积为32，所以，解得，则，，易知函数在上单调递增，所以，故选C.

7.答案：D

解析：因为等比数列的各项均为正数，所以，所以，所以，故选D.

8.答案：C

解析：设等比数列的公比为q，则，则.

9.答案：A

解析：由，，成等差数列，得，在等比数列中，有，因为各项都是正数，所以，得或（舍去），所以.

10.答案：C

解析：由题意得，，故，故是公比为的等比数列，所以，故，故当时，为整数，时，不为整数，又是整数，故中整数项的个数为22.

11.答案：4

解析：设等比数列的公比为q，由题知，，

，.

又，.

12.答案：1024

解析：设等比数列的公比为，由，，可得，则，代入可得.则.

13.答案：2

解析：因为数列是等比数列，所以.又因为，解得或由无穷等比数列的各项均大于1，可知，所以因为，所以，解得（负值舍去）.

14.答案：

解析：或（舍去），，所以数列的通项公式为，所以，所以.因为数列是递增数列，所以，所以，化简得.因为，所以.

15.答案：(1)；.

(2).

解析：(1)由得，
当时，得；
当时，，
得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以.
所以.
(2)由(1)可得，

则，
，
两式相减得，
所以

.