2022版高考数学二轮复习 课时作业13

课时作业(十三)

一、选择题

1．下列说法正确的有(　A　)

①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；

③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；

④圆锥的轴截面是等腰三角形．

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【解析】　①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①不正确；②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的．

2．(2021·江苏高考真题)若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是(　C　)

A．∶1 B．2∶1

C．1∶ D．1∶2

【解析】　

根据题意作图，

设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l.

若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，

则有2rcos 45°＝l，l＝r.

该圆锥的底面积与侧面积比值为＝＝.故选C.

3．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示)，下底面是边长为2的正方形，上棱EF＝，EF∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为(　B　)

A．6 B．　

C．　　 D．12

【解析】　

如图，作FN∥AE，FM∥ED，

则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，

则该刍甍的体积为：

VF-MNBC＋VADE-NMF＝S四边形MNBC·2＋S直截面·＝×2××2＋×＝.故选B.

4．用半径为3 cm，圆心角为的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为(　B　)

A．1 cm B．2 cm

C. cm D．2 cm

【解析】　设圆锥的底面半径为r cm，

由题意底面圆的周长即扇形的弧长，可得2πr＝×3，

即底面圆的半径为1，

所以圆锥的高h＝＝2.故选B.

5．《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求球的直径d的公式d＝.若球的半径为r＝1，根据“开立圆术”的方法计算该球的体积为(　D　)

A．π B．　

C． D．

【解析】　根据公式d＝得，2＝，

解得V＝.故选D.

6．(2021·全国高三模拟)已知一个几何体的三视图如图，则其外接球的体积为(　C　)

A．18π　 B．27π　

C．36π　　 D．45π

【解析】　根据三视图还原原几何体，如下图所示：

由图可知，该几何体为三棱锥A-BCD，且AB⊥平面BCD，将三棱锥A-BCD补成长方体AEFG-BCDH，

所以，三棱锥A-BCD的外接球直径为2R＝＝6，故R＝3，

因此，该几何体的外接球的体积为V＝πR3＝36π.故选C.

7．(2021·沂水县第一中学高三模拟)阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球(与圆柱的两底面及侧面都相切的球)的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为(　C　)

A． B．　

C． D．

【解析】　设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，

则圆柱的表面积为S＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，球的表面积为S球＝4πR2.

所以，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为＝.故选C.

8．(2021·榆林模拟)阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥．已知在阳马P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝3，且阳马P-ABCD的体积为9，则阳马P-ABCD外接球表面积的最小值是(　C　)

A．　 B．9π　

C．27π　　 D．27π

【解析】　由题意可知阳马的体积为：AB·BC·PD＝AB·BC＝9，设阳马的外接球的半径为R，则4R2＝AB2＋BC2＋PD2＝AB2＋BC2＋9≥2AB·BC＋9＝27，当且仅当AB＝BC时等号成立，所以阳马的外接球的表面积4πR2≥27π.故选C.

二、填空题

9．(2020·江苏省泰州中学、宜兴中学、江都中学联考)已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为__6π__.

【解析】　因为圆柱的表面积为2πr2＋2πrl，r＝1，l＝2，所以圆柱的表面积为6π.

10．若正四棱锥的底面边长为2，侧面积为4，则它的体积为__8__.

【解析】　

设四棱锥为P-ABCD，底面ABCD的中心为O，取CD中点E，连结PE，OE，

则PE⊥CD，OE＝，

∵S侧面＝4S△PCD＝4××CD×PE＝4，

∴PE＝，PO＝3，

∴正四棱锥体积V＝×2×2×3＝8.

11．(文)(2021·贵州省瓮安中学高三模拟)已知过球面上三点A、B、C的截面到球心距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝6，AC＝4，则球面面积为__54π__.

【解析】　如图所示，设外接球O，截面圆圆心为O1，连接BO，BO1，OO1，则OO1⊥BO1.

cos B＝＝，

∴sin B＝，

∴BO1＝＝

∵OB＝2OO1，

∴∠OBO1＝，

∴BO＝＝，

∴球面面积为S＝4πR2＝54π，

故答案为54π.

三、解答题

12．(2021·浙江高三期末)如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝5，BB1＝4，CC1＝3，求：

(1)该几何体的体积；

(2)该几何体的表面积．

【解析】　(1)把几何体ABC-A1B1C1补成直棱柱A1B1C1-ADE，如图，过C作与底面平行的截面CMN，则截得两个直棱柱，则AM＝2，BN＝BD＝1，CE＝2，

S△A1B1C1＝×2×2＝2，

VADE-MNC＝2×2＝4，VMNC-A1B1C1＝2×3＝6，

所以VABC-A1B1C1＝6＋4×＝8.(也可求出四棱锥C-ABNM的体积为2)

(2)A1C1＝2，

因此S梯ABB1A1＝×(5＋4)×2＝9，

S梯BB1C1C＝×(4＋3)×2＝7，

S梯CC1A1A＝×(3＋5)×2＝8，

又AC＝＝2，

BC＝＝＝AB，

等腰三角形ABC的底边AC上的高为

h＝＝，

S△ABC＝×2×＝，

所以所求表面积为

S＝2＋＋9＋7＋8＝18＋8＋.

13．(2021·江西高三模拟)长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别为AB，CD的中点，沿对角线AC把纸片折成空间四边形ABCD′.

(1)求四面体ABCD′的外接球的表面积；

(2)当折起到平面ACD′垂直于平面ABC的位置时，求四面体AEFC的体积．

【解析】　

(1)设AC的中点为O，依题意可知，OA＝OB＝OC＝OD′，所以点O为四面体ABCD′的外接球的球心，显然，其半径R＝AC＝，故外接球的表面积S球＝4πR2＝25π.

(2)由等面积法易得直角△D′AC斜边AC上的高为，当平面ACD′⊥平面ABC时，显然，直角△D′AC斜边AC上的高即为三棱锥D′-ABC的高，又E、F分别是AB、CD′的中点，所以四面体AEFC的体积VAEFC＝VF-AEC＝VD′-ABC＝××6×＝.