2021-2022学年福建省厦门九中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省厦门九中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 若二次根式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下面各组数是三角形的三边的长，则能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 当时，函数的函数值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 矩形具有而菱形不具有的性质是(    )

A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等

5. 平行四边形的周长为，的角平分线交边所在直线于点，且：：，则边的长度是(    )

A.  B.  C.  D. 或

6. 如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 问题：已知：如图，四边形是菱形，、是直线上两点，求证：四边形是菱形．
   几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是(    )
   甲：利用全等，证明四边形四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
   乙：连接，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形是菱形；
   丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．

A. 甲、乙对，丙错 B. 乙、丙对，甲错 C. 三个人都对 D. 甲、丙对，乙错

8. 如图，是边长为的正方形的对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，点的坐标为，点是轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，设点的横坐标为，则点的纵坐标与的函数解析式是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 计算：
    ______；
    ______．
12. 如图，某个函数的图象由线段和线段组成，其中，，，则此函数的最大值是______．

13. 在▱中，，点，分别是，的中点，则______．
14. 对角线长分别为和的菱形面积为______．
15. 如图，四边形是边长为的正方形，和都是直角且点，，三点共线，，则阴影部分的面积是______．

16. 如图，在边长为的正方形中，为边上任意一点不与点、重合，、交于点，过点且垂直于的一条直线分别交、于点、连接，将沿着翻折，点落在点处．的中点为，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 计算：丨丨；
    计算：．
18. 已知：函数，
    画出此函数的图象；
    若点在图象上，求出的值．
19. 已知：如图，在▱中，，分别为边，上一点，且求证：四边形是平行四边形．

20. 已知：如图，矩形的对角线交于点，，求证：四边形是菱形．

21. 已知，如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数图象上．
    求正比例函数的解析式．
    点和点都在轴上，当的面积是时，求点的坐标．

22. 如图，平行四边形中，分别过、两点作，，垂足分别为，，连接，若，，，求的面积．

23. 如图，四边形的四个顶点的坐标分别为、、、，对角线、交点坐标为______；
    已知四边形的四个顶点、、、的坐标分别为，，，，其中且，若对角线，互相平分，求的值．

24. 定义；有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．
    
    写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是______；
    如图，在方格纸中，，，在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使，是对角线，点在格点上．
    如图，在正方形中，点，，分别在，，上，四边形是垂等四边形，且，．
    求证：；
    若，求的值．
25. 已知平行四边形，如图，点在直线上，且，与轴交于点．
    求点坐标；
    如图，点，分别为轴，轴上的点，将沿折叠使恰好落在边上的点，过作轴交于点，交于点若设，求，的关系式；
    如图，等腰，，连接，为的中点，连接，，探究，的关系．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，
以，，为边长不能构成三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
以，，为边长能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、，，
，
以，，为边长不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，
以，，为边不能构成三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：将代入得，
故选：．
将代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 

4.【答案】 

【解析】解：矩形的性质是：矩形的四个角度数直角，矩形的对边相等且互相平行，矩形对角线相等且互相平分；
菱形的性质是：菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；菱形的对角相等，菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
所以矩形而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选：．
根据矩形的性质和菱形的性质得出即可．
本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记知识点是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示：

当点在线段上时，
四边形是平行四边形，
，，，
，
是的平分线，
，
，
，
：：，
设，，
平行四边形的周长为，
，
，
解得，
．
当点在的延长线上时，

同理可得，，
，
，
，
，
综上所述，的长为或．
故选：．
分两种情况，由平行四边形的性质分别求得答案即可．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意分类讨论．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了勾股定理及三角形的面积等知识，解题的关键是利用勾股定理求出的长，此题难度一般．
根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：如图所示：

，
，，，
即，
解得：．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：甲：四边形是菱形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理：≌，≌，
，，
，
四边形是菱形；
乙：连接交于，如图所示：
四边形是菱形，
，，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
综上所述，甲对、乙对，丙错，
故选：．
由全等三角形的性质证出，则四边形是菱形，故甲对；再由菱形的性质得，，，则，得四边形是平行四边形，然后由，得平行四边形是菱形，故乙对，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定于性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明、是解题的关键，属于中考常考题目．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，解题关键是作出正确的辅助线，利用全等三角形的判定和性质，进行求解．
连接，过作，利用面积法求解，的值等于点到的距离，即正方形对角线的一半．
【解答】
解：连接，过作，


，
，
，
，且正方形对角线，
又，，
为中点，又为直角三角形，
，
即的值是．
故选A．  

9.【答案】 

【解析】解：将长方体展开，连接、，
根据两点之间线段最短，
如图，，，
由勾股定理得：．


如图，，，
由勾股定理得，．


只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
由于，
故选：．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点．

，
，，
，
，
≌，
，，
的纵坐标为，，
．
故选：．
过点作轴于点，只要证明≌，即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】   

【解析】解：；
故答案为：；

．
故答案为：．
直接化简二次根式，再利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；
直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：函数的图象由线段和组成，其中点，，，
当时，函数值最大为．
故答案为：．
直接利用函数图象上点的坐标，进而得出函数最值即可．
此题主要考查了函数的图象以及函数值，正确利用点的坐标是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，

四边形是平行四边形，
，
点，分别是，的中点，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质可得长，再利用三角形中位线性质可得答案．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线性质，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：一个菱形的两条对角线长分别为和，
这个菱形的面积．
故答案为：．
根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．
本题考查的是菱形的性质，熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出，，进而利用三角形面积公式解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出，解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接交于点，如图所示：

则的直角顶点在上运动，
设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，
，，
，
当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，
点在上，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
由翻折性质得：，
在和中，
，
≌，
，，
是正方形的对角线，
，
易得，
，
，
，故，
点在线段上运动；
过点作，垂足为，
点为的中点，
，则的最小值为．
连接交于点，则的直角顶点在上运动，设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，由等腰直角三角形的性质得出，当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，证明≌得出，证明≌得出，，由正方形的性质得出，易得出，得出，，得出，故，点在线段上运动；过点作，垂足为，即可得出结果．
本题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

；

原式
． 

【解析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，再合并得出答案；
直接利用平方差公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：函数是正比例函数，
经过原点，
当时，，
函数图象过，
函数图象如下：

将点代入，
得，
解得． 

【解析】根据正比例函数图象过原点，再当时，可知过，即可画出函数图象；
将点代入函数，即可求出的值．
本题考查了正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数的图象以及图象上点的特征是解决本题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
 又，
，
即，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】由平行四边形的性质得，，再由证出，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质；证出是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，即，
，即．
四边形是平行四边形．
又四边形是矩形，
，，
且，
．
四边形是菱形． 

【解析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等和一组邻边相等的平行四边形是菱形，需熟练掌握并灵活运用．
先求出四边形是平行四边形，再根据矩形的对角线互相平分且相等求出，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明．
 

21.【答案】解：设正比例函数的解析式为，
点在正比例函数图象上．
，
，
正比例函数的解析式为：；
设，
的面积是，点，
，
或，
点的坐标为或． 

【解析】设正比例函数的解析式为，把点代入解析式，即可得到结论；
设，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，三角形的面积的计算，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
 

22.【答案】解：，，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
又，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
的面积． 

【解析】先证是等腰直角三角形，得，再由勾股定理得，则，然后由三角形面积公式即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
 

23.【答案】 

【解析】解：四边形的四个顶点的坐标分别为、、、，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
故答案为：；
四边形的对角线，互相平分，
四边形为平行四边形，
则，
解得：，
则、、、，
如图，

，，，
则，
是等腰直角三角形，
．
证出，由点坐标可得出答案；
由四边形的对角线，互相平分知四边形为平行四边形，即可得，解之可得、，得出四点的坐标，即可判断出是等腰直角三角形，得出答案．
本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理逆定理是解题的关键．
 

24.【答案】矩形 

【解析】解：矩形的邻边垂直且对角线相等，
矩形是垂等四边形，
故答案为：矩形；
解：由垂等四边形的定义画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，如图所示：
，，
四边形是垂等四边形；
证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
四边形是垂等四边形，
，
；
解：过点作于，如图所示：
则四边形为矩形，
，
由得：，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
即，
为等腰直角三角形，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，，
，
．
矩形的邻边垂直且对角线相等，则矩形是垂等四边形；
根据垂等四边形的定义画出两个符合条件的不全等的垂等四边形即可；
由证得≌，得出，再由垂等四边形定义得出，即可得出结论；
过点作于，则四边形为矩形，得出，由得，由等腰三角形的性质得，推出，证明为等腰直角三角形，得出，再证明为等腰直角三角形，得出，则，推出，，即可得出结果．
本题是四边形综合题，考查了垂等四边形的定义、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；正确理解垂等四边形的定义、证明和都为等腰直角三角形是解题的关键．
 

25.【答案】解：点在直线上，
．
四边形是平行四边形，
．
，
，
，，
，
，
，
，
．
．
；
将沿折叠使恰好落在边上的点，
≌，垂直平分，
．
，
，．
轴，，，
四边形为矩形，
，
．
在中，
，
．
；
，的关系为：，理由：
延长至点，使，连接，，延长，交于点，如图，

等腰，，，
和均为等腰直角三角形，
，．
．
，
．
在和中，
，
≌．
．
为的中点，，
是的中位线，
，
．
设与交与点，
≌，
，
，
．
，
．
即：，
，
是的中位线，
．
．
综上，，的关系为：，． 

【解析】理由待定系数法，平行四边形的性质和勾股定理解答即可；
利用折叠的性质可得是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可得；利用点的坐标分别表示出线段，，利用勾股定理得出，的等式，整理即可得出结论；
延长至点，使，连接，，延长，交于点，通过证明≌，得到，利用三角形的中位线定理即可得出，的数量关系；利用三角形的内角和定理，通过计算得到，从而得出，的位置关系．
本题主要考查了平行四边形的性质，待定系数法，勾股定理，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，本题综合性较强，添加适当的辅助线是解题的关键．