人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数第2课时教学设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数第2课时教学设计，共11页。教案主要包含了学情分析，学习目标，教学过程，作业布置，课堂记录，教学反思等内容，欢迎下载使用。
《4.2 指数函数》教学设计一、教材分析本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第四章《指数函数与对数函数》的《4.2 指数函数》。以下是本节两个课时的安排： 第一课时第二课时课时内容指数函数及其图象和性质指数函数的图象与性质的应用所在位置教材第117页教材第122页新教材内容分析通过《指数函数》这节课的学习，既可以对指数和函数的相关知识进一步巩固和深化，又可以为后面进一步学习对数、对数函数尤其是利用互为反函数的图象间的关系来研究对数函数的性质打下坚实的概念和图象基础，对高中阶段研究对数函数、三角函数等完整的函数知识，初步培养函数的应用意识打下了良好的学习基础，所以《指数函数》不仅是本章《函数》的重点内容，也是高中学段的主要研究内容之一，有着不可替代的重要作用。此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。核心素养培养《指数函数》是在学习了《指数》一节内容之后编排的，是培养数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算和数学建模等核心素养的优良素材。教学主线                        指数函数的图象 二、学情分析    针对本节知识内容和学生认知水平而言，初中已经对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最简单的函数概念、图象和性质已有了初步认识，学生也对采用“描点法”描绘函数的图象及利用函数的图象研究函数性质的途径已基本掌握，这就能够为研究《指数函数》做好了知识层面的准备。 第二课时    指数函数的图象与性质的应用一、学习目标1. 理解指数函数的单调性及其应用，发展学生的逻辑推理素养.3.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式，提升逻辑推理与数学运算的核心素养.二、教学重难点重点：指数函数的图象和性质。难点：指数函数的图象和性质的应用。三、教学过程（一）新知探究指数函数的图象和性质  a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性在R上是增函数在R上是减函数对称性y＝ax与y＝的图象关于y轴对称【问题1】指数函数的底数与其图象具有什么关系？ 【提示】底数与指数函数图象的关系　记忆口诀：y轴右侧，底大图高(1)由指数函数y＝ax的图象与直线x＝1相交于点(1，a)可知，在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.(2)由指数函数y＝ax的图象与直线x＝－1相交于点可知，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.【问题2】如何解指数型不等式？【提示】(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.【问题3】与指数函数复合的函数单调性怎样？【提示】一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有：(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性.【设计意图】通过这些小问题思考与回答，让学生充分体验从观察、分析到概括的过程，达成数学抽象的核心素养。  【做一做】1.若2x＋1<1，则x的取值范围是________.2.比较大小：π－________.【答案】1. (－∞，－1)   2. <【设计意图】通过问题的设置与探究，使学生深入理解指数函数的单调性，培养逻辑推理与数学运算的核心素养。（二）典例透析1. 指数函数图象的辨识【例1】　(1)如图所示是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　)A.a<b<1<c<d                 B.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<d                 D.a<b<1<d<c (2)已知0<a<1，b<－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过(　　)A.第一象限   B.第二象限C.第三象限   D.第四象限解析　(1)在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上底数依次增大.由指数函数图象的升降，知c>d>1，b<a<1，所以b<a<1<d<c.(2)函数恒过点(0，1＋b)，因为b<－1，所以点(0，1＋b)在y轴负半轴上.故图象不经过第一象限.答案　(1)B　(2)A【类题通法】解决指数函数图象问题的注意点(1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状.(2)在y轴右侧，指数函数的图象底大图高.【巩固练习1】已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　)解析　由于0<m<n<1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A，B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.答案　C2.比较大小【例2】　比较下列各组数的大小：(1)0.72.5,0.73；(2)0.3,3－0.2；(3)1.70.3,0.93.1.解　(1)由于底数0.7＜1，∴指数函数y＝0.7x在(－∞，＋∞)上是减函数．∵2.5＜3，∴0.72.5＞0.73.(2)0.3＝3－0.3.∵底数3＞1，∴指数函数y＝3x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵－0.3＜－0.2，∴3－0.3＜3－0.2，即0.3＜3－0.2.(3)由指数函数的性质得1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1.∴1.70.3＞0.93.1.【类题通法】比较幂值大小的3种类型及处理方法【巩固练习2】　(1)下列大小关系正确的是(　　)A.0.43<30.4<π0   B.0.43<π0<30.4C.30.4<0.43<π0   D.π0<30.4<0.43(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)A.a<b<c   B.a<c<bC.b<a<c   D.b<c<a解析　(1)0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4，故选B.(2)∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6，选C.答案　(1)B　(2)C3. 简单的指数不等式的解法【例3】　解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．解　①当0<a<1时，∵a2x＋1≤ax－5，∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.②当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.综上所述，当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≥－6}；当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}．【变式探究】（变条件）若将本例中“a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)”变为“2－5x＞4x＋7(a＞0，a≠1)”，呢？解　2－5x＞4x＋7化为  因为  y＝2x为增函数，则－5x＞2x＋14，解得x＜－2，所以不等式的解集是x∈(－∞，－2)．【类题通法】解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．【巩固训练3】　不等式4x<42－3x的解集是________．解析　∵4x<42－3x，∴x<2－3x，∴x<.答案　4.指数型函数的单调性【例4】　求f(x)＝的单调区间，并求其值域.解　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝，u∈[－1，＋∞)，∴0<≤＝3，∴原函数的值域为(0，3].【类题通法】函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0<a<1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相反.【巩固训练4】　求函数(a>0，且a≠1)的单调区间．解　设y＝au，u＝x2＋2x－3，由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数．当a>1时，y关于u为增函数；当0<a<1时，y关于u为减函数，∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；当0<a<1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为[－1，＋∞)．（三）操作演练  素养提升1.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)A．a>1，b<0                B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0              D．0<a<1，b<02.f(x)＝，x∈R，那么f(x)是(　　)A.奇函数且在(0，＋∞)上是增函数       B.偶函数且在(0，＋∞)上是增函数C.奇函数且在(0，＋∞)上是减函数       D.偶函数且在(0，＋∞)上是减函数3.函数y＝的单调递增区间为(　　)A.(－∞，＋∞)   B.(0，＋∞)C.(1，＋∞)   D.(0，1)4. 方程42x－1＝16的解是________.5. 不等式23－2x<0.53x－4的解集为________.答案　（1）D   （2）D　（3）A  （4）x＝　 （5）{x|x<1}【设计意图】通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。  （六）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。   四、作业布置完成教材：第118页 练习  第2题 第118页   习题4.2  第3,6,9,10题 五、课堂记录     六、教学反思