2021-2022学年江苏省无锡市江阴市澄江片八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省无锡市江阴市澄江片八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列调查中，调查方式选择合理的是(    )

A. 为了了解某一品牌家具的甲醛含量，选择全面调查
B. 为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
C. 为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查
D. 为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查

3. 年我市有万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这万名考生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计，在这个调查中，样本是(    )

A.  B. 名考生
C. 万名考生的数学成绩 D. 名考生的数学成绩

4. 小明掷一枚硬币，掷前次时共有次正面朝上，那么他掷第次时，出现正面朝上的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列各式中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，、、分别是各边中点，则以下说法错误的是(    )

A. 和的面积相等
B. 四边形是平行四边形
C. 若，则四边形是菱形
D. 若，则四边形是矩形
 

7. 施工队要铺设一段全长米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工米，则根据题意所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 已知关于的分式方程有解，则字母的取值范围是  (    )

A. 或 B.  C.  D. 且

9. 如图，在平行四边形中，是的中点，且，，，则平行四边形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接下列结论：四边形是菱形；点与点重合时，；的面积的取值范围是其中所有正确结论的序号是(    )

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共24 分）

11. 任意选择电视的某一频道，正在播放动画片，这个事件是______填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”
12. 一个不透明的袋子中装有个红球、个黄球、个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到______球的可能性最大．
13. 当______时，分式的值为零．
14. 已知平行四边形中，，则______
15. 已知，则的值为______ ．
16. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是______．
17. 如图，在四边形中，已知，、、分别是、、的中点，，，则的度数为______．

18. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将矩形绕按顺时针方向旋转度得到，此时直线、直线分别与直线相交于点、当，且时，线段的长是______．

三．解答题（本题共8小题，共66分）

19. 计算
    ；
    ．
20. 解方程：
    ；
    ．
21. 先化简再求值：，其中．
22. 某校开展学生安全知识竞赛．现抽取部分学生的竞赛成绩满分为分，得分均为整数进行统计，绘制了图中两幅不完整的统计图．根据图中信息，回答下列问题：
    ______，______；
    补全频数分布直方图；
    该校共有名学生．若成绩在分以上为优秀，请你估计该校成绩优秀的学生人数．
     

23. 如图，在平行四边形中，，点为线段的三等分点靠近点，点为线段的三等分点靠近点，且将沿对折，边与边交于点，且．
    证明：四边形为矩形；
    求平行四边形的周长．

24. 甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．乙公司的人数是甲公司的倍，乙公司的人均捐款数比甲公司多元；
    甲、乙两公司各有多少人？
    现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱元，种防疫物资每箱元．若恰好将全部捐款用完，有哪几种购买方案？说明理由注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送．
25. 已知正方形，，为平面内两点．
    
    【探究建模】
    如图，当点在边上时，，且，，三点共线．求证：；
    【类比应用】
    如图，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系；
    【拓展迁移】
    如图，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点．若，，求的长．
26. 如图，在矩形中，，动点从点出发沿折线向终点运动，在边上以的速度运动，在边上以的速度运动，过点作线段与射线相交于点，且，连接、设点的运动时间为，与重合部分图形的面积为
    当点与点重合时，直接写出和的长；
    当点在边上运动时，连接，是否存在，使四边形为菱形，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
    求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：为了了解某一品牌家具的甲醛含量，适合抽样调查，故选项A不符合题意；
B.为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，意义重大，适合普查，故选项B不符合题意；
C.为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，适合抽样调查，故选项C不符合题意；
D.为了了解某公园全年的游客流量，适合抽样调查，故选项D符合题意；
故选：．
由全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

3.【答案】 

【解析】解：年我市有万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这万名考生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计，在这个调查中，样本是名考生的数学成绩；
故选：．
根据样本的定义：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本，依此即可求解．
本题考查总体、个体、样本、样本容量，理解“总体”“样本”的意义是正确判断的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：小明掷一枚硬币，掷前次时共有次正面朝上，那么他掷第次时，出现正面朝上的概率是：，
故选：．
根据概率的意义，概率公式，即可解答．
本题考查了概率的意义，概率公式，熟练掌握概率的意义，概率公式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，
、、分别是各边中点，
，，
设和间的距离为，
，，
，
故本选项不符合题意；
B.、、分别是各边中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
故本选项不符合题意；
C.、、分别是各边中点，
，，
若，则，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
故本选项符合题意；
D.四边形是平行四边形，
若，则四边形是矩形，
故本选项不符合题意；
故选：．
根据矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位线定理判断即可．
本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了求分式方程的解有关知识，先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据“关于的分式方程有解”，即且建立不等式即可求的取值范围．
【解答】
解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：
，
关于的分式方程有解，
，且，
即，
系数化为得：，
且，
即，，
综上所述：关于的分式方程有解，则字母的取值范围是，，
故选D．  

9.【答案】 

【解析】解：过作交的延长线于．

四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
是的中点，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，即，
为直角三角形．
边上的高为，
平行四边形的面积，
故选A．
首先通过作辅助线求出平行四边形的高，再根据平行四边形的面积等于底乘以高，求出它的面积．
本题考查平行四边形的性质与判定，勾股定理的逆定理，解题的关键是由勾股定理的逆定理证出三角形为直角三角形，进而求出结论．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
故正确；
如图，当点与重合时，设，则，
在中，，
即，
解得，
，
，，
，
，
，
，
故不正确；
由题知，当过点时，最短，如图，四边形的面积最小，
此时，
当点与点重合时，最长，如图，四边形的面积最大，
此时，
正确，
故选：．
先判断四边形是平行四边形，再根据判断四边形是菱形，点与点重合时设，表示出，利用勾股定理解出，进而求出即可判断，当过点时，求出四边形面积的最小值，当与重合时，求出四边形面积的最大值，即可判断．
本题主要考查翻折问题，三角形的面积，矩形、菱形及平行四边形的性质等知识点，熟练应用矩形、菱形、平行四边形的性质及翻折的性质是解题的关键．
 

11.【答案】随机事件 

【解析】

【分析】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】

解：任意选择电视的某一频道，正在播放动画片，这个事件是随机事件，
故答案为随机事件．
 

12.【答案】红 

【解析】解：不透明的袋子中装有个红球、个黄球、个白球，
袋子中一共有球个，
从袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是：，摸到黄球的概率是，摸到白球的概率是，
摸到红球的可能性最大．
故答案为：红．
根据概率公式先求出红球、白球和黄球的概率，再进行比较即可得出答案．
本题考查了概率的计算及可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：由分子，得；
而时，分母，
时分母，分式没有意义．
所以．
故答案为：．
要使分式的值为，必须分式分子的值为并且分母的值不为．
本题考查分式的值为零的条件，要注意分母的值一定不能为，分母的值是时分式没有意义．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
故答案为：．
平行四边形中，利用邻角互补可求得的度数，利用对角相等，即可得的值．
此题主要考查了平行四边形的性质，利用邻角互补的结论求四边形内角度数是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由已知，令，，，且，则代入得：




故答案为：．
由，令，，，且，代入求值即可．
本题考查了比例式的性质，解题的关键是设，，，且，然后代入式子求解．
 

16.【答案】，且 

【解析】

【分析】
本题主要考查分式方程的解，解决此类问题时，通常先用含的式子表示出的值，再根据的取值范围即可求出的取值范围，但要注意分式的最简公分母不等于．
在方程的两边同时乘以，解方程，用含的式子表示出的值，再根据，且，解不等式组即可．
【解答】
解：两边同时乘以，
得：，
解得，
由题意可知，，且，
，
解得：，且，
故答案为：，且．  

17.【答案】 

【解析】解：、、分别是、、的中点，
为的中位线，为的中位线，
，，，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得到，，，，求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
点在点的右侧，
四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，
，，，
过点作于，连接，如图所示：
则，
，，
，
设，
，
，
则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
故答案是：．
过点作于，连接，构造直角三角形，运用面积法求得，再由勾股定理求得的长，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、坐标与图形的变化旋转、勾股定理、三角形面积的计算等知识；特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式



． 

【解析】根据分式乘法运算法则进行计算；
先通分，然后再计算．
本题考查分式的混合运算，理解分式的基本性质，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
 

20.【答案】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根；
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
原方程无解． 

【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程，必须检验．
 

21.【答案】解：原式


，
当时，
原式． 

【解析】将除法转化为乘法，再根据分配律来计算，最后计算分式减法，然后代入求值即可．
本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则．
 

22.【答案】   

【解析】解：抽取的总人数是名，
则组的人数是名，
组的人数是，
组的人数是名，
．
故答案是：，；
补全频数分布直方图如图：

估计该校成绩优秀的学生人数是：名．
答：估计该校成绩优秀的学生人数是名．
根据组的人数是，所占的百分比是，据此即可求得抽取的总人数，然后利用百分比的计算方法求得组的人数，进而求得和组的人数，利用乘以组对应的比例求得的值；
利用的结果可以补全直方图；
利用总人数乘以对应的比例即可求解．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

23.【答案】证明：是平行四边形，
，，
点为线段的三等分点靠近点，
，
点为线段的三等分点靠近点，
，
，
，
四边形为平行四边形；
，
，
四边形为矩形；
解：，
，，
将沿对折得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由已知可得，，能得到，，再由，即可证明四边形为矩形；
由折叠可知，求得，先证明，能得到，进而可以解决问题．
本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，平行线分线段成比例定理；利用平行线的性质，确定是等边三角形是解本题的关键．
 

24.【答案】解：设甲公司有人，则乙公司有人，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲公司有人，乙公司有人．
设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，
依题意，得：，
解得：，
、均为正整数，
或或，
有种购买方案，
方案：购买箱种防疫物资，箱种防疫物资；
方案：购买箱种防疫物资，箱种防疫物资；
方案：购买箱种防疫物资，箱种防疫物资． 

【解析】设甲公司有人，则乙公司有人，由题意：甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．乙公司的人均捐款数比甲公司多元；列出分式方程，解方程即可；
设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，由题意：现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱元，种防疫物资每箱元．若恰好将全部捐款用完，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

25.【答案】证明：如图中，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．

解：结论：．
理由：如图中，连接交于点，过点作于点，交的延长线于点．

四边形是正方形，是等腰直角三角形，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，，
≌，
，，
，，，
≌，
，
，
，
．

解：如图中，连接，取的中点，连接，．

四边形是正方形，，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
由可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】证明≌，可得结论．
结论：如图中，连接交于点，过点作于点，交的延长线于点利用全等三角形的性质证明，，可得结论．
如图中，连接，取的中点，连接，证明，利用中结论求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用建模的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】解：如图，

在矩形中，，．
，，，
，
，
，
，，
，
；

存在，使四边形为菱形，
如图，连接，

四边形为菱形，
，，
，
，
、是等边三角形，
，
，则
，
由题意可得，则，
，解得，
的值为；

当时，点在上，作于点，交于点，作于点，

同可得．
，
当时，
时，点在上，
，
，
，
．
，，
，，
；
当时，点在延长线上，交于点，如图，

，
，
，
．
当时，点在上，如图，

，
．
综上所述，． 

【解析】根据含角的直角三角形的性质即可求解；
根据菱形的性质得，由得、是等边三角形，求出，则，由题意可得，，即可求解；
分类讨论点在上，点在上．点在上，点在延长线上．点在上，分别求解即可．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质．菱形的性质，含角的直角三角形的性质，属于动点题目，解题时注意分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用．