2021抚州临川一中高三下学期5月高考模拟考试数学（文）试题含答案

2021年临川一中高三模拟考试试题

文 科 数 学

一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B＝{x|2cosx≥}，则A∩B＝（　　）

A．[﹣1，] B．[﹣，1] C．[﹣1，2] D．[﹣，]

2．已知复数z满足（z+i）i＝1﹣i，则||＝（　　）

A．      B．       C．         D．

3．如图，已知等边△ABC的外接圆是等边△EFG的内切圆，向△EFG内任投一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分(△ABC)的概率是（　　）

A．         B．        C． D．

4．在流行病学中，基本传染数指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长，当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散，广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗(称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为．已知新冠病毒在某地的基本传染数R0＝5，为了使1个感染者新的传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（　　）

A．50% B．60% C．70% D．80%

5．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（　　）

A．∀x∉R，x2≥0   B．∀x∈R，x2＜0    C．∃x∈R，x2≥0       D．∃x∈R，x2＜0

6．化简＝（　　）

A． B． C． D．2

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“bcosA﹣c＜0”是“△ABC为锐角三角形”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征，函数f(x)＝(x＋)ln||的图象大致为（   ）

A               B                     C                     D

9.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问米几何？”如图是执行该计算过程的一个程序框图，当输出的（单位：升），则器中米应为（    ）

A．2升       B．3升      C．4升      D．6升

10．已知，，在球的球面上，，，，  直线与截面所成的角为，则球的表面积为（    ）

A．    B．     C． D．

11．函数y＝与y＝3sin+1的图象有n个交点，其坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn），则＝（　　）

A．4 B．8 C．12 D．16

12．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，A（0，）， ＝，P为C右支上一点，当|PA|+|PF1|取得最小值时，则C的离心率为（　　）

A．           B．2            C．             D．

二、填空题：（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知向量，满足||＝1，＝（1，﹣2），且|+|＝2，则cos＜，＞＝______

14．已知△ABC中角A，B，C所对的边为a，b，c，AB＝3，AC＝3，点D在BC上，∠BAD+∠BAC＝π，记△ABD的面积为S1，△ABC的面积为S2，，则BC＝　　．

15．已知函数，k∈[1，+∞），曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2），使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为　     　．

16．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线交抛物线C于A，B两点，过点F作x轴垂线在x轴的上方与抛物线C交于点M，记直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2＝　    　．

二、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

17.（12分）已知数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前项和，且对任意恒成立，求的取值范围.

18．如图，BE，CD为圆柱的母线，是底面圆的内接正三角形，M为BC的中点.

（1）证明：平面AEM⊥平面BCDE；

（2）设BC=BE，圆柱的体积为，求四棱锥A-BCDE的体积.

19．（12分）2021年4月20日，博鳌亚洲论坛2021年年会开幕式在海南博鳌举行，国家主席习近平以视频方式发表题为《同舟共济克时艰，命运与共创未来》的主旨演讲，某校政治老师为了解同学们对此事的关注情况，在一个班级进行了调查，发现在全班40人中，对此事关注的同学有24人，该班在上学期期末考试中政治成绩（满分100分）的茎叶图如下：（1）求对此事不关注者的政治期末考试成绩的中位数与平均数；

（2）若成绩不低于60分记为“及格”，从对此事不关注者中随机抽取1人，求该同学及格的概率；

（3）若成绩不低于80分记为“优秀”，请以是否优秀为分类变量，请补充下列的列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.05的前提下，认为“对此事是否关注”与“政治期末成绩是否优秀”有关系？

附：，其中．

20．已知离心率e＝，焦点在x轴上的椭圆与直线x+2y＝2相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若不经过右焦点F的直线l：y＝kx+m（k＞0，m＜0）与椭圆C相交于A，B两点，且与圆O：x2+y2＝1相切，试探究△ABF的周长是否为定值，若是求出定值；若不是请说明理由．

21．已知函数，，当，时，

（Ⅰ）若函数在处的切线与轴平行，求实数的值；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）若恒成立，求实数的取值范围．

选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。

22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）当时，求和的直角坐标方程；

（2）当时，与交于A，B两点，设P的直角坐标为(0，1)，求的值.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）正数满足，证明：.

2021年临川一中高三模拟考试试题

文 科 数 学 答 案

一、选择题

DBCDD   BBDDD     AC

二填空题

13.              14.      15.        16. 

1.解：∵＝，

当k＝0时，，∴．故选：D．

2.解：因为（z+i）i＝1﹣i，所以，

所以．故选：B．

3．解：由题可知△EFG内切圆的切点分别为A，B，C，∴EA＝EC，FA＝FB，GC＝GB．又△EFG是等边三角形，∴△ACE，△ABF，△BCG，△ABC是4个全等的等边三角形，

∴所求的概率P＝＝．故选：C．

4.解：为了使1个感染者新的传染人数不超过1，即≤1，∴，

∴，∴1﹣，∴，即，故选：D．

5．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“∀∈R，x2≥0”的否定是∃x∈R，x2＜0．故选：D．

6．原式＝＝．故选：B．

7．解：在△ABC中，bcosA﹣c＜0，则sinBcosA﹣sinC＜0，所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＞sinBcosA，则有sinAcosB＞0，因为sinA＞0，所以cosB＞0，故角B为锐角，当B为锐角时，△ABC不一定是锐角三角形，当△ABC为锐角三角形时，B为锐角，

故“bcosA﹣c＜0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．

9.D程序运行变量值变化如下：，满足，，；满足，，；满足，，；不满足，输出，

∴，．故选：D．

10．D设的外心为

，

，则.设球的半径为，由题意可知平面，

又直线与截面所成的角为，所以，在中，所以，所以球的表面积为.故选：D

11．解：∵y＝＝x++1，y＝3sin+1，∴两个函数对称中心均 为（0，1）；

画图可知共有四个交点，且关于（0，1）对称，故（xi+yi）＝4，故选：A．

12．解：记t＝|PA|+|PF1|＝|PA|+|PF2|+2a≥|AF2|+2a，当A，P，F2三点共线时，t有最小值，此时，所以．设焦距为2c，则F2（c，0），所以．又，所以，化简得e4﹣e2﹣2＝0，解得e2＝2（舍负），所以双曲线C的离心率（舍负），故选：C．

13．解：根据题意，＝（1，﹣2），则||＝，若|+|＝2，则（+）2＝2+2+2•＝6+2cos＜，＞＝4，变形可得cos＜，＞＝﹣．

14．解：法一：设∠BAD＝θ，则∠BAC＝π﹣θ，则．因为，所以AD＝2．

在△ABD中，由正弦定理得，在△ABC中，由正弦定理得，两式相比得．设CD＝x，则BD＝2x，BC＝3x，

在△ABC中，由余弦定理得，所以①．在△ABD中，由余弦定理得，

所以②，联立①②得x＝2，所以BC＝6．

法二：因为∠BAD+∠BAC＝π，把△ABD沿AB翻折到△ABD′，使C，A，D′三点共线，则AB平分∠CBD′．因为，所以．因为，

所以AD′＝2，设BC＝3x，则BD′＝2x，设∠BAD′＝θ，则∠BAC＝π﹣θ．

在△ABC中，由余弦定理得，所以①，

在△ABD′中，由余弦定理得，所以②，

联立①②得x＝2，所以BC＝6．故答案为：6．

15．解：易知f′（x）＝（k+）•﹣﹣1，由题意可得f′（x1）＝f′（x2），即（k+）•﹣﹣1＝（k+）•﹣﹣1，因为x1≠x2，化简可得4（+）＝k+，即4（x1+x2）＝（k+）x1x2，而x1x2＜（）2，

所以4（x1+x2）＜（k+）（）2，则x1+x2＞，

当k≥1时，由基本不等式可得≤＝4，当且仅当k＝＞1时，取等号，

所以x1+x2＞4，所以x1+x2的取值范围为（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．

16．解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F为（，0），可得直线AB的方程为x＝y+，由，消去x可得y2﹣2py﹣p2＝0，∴y1+y2＝2p，y1y2＝﹣p2，

∵点M的坐标为（，p），∴k1＝＝，同理k2＝，

∴k1+k2＝+＝2﹣p（+）＝2﹣＝2﹣＝4.

17.（1）(1)因为，①

所以，②

由①式-②式得，即，

又当时，，解得，

所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.

(2)，，

，所以单调递增，且，所以.

18．又为圆柱的母线，平面.，，

平面.又平面，平面平面．

（2）由题可设，由是底面圆的内接正三角形易得

，底面圆的半径．．

由（1）可知，平面．．

19．（1）对此事不关注的16名同学，成绩从低到高依次为

46，52，53，56，63，63，64，66，68，72，74，76，78，78，84，92

中位数为；

平均数为；

（2）因为对此事不关注的16个人中共有12人及格，所以所求概率，
（3）

所以能在犯错概率不超过0.05的前提下，认为“对此事是否关注”与“政治期末成绩是否优秀”有关系．

20．解：（1）因为e＝，设椭圆的标准方程为，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组，消去x可得，2y2﹣2y+1﹣b2＝0，

所以，因为OP⊥OQ，

所以，

故，解得b＝1，故椭圆C的方程为；

（2）是定值，理由如下：

因为直线l：y＝kx+m（k＞0，m＜0）与圆x2+y2＝1相切，所以，即m2＝1+k2，

设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，

消去y可得，（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，所以△＝16（4k2﹣m2+1）＝48k2＞0，

所以，

故＝

＝，又m2＝1+k2，所以，

因为k＞0，m＜0，所以0＜x1＜2，0＜x2＜2，

因为＝，

同理可得，

所以，

所以，

故△ABF的周长是定值4．

21．解：，

函数在处的切线与轴平行，则,得．

证明：①当，时，，

令，则．当，时，，

在，上是增函数，，即．

②当，时，，令，则．

当，时，，在，单调递增，，

，综上可知：；

（Ⅲ）解：设

．

令，则，

令，则．

当，时，，可得是，上的减函数，

，故在，单调递减，

．．

当时，在，上恒成立．

下面证明当时，在，上不恒成立．

．

令，则．

当，时，，故在，上是减函数，

，．

当时，．存在，使得，此时，．

即在，不恒成立．综上实数的取值范围是，．

22.（1）由曲线的参数方程为(t为参数)，消去参数，可得，

即曲线，

当时，曲线C2为，可得，

因为，可得，

即曲线C2的直角坐标方程.

（2）当时，曲线C2为，可得，

又由，可得的直角坐标方程为，

将的参数方程代入整理得，

设对应的参数分别为，可得

所以.

23．解得，所以；当时，，；

当时，，解得，所以.

综上，不等式的解集为.

（2）证明：因为为正数，则

等价于对任意的恒成立.

又因为，且，所以只需证，

因为，当且仅当时等号成立.

所以成立.