2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高二下学期第二次月考数学试题含解析

2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高二下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据排列数公式判断即可；

【详解】解：因为一共有个数，

所以，

故选：D

2．从2名男生和4名女生中选3人参加校庆汇报演出，其中至少要有一男一女，则不同的选法共有（       ）

A．16种 B．32种 C．95种 D．192种

【答案】A

【分析】依题意分选出的3人为1男2女和选出的3人为2男1女两类，按分类计数原理求解即可

【详解】若选出的3人为1男2女的情况有种．若选出的3人为2男1女的情况有种．

所以至少要有一男一女的选法有，

故选：A

3．下面几种概率是条件概率的是（       ）

A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率

B．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率

C．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率

D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率

【答案】C

【分析】根据条件概率的定义一次对选项进行判断即可.

【详解】由条件概率的定义：某一事件已发生的情况下，另一事件发生的概率．

选项A：甲乙各投篮一次投中的概率，不是条件概率；

选项B：抽2件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率；

选项C：甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率；

选项D：一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率．

故选：C

4．下列结论正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】B

【分析】根据导数运算法则，结合基本函数的导数公式依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，，，故A错误；

对于B选项，，，故B正确；

对于C选项，，，故C错误；

对于D选项，，，故D错误．

故选：B

5．函数的极小值点是（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】利用极值点的定义求解.

【详解】解：由题意得：∵，

∴，

令，则，

当时，，函数单调递增

当时，，函数单调递减

当时，，函数单调递增

故是函数的极小值点.

故选：A

6．将三颗骰子各掷一次，设事件“三个点数都不同”，“至少出现一个6点”，则条件概率的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，计算，，进而结合条件概率公式求解即可.

【详解】根据条件概率的含义，其含义为在发生的情况下， 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个6点”的概率，

因为，，

所以．

故选：B

7．的展开式中的系数为（       ）

A．30 B．10 C． D．

【答案】B

【分析】求得的通项，令和，即可求出答案.

【详解】因为，的通项为：

令，则，令，则，

所以的系数为．

故选：B.

8．回文联是我国对联中的一种，用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味，相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”．如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成3位“回文数”的个数为（       ）

A．30 B．36 C．360 D．1296

【答案】B

【分析】根据题意，第一步选择第一位数，第二步选择第二位数，结合分步计数原理，即可求解.

【详解】由题意，第一步选择第一位数，有种方法，第二步选择第二位数，有种方法，

利用分步计数原理，共有种．

故选：B.

二、多选题

9．若随机变量X的分布列如下，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】由分布列的性质对选项一一判断即可得出答案.

【详解】因为，解得，故A正确，C错误．

由分布列可知：，故B错误；

，故D正确.

故选：AD.

10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是（       ）

A．二项展开式中各项系数之和为 B．二项展开式中二项式系数最大的项为

C．二项展开式中有常数项 D．二项展开式中系数最大的项为

【答案】ABC

【分析】根据二项式系数和得，进而根据二项式展开式，二项式系数的性质等依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：因为的二项展开式中二项式系数之和为64，

所以，得，

所以题中二项式为，二项式展开式的通式公式为：，

对于选项A，令，可得二项展开式中各项系数之和为，所以选项A正确；

对于选项B，第4项的二项式系数最大，此时，则二项展开式中二项式系数最大的项为，所以选项B正确；

对于选项C，令，则，所以二项展开式中的常数项为，所以选项C正确；

对于选项D，令第项的系数最大，则，解得，

因为，所以时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为

，所以选项D错误．

故选：ABC

11．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（       ）

A．若任意选科，选法总数为

B．若化学必选，选法总数为

C．若政治和地理至多选一门，选法总数为

D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为

【答案】ABC

【分析】根据题意，结合分类计数原理和分步计数原理，利用组合数的计算公式，逐项计算，即可求解.

【详解】对于A中，先从物理和历史中，任选1科，再从剩余的四科中任选2科，

根据分步计数原理，可得选法总数为种，所以A正确；

对于B中，先从物理、历史中选1门，有种选法，

若化学必选，再从生物、政治、地理中再选1门，有种选法，

由分步计数原理，可得选法共有种，所以B正确；

对于C中，先从物理和历史中选1门，有种选法，

若从政治和地理中只选1门，再从化学和生物中选1门，有种选法，

若政治和地理都不选，则从化学和生物中选2门，只有1中选法，

由分类计数原理，可得共有，所以C正确；

对于D中，若物理必选，只有1种选法，

若化学、生物只选1门，则在政治、地理中选1门，有种选法，

若化学、生物都选，则只有1种选法，

由分类计数原理，可得选法总数为，所以D错误.

故选：ABC.

12．过点作曲线的切线，若切线有且仅有两条，则实数a的值可以是（       ）

A．2 B．0 C． D．

【答案】AD

【分析】设切点为，求得切线方程为：，将切线过点，代入切线方程，得到有两个解，结合，即可求解．

【详解】由题意，函数，可得

设切点为，则，

所以切线方程为：，

切线过点，代入得，即方程有两个不同解，则有，解得或．

故选：AD.

三、填空题

13．已知X是一个离散型随机变量，分布列如表，则常数c的值为__________．

【答案】

【分析】根据离散型随机变量分布列的性质，列出方程组，即可求解.

【详解】由离散型随机变量分布列的性质，可得，解得.

故答案为：.

14．除以的余数是__________.

【答案】8

【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】，展开式的通项公式为，

当时，为.

所以除以的余数是.

故答案为：

15．已知一个盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样，则事件“第二次取到一等品”的概率为__________．

【答案】0.75

【分析】分析可得所求事件可分为第一次取到的是一等品，第二次取到的是一等品，和第一次取到的是二等品，第二次取到的是一等品，即可求得答案.

【详解】设事件“第二次取到一等品”为事件A，可分为第一次取到的是一等品，第二次取到的是一等品，和第一次取到的是二等品，第二次取到的是一等品，

所以．

故答案为：

16．的展开式中的系数为__________．

【答案】95

【分析】将，，1看作三个不同的对象，把问题可转化为将5个相同元素分给甲、乙、丙三个对象的问题求解.

【详解】解：将看作对象甲，看作对象乙，1看作对象丙，

则题设可转化为将5个相同元素分给甲、乙、丙三个对象的问题，

则要得到，则给甲1个元素，给乙0个元素，给丙4个元素，

或给甲0个元素，给乙2个元素，给丙3个元素，

即的系数为．

故答案为：95

四、解答题

17．已知.求：

(1)；

(2).

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）（2）根据给定的二项式的展开式，利用赋值法计算作答.

【详解】(1)依题意，令，当时，，

当时，，

所以，.

(2)由（1）知，当时，，

因此，.

18．某种产品的加工需要经过5道工序．

（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？

（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？

（3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？

（4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？

【答案】（1）96，（2）36，（3）48，（4）72

【分析】（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，再将剩余的4道工序全排列即可；（2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，再将剩余的3道工序全排列；（3）先排这2道工序，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列；（4）先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空

【详解】解：（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有种不同的排法，再将剩余的4道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；

（2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，有种不同的排法，再将剩余的3道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；

（3）先排这2道工序，有种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；

（4）先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将这2道工序插空，有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序，

19．已知等差数列中，公差为，为其前n项和，且，，成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前2022项的和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用基本量法求解即可；

（2）由（1）有，再利用裂项求和求解即可

【详解】(1)等差数列中，公差为d（），为其前n项和，且，，成等比数列．所以，，．

，，成等比数列．所以，又因为，

解得．所以．

(2)因为，故．

．

所以．所以．

20．某工厂生产一种航天仪器零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.6，得到的不合格零件可以进行一次技术处理，技术处理费用为100元/件，技术处理后得到合格零件的概率为0.5，得到的不合格零件成为废品．

(1)求得到一件合格零件的概率；

(2)合格零件以1500元/件的价格销售，废品以100元/件的价格被回收．零件的生产成本为800元/件，假如每件产品是否合格相互独立，记X为生产一件零件获得的利润，求X的分布列．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）设事件A：“一次性成型即合格”，设事件B：“经过技术处理后合格”，求得的值，结合互斥事件的概率公式，即可求解；

（2）根据题意，得到随机变量可取，，，求得相应的概率，即可得出的分布列.

【详解】(1)解：设事件A：“一次性成型即合格”，设事件B：“经过技术处理后合格”，

则，．

所以得到一件合格零件的概率为．

(2)解：若一件零件一次成型即合格，则．

若一件零件经过技术处理后合格，则．

若一件零件成为废品，则．

所以可取，，，

则，，

，

所以随机变量的分布列为

21．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．

（1）求证：AE⊥平面PBC；

（2）试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°．

【答案】（1）见解析（2）当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°

【分析】（1）证明．，推出平面．得到．证明，得到平面．然后证明平面平面．

（2）分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为2，求出为平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．

【详解】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD

∴PA⊥BC

∵ABCD为正方形

∴AB⊥BC       

又 PA∩AB=A，PA，AB平面PAB

∴BC⊥平面PAB

∴AE平面PAB

∴AE⊥BC       

∵PA=AB，E为线段PB的中点

∴AE⊥PB

又 PB∩BC=B，PB，BC平面PBC

∴AE⊥平面PBC       

（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

设正方形ABCD的边长为2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）P（0，0，2）E（1，0，1）

∴，，

设F（2，λ，0）（0≤λ≤2），

∴

设平面AEF的一个法向量为

则

∴

令y1=2，则

∴

设平面PCD的一个法向量为

则

∴

令y2=1，则

∴

∵平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°，

∴，

解得λ=1，

∴当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°

【点睛】本题考查空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直的证明，二面角等基础知识，考查学生的逻辑推理能力，化归与转化能力和空间想象能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算．

22．已知抛物线C：的焦点为F，抛物线上一点到F的距离为3．

(1)求抛物线C的方程：

(2)设直线l与抛物线C交于D，E两点，抛物线C在点D，E处的切线分别为，，若直线与的交点恰好在直线上，证明：直线l恒过定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由抛物线的定义即可求解；

（2）设直线l的方程并与抛物线方程联立，写出韦达定理和两条切线方程，将两切线方程联立可得交点坐标，根据交点在直线上，即可得到所求定点.

【详解】(1)由抛物线C：上一点到F的距离为3，

可得，解得，所以抛物线C的方程为．

(2)证明：设，，

由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，

联立方程，整理得，

所以，且，，

又由，可得，

所以抛物线C在点D处的切线的方程为，即，

同理直线的方程为，联立方程，解得，，又因为直线与的交点恰好在直线y＝－3上，

所以，即，所以，解得，

故直线l的方程为，所以直线l恒过定点．