2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末数学（文）试题含解析

2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用复数的除法运算直接求解.

【详解】因为，所以.

故选：B

2．已知命题: ，命题: 则是的（       ）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充分必要 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】解：若，

则或，

即或，

所以是的必要不充分条件．

故选：B

3．设抛物线C:的焦点为，准线为．是抛物线C上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（       ）

A．经过点 B．经过点

C．平行于直线 D．垂直于直线

【答案】A

【分析】依据题意作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即可求解.

【详解】如图所示：

．

因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.

故选：A.

4．若，则与的大小关系是（       ）

A． B． C． D．不能确定

【答案】B

【分析】由题知，进而研究的符号即可得答案.

【详解】解：，

所以，即.

故选：B

5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A

6．设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数图象的对称中心，结合函数图象平移变换可得结果.

【详解】因为，

所以，，

所以，函数图象的对称中心为，

将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象向下平移个单位长度，可得到奇函数的图象，

即函数为奇函数.

故选：A.

7．观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D．

8．若关于x的方程有解，则实数的取值范围为(       )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将对数方程化为指数方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范围．

【详解】，

，

当且仅当时取等号，

故．

故选：C．

9．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待18秒才出现绿灯的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由几何概型公式求解即可.

【详解】红灯持续时间为40秒，则至少需要等待18秒才出现绿灯的概率为，

故选：B

10．等差数列的通项公式，数列，其前项和为，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据裂项求和法求得，再计算即可.

【详解】解：由题意得

=

=

==

所以.

故选：D

11．圆与直线的位置关系为（       ）

A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定

【答案】C

【分析】先计算出直线恒过定点，而点在圆内，所以圆与直线相交.

【详解】直线可化为，所以恒过定点.

把代入，有：，

所以在圆内，所以圆与直线的位置关系为相交.

故选：C

12．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（       ）

A．2 B．3 C．6 D．9

【答案】D

【详解】试题分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．

解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b

又因为在x=1处有极值

∴a+b=6

∵a＞0，b＞0

∴

当且仅当a=b=3时取等号

所以ab的最大值等于9

故选D

点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．

13．已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数、都有，记，，，则（          ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题，可得是定义在上的偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，根据函数的单调性，即可判断出的大小关系.

【详解】设，

由题，得，即，

所以函数在上单调递减，

因为是定义在R上的奇函数，

所以是定义在上的偶函数，

因此，

，

，

即.

故选：A

【点睛】本题主要考查利用函数的单调性判断大小的问题，其中涉及到构造函数的运用.

14．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据得到三角形为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到，设，进而作，得出，由此求出结果．

【详解】因为 ，

所以，即

所以，

由双曲线的定义，知，

设，则，易得，

如图，作，为垂足，

则，所以，即，即双曲线的离心率为.

故选：B．

二、填空题

15．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，则a=______________．

【答案】0.3

【分析】由频率之和等于1，即矩形面积之和为1可得.

【详解】由题知，

解得.

故答案为：0.3

16．若，且，则_____________．

【答案】

【分析】由，可得，，，从而利用换底公式及对数的运算性质即可求解.

【详解】解：因为，所以，，，又，

所以，

所以，所以，

故答案为：.

17．一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为              .

【答案】

【详解】试题分析：判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．

∵一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，

∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则

棱锥的斜高为该六棱锥的侧面积为

【解析】棱柱、棱锥、棱台的体积

18．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3；

其中，所有正确结论的序号是________．

【答案】①②

【分析】先根据图像的对称性找出整点，再判断是否还有其他的整点在曲线上；找出曲线上离原点距离最大的点的区域，再由基本不等式得到最大值不超过；在心形区域内找到一个内接多边形，该多边形的面积等于3，从而判断出“心形”区域的面积大于3.

【详解】①:由于曲线，

当时，；

当时，；

当时，；

由于图形的对称性可知，没有其他的整点在曲线上，

故曲线恰好经过6个整点：

,,,,,,所以①正确；

②:由图知，到原点距离的最大值是在时，

由基本不等式，当时，，

所以即，所以②正确；

③:由①知长方形CDFE的面积为2，三角形BCE的面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误；

故答案为：①②.

【点睛】找准图形的关键信息，比如对称性，整点，内接多边形是解决本题的关键.

19．已知函数，若过点存在三条直线与曲线相切，则的取值范围为___________．

【答案】

【分析】设过M的切线切点为，求出切线方程，参变分离得，令，则原问题等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点，根据导数研究g(x)的图像即可求出m的范围．

【详解】，

设过点的直线与曲线相切于点，

则，

化简得，，令，

则过点存在三条直线与曲线相切等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点．

∵，

故当x<0或x>1时，，g(x)单调递增；当0<x<1时，，g(x)单调递减，

又，，

∴g(x)如图，

∴-2<-m-2<0，即．

故答案为：﹒

三、双空题

20．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x=_____________，y=_____________．

【答案】     3     5

【分析】根据茎叶图进行数据分析，列方程求出x、y.

【详解】由题意，甲组数据为56，62，65，70+x，74；乙组数据为59，61，67，60+y，78.

要使两组数据中位数相等，有65=60+y，所以y=5.

又平均数相同，则，解得x=3.

故答案为：3；5.

四、解答题

21．已知函数

(1)求函数的单调递减区间；

(2)在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由三角恒等变换公式化简，根据三角函数性质求解

（2）由余弦定理与面积公式，结合基本不等式求解

【详解】(1)由己知可得，

由，解得：，

故的单调递减区间是．

(2)，，

故，得，

由余弦定理得：，

得，当且仅当时等号成立，

故，面积最大值为

22．如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点．

(1)求证：平面平面；

(2)求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设与交点为，延长交的延长线于点，进而根据证明，再结合底面得，进而证明平面即可证明结论；

（2）由得点到平面的距离等于点到平面的距离的，进而过作，垂足为，结合（1）得点到平面的距离等于，再在中根据等面积法求解即可.

【详解】(1)证明：设与交点为，延长交的延长线于点，

因为四棱锥的底面为直角梯形，，

所以，所以，

因为为的中点，所以，

因为

所以，所以，所以，

所以，

又因为，所以，

又因为，所以，

所以，所以

又因为底面，所以，

因为，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面

(2)解：由于，

所以，点到平面的距离等于点到平面的距离的，

因为平面平面，平面平面

故过作，垂足为，

所以，平面，

所以点到平面的距离等于．

在中，，

所以，点到平面的距离等于.

23．已知椭圆（）的左、右焦点为，，，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程．

（2）的左顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，，，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】(1)由可求出，结合离心率可知，进而可求出，即可求出标准方程.

(2) 由题意知，，则由直线的点斜式方程可得直线的解析式为，与椭圆进行联立，设，，结合韦达定理可得，从而由斜率的计算公式对进行整理化简从而可证明.

【详解】（1）解：因为，所以．又因为离心率，所以，则，

所以椭圆的标准方程是．

（2）证明：由题意知，，，则直线的解析式为，

代入椭圆方程，得．

设，，则．又因为，

，所以．

【点睛】关键点睛:

本题第二问的关键是联立直线和椭圆的方程后，结合韦达定理，用表示交点横坐标的和与积，从而代入进行整理化简.

24．已知函数在处的切线与轴平行．

(1)求的值；

(2)判断在上零点的个数，并说明理由．

【答案】(1)0

(2)f（x）在（0，π）上有且只有一个零点，理由见解析

【分析】（1）利用导数的几何意义求解；

（2）由，可得，令，，，，利用导数法求解.

【详解】(1)解：，

所以k=f′（0）=-a=0，所以a=0；

(2)由，可得，

令，，

所以，

①当时，sinx＋cosx≥1，ex＞1，所以g′（x）＞0，

所以g（x）在上单调递增，又因为g（0）=0，

所以g（x）在上无零点；

②当时，令，

所以h′（x）=2cosx ex＜0，即h（x）在上单调递减，

又因为，h（π）=-eπ-1＜0，

所以存在，，

所以g（x）在上单调递增，在上单调递减，

因为，g（π）=-π＜0，

所以g（x）在上且只有一个零点；

综上所述：f（x）在（0，π）上有且只有一个零点．