高考数学一轮复习考点规范练30等差数列及其前n项和含解析新人教A版理

考点规范练30　等差数列及其前n项和

基础巩固

1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2+a8=6,则S9等于(　　)

A B.27 C.54 D.108

答案:B

解析:S9==27.

2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则(　　)

A.an=2n-5 B.an=3n-10

C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n

答案:A

解析:由题意可知,

解得故an=2n-5,Sn=n2-4n,故选A.

3.已知等差数列{an}的前4项和为30,前8项和为100,则它的前12项和为(　　)

A.110 B.200 C.210 D.260

答案:C

解析:设{an}的前n项和为Sn.

∵在等差数列{an}中,S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,

又S4=30,S8=100,

∴30,70,S12-100成等差数列,

∴2×70=30+S12-100,解得S12=210.

4.已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是(　　)

A.18 B.19 C.20 D.21

答案:C

解析:a1+a3+a5=105⇒a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,

则{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,

因此当Sn取得最大值时,n=20.

5.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则n=(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

答案:D

解析:(方法一)由题知Sn=na1+d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,

由Sn+2-Sn=36,得(n+2)2-n2=4n+4=36,所以n=8.

(方法二)Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.

6.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则=　　　　　.

答案:4

解析:设等差数列{an}的公差为d.

∵a1≠0,a2=3a1,∴a1+d=3a1,即d=2a1.

=4.

7.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是　　　　　斤.(注:“斤”为非国际通用单位) 

答案:184

解析:用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,

由题意,得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,

即8a1+17=996,解得a1=65.

所以a8=65+7×17=184.

8.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求Sn,并求Sn的最小值.

解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.

由a1=-7得d=2.

所以{an}的通项公式为an=2n-9.

(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.

所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.

能力提升

9.(2020全国Ⅱ,理4)北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)

A.3 699块 B.3 474块 

C.3 402块 D.3 339块

答案:C

解析:由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为{an}.

设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为{an}为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=27×9+×9=3402.故选C.

10.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,给出以下结论:

①a10=0;②S10最小;③S7=S12;④S19=0.

其中一定正确的结论是(　　)

A.①② B.①③④ C.①③ D.①②④

答案:B

解析:设等差数列{an}的公差为d,

则2a1+3a1+6d=6a1+15d,

即a1+9d=0,a10=0,故①正确;

若a1>0,d<0,则S9=S10,

且它们为Sn的最大值,故②错误;

S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,

即S7=S12,故③正确;

S19==19a10=0,

故④正确.

11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2<0,且1,a2,81成等比数列,a3+a7=-6.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求的前n项和Tn取得最小值时n的值.

解:(1)∵a3+a7=-6=2a5,∴a5=-3.

∵1,a2,81成等比数列,=1×81.

又a2<0,∴a2=-9.

∴等差数列{an}的公差d==2.

∴an=a2+(n-2)×2=2n-13.

(2)∵Sn==n2-12n,

=n-12.

由n-12≤0,解得n≤12.

因此,当n=11或n=12时,的前n项和Tn取得最小值.

12.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.

(1)求通项公式an;

(2)求Sn的最小值;

(3)若数列{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c.

解:(1)∵数列{an}为等差数列,

∴a3+a4=a2+a5=22.

又a3·a4=117,

∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根.

又公差d>0,∴a3<a4,

∴a3=9,a4=13,

∴通项公式an=4n-3.

(2)由(1)知a1=1,d=4,

∴Sn=na1+d=2n2-n=2

∴当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.

(3)由(2)知Sn=2n2-n,

∴bn=,

∴b1=,b2=,b3=

∵数列{bn}是等差数列,

∴2b2=b1+b3,即2=,∴2c2+c=0,

∴c=-(c=0舍去),故c=-

高考预测

13.已知各项均为正数的等差数列{an}满足:a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求同时满足下列条件的所有an的和:①20≤n≤116;②n能够被5整除.

解:(1)∵a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,

解得

∴数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n.

(2)∵n同时满足:①20≤n≤116;②n能够被5整除,

∴满足条件的n组成等差数列{bn},且b1=20,d=5,bn=115,

∴项数为+1=20.

∴{bn}的所有项的和为S20=20×20+20×19×5=1350.

又an=2n,即an=2bn,

∴满足条件的所有an的和为2S20=2×1350=2700.