广西专用高考数学一轮复习考点规范练43点与直线两条直线的位置关系含解析新人教A版文

考点规范练43　点与直线、两条直线的位置关系

基础巩固

1.(2021吉林长春模拟)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-4=0与l2:x+(a+1)y+2=0平行”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.已知a>0,b>0,两条直线l1:(a-1)x+y-1=0,l2:x+2by+1=0,且l1⊥l2,则的最小值为(　　)

A.2 B.4 

C.8 D.9

3.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点(　　)

A.(0,4) 

B.(0,2)

C.(-2,4) 

D.(4,-2)

4.(2021山东东营模拟)圆x2+y2+4y=0的圆心到经过点M(-3,-3)的直线l的距离为,则直线l的方程为(　　)

A.x+2y-9=0或2x-y+3=0

B.x+2y+9=0或2x-y+3=0

C.x+2y+9=0或2x-y-3=0

D.x-2y+9=0或2x-y+3=0

5.若直线l经过直线y=2x+1和y=3x-1的交点,且平行于直线2x+y-3=0,则直线l的方程为　　　　　　　　　. 

6.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距是　　　　　. 

7.已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P(2,3),求过两点Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)的直线方程.

8.已知直线l1:x+y+2=0;l2:mx+2y+n=0.

(1)若l1⊥l2,求m的值;

(2)若l1∥l2,且直线l1与l2之间的距离为,求m,n的值.

9.已知光线从点A(-4,-2)射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在的直线方程.

能力提升

10.三条直线l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0构成一个三角形,则k的取值范围是(　　)

A.k∈R 

B.k∈R,且k≠±1,k≠0

C.k∈R,且k≠±5,k≠-10 

D.k∈R,且k≠±5,k≠1

11.已知点A(1,1)和B,直线l:ax+by-7=0,若直线l与线段AB有公共点,则a2+b2的最小值为(　　)

A.24 B. C.25 D.

12.已知M=,N={(x,y)|ax+2y+a=0},且M∩N=⌀,则a=(　　)

A.-6或-2 B.-6

C.2或-6 D.-2

13.已知点A(3,1),在直线y=x和y=0上各找一点M和N,使△AMN的周长最短,则最短周长为　　　　　. 

14.点P(2,1)到直线l:mx-y-3=0(m∈R)的最大距离是　　　　　. 

15.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,且l1与l2之间的距离是.

(1)求a的值;

(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:

①点P在第一象限;

②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;

③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.

若能,求点P的坐标;若不能,说明理由.

高考预测

16.(2021云南昆明一中月考)函数f(x)=ln x图象上一点P到直线y=2x的最短距离为(　　)

A. B.

C. D.

答案：

1.C　解析因为直线l1:ax+2y-4=0与l2:x+(a+1)y+2=0平行,所以a(a+1)-2=0,解得a=1或a=-2.

当a=-2时,l1:x-y+2=0与l2:x-y+2=0重合,不满足题意,舍去;

当a=1时,l1:x+2y-4=0,l2:x+2y+2=0,显然平行.

因此“a=1”是“直线l1:ax+2y-4=0与l2:x+(a+1)y+2=0平行”的充要条件.

2.C　解析∵a>0,b>0,两条直线l1:(a-1)x+y-1=0,l2:x+2by+1=0,且l1⊥l2,

∴(a-1)+2b=0,即a+2b=1.

∴=(a+2b)=2+2+≥4+2=8,

当且仅当,即a=,b=时等号成立,

∴的最小值为8.故选C.

3.B　解析直线l1:y=k(x-4)(k≠0)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2).

因为直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,所以直线l2恒过定点(0,2).

4.B　解析当直线l的斜率存在时,设经过点M(-3,-3)的直线l的方程为y+3=k(x+3),

即kx-y+3k-3=0,所以圆x2+y2+4y=0的圆心(0,-2)到直线l的距离为d=,解得k=-或k=2,所以直线l的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=0.

当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-3,此时圆心(0,-2)到直线的距离为3,不满足题意;

综上,直线l的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=0.

5.2x+y-9=0　解析直线y=2x+1与y=3x-1的交点为(2,5).

设直线l方程为2x+y+m=0,m≠-3,将(2,5)代入得m=-9.

故直线l方程为2x+y-9=0.

6.　解析由题意得线段AB的中点在直线y=kx+b上,

故解得所以直线方程为y=-x+.

令y=0,即-x+=0,解得x=,故直线y=kx+b在x轴上的截距为.

7.解(方法一)∵P(2,3)是已知两条直线的交点,

∴∴2(a1-a2)+3(b1-b2)=0.

由题意可知,a1≠a2,∴=-.

故所求直线方程为y-b1=-(x-a1),

即2x+3y-(2a1+3b1)=0,

∴2x+3y+1=0.

∴过Q1,Q2两点的直线方程为2x+3y+1=0.

(方法二)∵点P是已知两条直线的交点,

∴

可见Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)都满足方程2x+3y+1=0.

∴过Q1,Q2两点的直线方程为2x+3y+1=0.

8.解(1)因为直线l1的斜率为k1=-1,

又l1⊥l2,所以直线l2的斜率为k2=-=1,解得m=-2.

(2)∵l1∥l2,

∴,解得m=2,且n≠4.

∴l2的方程为x+y+=0,

∴两条平行线间的距离d=,

解得n=4±2.

9.解作出草图,如图所示.

设A关于直线y=x的对称点为A',D关于y轴的对称点为D',

则易得A'(-2,-4),D'(1,6).

由入射角等于反射角可得A'D'所在直线经过点B与点C.

故BC所在的直线方程为,

即10x-3y+8=0.

10.C　解析若有两条直线平行或三条直线交于同一点,则不能构成三角形.

由l1∥l3,得k=5;由l2∥l3,得k=-5;

由x-y=0与x+y-2=0,得x=1,y=1,若(1,1)在l3上,则k=-10.

若l1,l2,l3能构成一个三角形,

则k≠±5,且k≠-10,故选C.

11.B　解析直线l经过点A,可得a+b-7=0,直线l经过点B,可得a+b-7=0,化为3a+2b-18=0.

由题意,可得(a+b-7)(3a+2b-18)≤0,

点(a,b)所在的区域,如阴影部分所示.

a2+b2表示点(a,b)到原点(0,0)的距离的平方,O(0,0)到直线a+b-7=0的距离d1=,O(0,0)到直线3a+2b-18=0的距离d2=,

又=-<0,因此a2+b2的最小值为.故选B.

12.A　解析集合M表示去掉一点A(2,3)的直线3x-y-3=0,集合N表示恒过定点B(-1,0)的直线ax+2y+a=0.

因为M∩N=⌀,所以两直线要么平行,要么直线ax+2y+a=0与直线3x-y-3=0相交于点A(2,3).

因此=3或2a+6+a=0,即a=-6或a=-2.

13.2　解析由点A(3,1)及直线y=x,可求得点A关于y=x的对称点为点B(1,3),同理可求得点A关于y=0的对称点为点C(3,-1),如图所示.

则|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|,当且仅当B,M,N,C四点共线时,△AMN的周长最短,为|BC|=2.

14.2　解析直线l经过定点Q(0,-3),如图所示.

由图知,当PQ⊥l时,点P(2,1)到直线l的距离取得最大值,|PQ|==2,所以点P(2,1)到直线l的最大距离为2.

15.解(1)因为直线l2:2x-y-=0,

所以两条平行线l1与l2间的距离为d=,所以,

即,

又a>0,解得a=3.

(2)存在点P同时满足三个条件,理由如下.

假设存在点P,设点P(x0,y0).若点P满足条件②,

则点P在与l1,l2平行的直线l':2x-y+c=0上,

且,即c=或c=,

所以2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.

若点P满足条件③,由点到直线的距离公式,

有,

即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,

所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0.

因为点P在第一象限,所以3x0+2=0不合题意,舍去.

联立解得(舍去);

联立解得

所以存在点P同时满足三个条件.

16.C　解析设与直线y=2x平行且与曲线f(x)=lnx相切的直线的切点坐标为(x0,lnx0),

因为f'(x)=,则=2,所以=2,

则切点坐标为,最短距离为点到直线y=2x的距离,

即,即点P到直线y=2x的最短距离为.