2023年新高考数学一轮复习课时8.5《空间直线、平面间的垂直》达标练习（2份打包，答案版+教师版）

2023年新高考数学一轮复习课时8.5

《空间直线、平面间的垂直》达标练习

一 、选择题

1.三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　 　)

①CC1与B1E是异面直线；

②AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；

③AC⊥平面ABB1A1；

④A1C1∥平面AB1E.

A.②      B.①③        C.①④      D.②④

【答案解析】答案为：A.

解析：对于①，CC1，B1E都在平面BB1C1C内，故错误；

对于②，AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以AE⊥BC，又B1C1∥BC，故AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1，故正确；

对于③，上底面ABC是一个正三角形，不可能存在AC⊥平面ABB1A1，故错误；

对于④，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故错误.故选A.

2.设a，b表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题正确的是(　　)

A.若a⊥α，且a⊥b，则b∥α

B.若γ⊥α，且γ⊥β，则α∥β

C.若γ∥α，且γ∥β，则α∥β

D.若a∥α，且a∥β，则α∥β

【答案解析】答案为：C；

解析：若a⊥α，且a⊥b，则b∥α或b⊂α，故A不对；若r⊥α，且r⊥β，

则α∥β或α，β相交，故B不对；若a∥α，且a∥β，则α∥β或α，β相交，

故D不对；根据平面平行的传递性可知，C对.故选C.

3.已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是(　　)

A.若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b

B.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β

C.若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β

D.若α∩β=a，a∥b，则b∥α或b∥β

【答案解析】答案为：C；

解析：对于A，若a⊥α，α∥β，则α⊥β，又b⊥β，故a∥b，故A正确；

对于B，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，∴存在直线m⊂α，使得m∥b，

又b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β.故B正确；

对于C，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，又α∥β，∴b⊂β或b∥β，故C错误；

对于D，若α∩β=a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确，故选C.

4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(　　)

A.若m⊥n，n∥α，则m⊥α

B.若m∥β，β⊥α，则m⊥α

C.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α

D.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

【答案解析】答案为：C.

解析：A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；

B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误；

C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；

D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误.]

5.设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是(　 　)

A.若a∥α，b∥α，则a∥b

B.若a⊥α，a∥b，则b⊥α

C.若a⊥α，a⊥b，则b∥α

D.若a∥α，a⊥b，则b⊥α

【答案解析】答案为：B.

解析：若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；

若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；

若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α或b与α相交，故D错误.

6.如图，在下列四个正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是(　 　)

【答案解析】答案为：D.

解析：如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，且六点共面，

直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A，B，C中的平面与这个平面重合，满足题意.

对于选项D中图形，由于E，F为AB，A1B1的中点，所以EF∥BB1，

故∠B1BD1为异面直线EF与BD1所成的角，且tan∠B1BD1=，

即∠B1BD1不为直角，故BD1与平面EFG不垂直，故选D.

7.已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，则下列命题正确的是(　　)

A.若m∥n，n⊂α，则m∥α

B.若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α

C.若l⊥n，m⊥n，则l∥m

D.若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则α⊥β

【答案解析】答案为：D

解析：若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故A不正确；若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，

则n与α相交或n∥α或n⊂α，故B不正确；若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则由直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β.

8.如图，三棱锥P－ABC的所有棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　)

A.BC∥平面PDF

B.DF⊥平面PAE

C.平面PDF⊥平面ABC

D.平面PAE⊥平面ABC

【答案解析】答案为：C

解析：∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF，A正确.

∵BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE.又∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，B正确.

∵BC⊥平面PAE，BC⊂平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，D正确.故选C.

9.设α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为(　　)

A.α⊥β，α∩β=l，m⊥l

B.α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ

C.α⊥γ，β⊥γ，m⊥α

D.n⊥α，n⊥β，m⊥α

【答案解析】答案为：D

解析：若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m与β的位置不确定；若α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能平行，此时m∥β；若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则α，β不一定平行，则m不一定与β垂直；若n⊥α，n⊥β，则α∥β，则m⊥β.故选答案为：D.

10.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①直线BE与直线CF异面；

②直线BE与直线AF异面；

③直线EF∥平面PBC；

④平面BCE⊥平面PAD.

其中正确结论的个数是(　   )

A.1          B.2         C.3          D.4

【答案解析】答案为：B；

解析：画出该几何体，如图所示，

①因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD，所以EF∥BC，

直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；

②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；

③由E，F分别是PA，PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，

因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故③正确；

④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确.

所以正确结论的个数是2.

11.如图，在三棱锥P­ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是(　 　)

A.AP⊥PB，AP⊥PC

B.AP⊥PB，BC⊥PB

C.平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC

D.AP⊥平面PBC

【答案解析】答案为：B.

解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC=P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A能证明AP⊥BC；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，又AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C能证明AP⊥BC；由A知D能证明AP⊥BC；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.

12.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1－ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于(　　)

A.2          B.3           C.4          D.5

【答案解析】答案为：B

解析：设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E⊥平面ABC，

∵D1E⊂平面ABD1，

∴平面ABD1⊥平面ABC.

∵D1E⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，

∴BC⊥平面ABD1.

又BC⊂平面BCD1，

∴平面BCD1⊥平面ABD1.

∵BC⊥平面ABD1，AD1⊂平面ABD1，

∴BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，

∴AD1⊥平面BCD1，

又AD1⊂平面ACD1，

∴平面ACD1⊥平面BCD1.

∴共有3对平面互相垂直.故选B.

二 、填空题

13.如图，∠BAC=90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________________；与AP垂直的直线有______________.

【答案解析】答案为：AB，BC，AC　AB

解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；

∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC=C，∴AB⊥平面PAC.∴与AP垂直的直线是AB.

14.若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为________.

①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；

②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；

③若m⊂α，则在β内不一定存在与m垂直的直线；

④若m⊂α，则在β内一定存在与m垂直的直线.

【答案解析】答案为：②④

解析：对于①，若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m平行的直线，故①错误；对于②，若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确；对于③④，若m⊂α，则在平面β内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确.

15.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的余弦值为________.

【答案解析】答案为：.

解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意πrl=3πr2，即l=3r，

母线与底面夹角为θ，则cos θ==.

16.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.

其中正确结论的序号是________.

【答案解析】答案为：①②③.

解析：[由BC⊥AC，BC⊥PA可得BC⊥平面PAC，

又AF平面PAC，所以AF⊥BC，

又AF⊥PC，则AF⊥平面PBC，从而AF⊥PB，AF⊥BC，故①③正确；

由PB⊥AF，PB⊥AE可得PB⊥平面AEF，从而PB⊥EF，故②正确；

若AE⊥平面PBC，则由AF⊥平面PBC知AE∥AF与已知矛盾，故④错误.]