2023年新高考数学一轮复习课时2.3《基本不等式》达标练习（2份打包，答案版+教师版）

2023年新高考数学一轮复习课时2.3

《基本不等式》达标练习

一 、选择题

1.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)

A.80元          B.120元       C.160元          D.240元

2.已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(　　)

A.          B.        C.1          D.2

3. “a＞b＞0”是“ab＜”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　)

A.a<b<<  B.a<<<b   C.a<<b<   D.<a<<b

5.若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　　)

A.          B.        C.          D.

6.当x>0时，函数f(x)＝有(　　)

A.最小值1         B.最大值1      C.最小值2         D.最大值2

7.当0<m<时，若＋≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为(　 　)

A.[－2,0)∪(0,4]        B.[－4,0)∪(0,2]

C.[－4,2]               D.[－2,4]

8.若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是(　　)

A.2         B.3       C.4         D.5

9.当0＜m＜时，若＋≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为(　 　)

A.[－2,0)∪(0,4]     B.[－4,0)∪(0,2]    C.[－4,2]      D.[－2,4]

10.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4=5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为(　　)

A.10         B.15       C.20         D.25

11.已知函数f(x)=x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12(a<0)，且f(a2－4)=f(2a－8)，

则(n∈N*)的最小值为(　　)

A.           B.             C.              D.

12.对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，－2)    B.[－2，＋∞)    C.[－2,2]      D.[0，＋∞)

二 、填空题

13.某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计).则泳池的长设计为　 　米时，可使总造价最低.

14.若x>0，y>0，x＋4y＋2xy=7，则x＋2y的最小值是     .

15.已知0＜x＜，则y=＋的最小值为________.

16.已知x，y为正实数，则＋的最小值为        .

0.答案解析

1.答案为：C.

解析：设容器底面矩形的长和宽分别为a和b，容器的总造价为y元，则ab=4，

y=4×20＋10×2(a＋b)=20(a＋b)＋80，∵a＋b≥2=4(当且仅当a=b=2时等号成立)，

∴y≥160，故选C.]

2.答案为：C

解析：由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，

当且仅当x＝时取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，

当且仅当x＝－时取等号.所以解得a＝1.故选C.

3.答案为：A；

解析：由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，

故“a＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要条件，故选A.

4.答案为：B

解析：因为0<a<b，所以a－=(－)<0，故a＜；

b－=＞0，故b>；由基本不等式知>.

综上所述，a<<<b.故选B.

5.答案为：B

解析：对于x2＋3xy－1＝0可得y＝( -x)，

∴x＋y＝＋≥2＝(当且仅当x＝时等号成立).故选B.

6.答案为：B

解析：f(x)＝≤＝1.当且仅当x＝，x>0即x＝1时取等号.

所以f(x)有最大值1.

7.答案为：D.

解析：因为0<m<，所以×2m×(1－2m)≤×2=，

当且仅当2m=1－2m，即m=时取等号，所以＋=≥8，

又＋≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.

所以实数k的取值范围是[－2,4].故选D.

8.答案为：D

解析：由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·(＋)

＝(4＋9＋＋)≥(4＋9＋2 )＝5，当且仅当＝，即y＝2x时，“＝”成立，故4x＋3y的最小值为5.

9.答案为：D；

解析：因为0＜m＜，所以×2m×(1－2m)≤×2=，

当且仅当2m=1－2m，即m=时取等号，所以＋=≥8，

又＋≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.

所以实数k的取值范围是[－2,4]，故选D.

10.答案为：C；

解析：由题意可得a9＋a10＋a11＋a12=S12－S8，由S8－2S4=5可得S8－S4=S4＋5，

由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)=(S8－S4)2，

综上可得：a9＋a10＋a11＋a12=S12－S8==S4＋＋10≥2＋10=20，

当且仅当S4=5时等号成立.故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.

11.答案为：A；

解析：二次函数f(x)=x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12图象的对称轴为直线x=－，

由f(a2－4)=f(2a－8)及二次函数的图象，可以得出=－，

解得a=－4或a=1，又a<0，所以a=－4，所以f(x)=x2＋4x，

所以===n＋1＋＋2

≥2＋2=2＋2，又n∈N*，所以当且仅当n＋1=，

即n=－1时等号成立，当n=2时，=，

n=3时，=＋2=<，所以最小值为，故选A.

12.答案为：B

解析：当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，此时a∈R，当x≠0时，

则有a≥＝－(|x|＋)，设f(x)＝－(|x|＋)，则a≥f(x)max，由基本不等式得|x|＋≥2(当且仅当|x|＝1时取等号)，则f(x)max＝－2，故a≥－2.故选B.

二 、填空题

13.答案为：15；

解析：设泳池的长为x米，则宽为米，

总造价f(x)=400×＋100×＋60×200=800×＋12 000

≥1 600＋12 000=36 000(元)，当且仅当x=(x＞0)，

即x=15时等号成立，即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低.

14.答案为：3.

解析：因为x>0，y>0，x＋4y＋2xy=7，则2y=.

则x＋2y=x＋=x＋2＋－3≥2－3=3，

当且仅当x=1时取等号.因此其最小值是3.

15.答案为：.

解析：∵y=＋=，设5x＋6=t，则x=，

∵0＜x＜，∴6＜t＜，∴y===，

记f(t)=t＋，易知f(t)在(6，9)上是减函数，在上是增函数，

∴当t=9时函数f(t)=t＋取得最小值，最小值为18，

∴当t=9时函数y=取得最小值，最小值为.

16.答案为：.

解析：∵x，y为正实数，则＋=＋＋1=＋＋1，

令t=，则t>0，∴＋=＋t＋1

=＋t＋＋≥2＋=，当且仅当t=时取等号.

∴＋的最小值为.