广东省茂名市高州市2022年中考数学一模试题及答案

 中考数学一模试题

一、单选题

1．-2022的绝对值是（　　）

A．2022 B．-2022 C． D．

2．若在一组数据4，3，2，4，2中再添加一个数后，它们的平均数不变，则添加数据后这组数据的中位数是（　　）

A．3 B．4 C．3.5 D．4.5

3．如图，AM∥BN，∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）．

A．135° B．145° C．165° D．155°

4．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）  

A．等边三角形 B．圆 C．矩形 D．平行四边形

5．根据《茂名市第七次全国人口普查公报》，至2020年11月1日零时，高州市常住人口数约为1.33×106人，则数据1.33×106表示的原数是（　　）

A．13300 B．133000 C．1330000 D．13300000

6．小红想在2个“冰墩墩”和2个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小红选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的概率是（　　）

A． B． C． D．

7．如图的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是（　　）

A． B．

C． D．

8．在实数范围内，下列代数式一定有意义的是（　　）

A． B．y0 C． D．

9．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（　　） 

A． B． C． D．7

10．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（m，0），点C（0，﹣m），其中2＜m＜3，下列结论：①＞0，②2a＋c＜0，③2a＋b＞0，④方程ax2＋bx＋c＋m＝0有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

11．四个实数﹣2，0，﹣，3中，最小的实数是　     　．

12．分解因式： 　            　．  

13．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值　     　．（写出一个即可）

14．若一个n边形的每个外角都是，则n的值为　     　．

15．如图，在△ABC中，AC＝BC，在边AB上截取AD＝AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是　     　．

16．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝　     　．

17．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转60°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转60°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…则P3的坐标为　           　，P32的坐标为　                   　．

三、解答题

18．解不等式组：．

19．先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中x＝﹣2

20．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，M为AD上一点．

（1）请你用尺规在BC边上求作一点N，使得线段MN的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）连接DN，若AD＝BN，求证：AB＝DN．

21．某校为了做好课后延时服务，让“双减”政策落地生“花”，采取电子问卷（问卷如图所示）的方式随机调查了部分学生对课后延时服务的满意程度，所有问卷全部收回，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

你对课后延时服务满意吗？（仅选一项）

A.非常满意B．满意C．一般D．不满意

（1）这次活动共调查了　     　人．

（2）请补全条形统计图．

（3）在扇形统计图中，求D对应的圆心角的度数．

（4）根据调查结果，估计该校1500名学生中对课后延时服务满意及非常满意的共有多少人？

22．为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，营造读书好，好读书，读好书的氛围，某校图书馆购进甲、乙两种图书，已知甲、乙两种图书的单价分别是25元和8元．

（1）学校第一次购买甲、乙两种图书共100本，且恰好支出1820元，求第一购买了甲、乙两种图书各多少本？

（2）若学校准备再次购买甲、乙两种图书共210本，且甲种图书的数量不低于乙种图书数量的一半，请问怎么购买费用最少？最少费用是多少元？

23．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，点B在点A的右侧，反比例函数在第一象限内的图象与直线交于点D，且反比例函数交BC于点E，AD＝3．

（1）求D点的坐标及反比例函数的关系式；

（2）若矩形的面积是24，求出△CDE的面积．

（3）直接写出当x＞4时，y1的取值范围　     　．

24．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD，交⊙O于点D．连接CD交AB于点E，延长BD和CA相交于点P，过点A作AG∥CD交BP于点G．

（1）求证：直线GA是⊙O的切线．

（2）求证：AG•AD＝GD•AB．

（3）若tan∠AGB＝，PG＝6，求sinP的值．

25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）如图1，连接AD，交y轴于点E，点P是第一象限的抛物线上的一个动点，连接PD交x轴于F，连接EF、AP，若S△ADP＝3S△DEF，求点P的坐标．

（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设△AOQ外接圆圆心为H，当sin∠OQA的值最大时，请求出点H的坐标．

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】A

3．【答案】B

4．【答案】D

5．【答案】C

6．【答案】C

7．【答案】B

8．【答案】C

9．【答案】B

10．【答案】D

11．【答案】-2

12．【答案】

13．【答案】0

14．【答案】9

15．【答案】36°

16．【答案】20°

17．【答案】（﹣8，0）；（﹣231，231•）

18．【答案】解：，

解不等式①得，x≥2，

解不等式②得，x<7，

∴原不等式组的解集为2≤x<7．

19．【答案】解：÷（﹣x﹣2）

＝

＝

＝﹣，

当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣2．

20．【答案】（1）解：如图，N点为所作；

（2）证明：∵，AD＝BN，

∴四边形ABND为平行四边形，

∴AB＝DN．

21．【答案】（1）200

（2）解：C等级人数为200﹣（40+80+10）＝70（人），补全条形图如下：

（3）解：D对应的圆心角的度数为：＝18°．

（4）解：＝900（人），

答：根据调查结果，估计该校1500名学生中对课后延时服务满意及非常满意的共有900人．

22．【答案】（1）解：设购买甲种图书a本，乙种图书b本，根据题意，得：

，

解得 ，

答：购买甲种图书60本，乙种图书40本；

（2）解：设购买费用为w元，购买乙种图书x本，则买甲种图书（210﹣x）本，根据题意，得：

w＝25（210﹣x）+8x＝﹣17x+5250，

由甲种图书的数量不低于乙种图书数量的一半，得：

，

解得x≤70，

∵w＝﹣17x+5250，﹣17＜0，

∴w随x的增大而减小，

∴当x＝70时，w最小＝﹣17×70+5250＝4060，

此时210﹣70＝140，

答：当购买甲种图140本，购买乙种图书70本时，购买费用最少，最少费用是4060元．

23．【答案】（1）解：根据题意得：点D的纵坐标为3，

把y＝3代入得：，

解得：x＝4，

即点D的坐标为：（4，3），

把点D（4，3）代入得：，

解得：k＝12，

即反比例函数的关系式为：，

（2）解：设线段AB，线段CD的长度为m，

根据题意得：3m＝24，

解得：m＝8，

∴点B，点C的横坐标为：4+8＝12，

把x＝12代入得：y＝1，

∴点E的坐标为：（12，1），

∴CE＝3－1＝2，

∴S△CDE＝CE×CD＝×2×8＝8；

（3）

24．【答案】（1）证明：∵将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD，

∴BC＝BD．

∴点B在CD的垂直平分线上．

同理得：点A在CD的垂直平分线上．

∴AB⊥CD即OA⊥CD，

∵AGCD．

∴OA⊥GA．

∵OA是⊙O的半径，

∴直线GA是⊙O的切线；

（2）证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°．

∴∠ABD+∠BAD＝90°．

∵∠GAB＝90°，

∴∠GAD+∠BAD＝90°．

∴∠ABD＝∠GAD．

∵∠ADB＝∠ADG＝90°，

∴△BAD∽△AGD．

∴．

∴AG•AD＝GD•AB；

（3）解：∵tan∠AGB＝，∠ADG＝90°，

∴=．

∴AD=GD．

由（2）知，△BAD∽△AGD，

∴，

∴AD2＝GD•BD，

∴BD＝2GD．

∵＝，

∴∠GAD＝∠GBA＝∠PCD．

∵AGCD，

∴∠PAG＝∠PCD．

∴∠PAG＝∠PBA．

∵∠P＝∠P，

∴△PAG∽△PBA．

∴PA2＝PG•PB

∵PG＝6，BD＝2GD，

∴PA2＝6（6+3GD）．

∵∠ADP＝90°，

∴PA2＝AD2+PD2．

∴6（6+3GD）＝（GD）2+（6+GD）2．

解得：GD＝2或GD＝0（舍去）．

∴AD＝2，AP＝6，

∴sinP＝＝．

25．【答案】（1）解：把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中，得：

，解得：，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．

∴令x＝0，得：y＝﹣3，

则C（0，﹣3），

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴D（1，﹣4）．

设直线AD的解析式为y＝kx+b，

∵A（﹣1，0），D（1，﹣4），

∴，

解得：，

∴直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣2，

令x＝0，则y＝﹣2，

∴E（0，﹣2），

∴AE＝＝＝，ED＝＝，

∴AE＝ED，

∴S△FAE＝S△FED，

∵S△ADP＝3S△DEF，

∴S△APF＝S△ADP﹣S△AFD＝3S△DEF﹣S△AFD＝3S△DEF﹣2S△DEF＝S△DEF＝S△AEF，

∵OE⊥AF，

∴AF•OE＝AF•yP，

∴OE＝yP＝2，

依题意，设P（m，m2﹣2m﹣3），其中m＞3，

∴m2﹣2m﹣3＝2，

解得：m1＝1+，m2＝1﹣（舍去），

∴P（1+，2）；

（3）解：如图，作△AOQ的外心H，作HG⊥x轴，则AG＝GO＝，

∵AH＝HO，

∴H在AO的垂直平分线上运动，

依题意，当sin∠OQA最大时，即∠OQA最大时，

∵H是△AOQ的外心，

∴∠AHO＝2∠AHG＝2∠OQA，即当sin∠AHG最大时，sin∠OQA最大，

∵AG＝AO＝，

∴sin∠OQA＝sin∠AHG＝，

则当AH取得最小值时，sin∠OQA最大，

∵AH＝HQ，

即当HQ⊥直线x＝1时，AH取得最小值，此时HQ＝1﹣（﹣）＝，

∴AH＝，

在Rt△AHG中，HG＝＝＝，

∴H（﹣，），

根据对称性，则存在H（﹣，﹣），

综上所述，H（﹣，）或H（﹣，﹣）．