2022年上海市宝山区中考数学模拟试卷（5月份）（含解析）

2022年上海市宝山区中考数学模拟试卷（5月份）

一、选择题（本大题共6小题，共24分）

1. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

2. 截止到年月日，国庆档电影长津湖累计票房超过了约元，正式跻身中国电影历史票房前三名，将用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列四边形中，是中心对称但不是轴对称的图形是

A. 矩形 B. 等腰梯形 C. 正方形 D. 平行四边形

4. 某地连续天的最高气温统计如下：

这组数据的众数和中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 关于抛物线的判断，下列说法正确的是

A. 抛物线的开口方向向上 B. 抛物线的对称轴是直线
C. 抛物线对称轴左侧部分是下降的 D. 抛物线顶点到轴的距离是

6. 在直角坐标平面内，如果点在以为圆心，为半径的圆内，那么的取值范围是

A.  B.  C.  D. ．

二、填空题（本大题共12小题，共48分）

7. 的相反数是______．
8. 计算： ______ ．
9. 不等式组的解集为______．
10. 方程的根是______．
11. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是______．
12. 在一个不透明的袋子中，装有若干个除颜色外都相同的小球，其中有个红球和个黑球，从袋中任意摸出一个球，若摸出黑球的概率是，则______．
13. 如果反比例函数是常数，且的图象经过点，那么这个反比例函数的图象在第______象限．
14. 一个正多边形的外角与其相邻的内角之比为：，那么这个多边形的边数为______．
15. 已知点是的重心，设，，那么向量用向量、表示为______．
16. 如图，是的直径，是弧的中点，交弦于点如果，，那么的长为______．
     

17. 如图，在平行四边形中，是的中点，交于点，那么：的比值为______．

18. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到点，的对应点分别为点，，延长分别交、于点、，如果，那么的长为______．

三、计算题（本大题共2小题，共20分）

19. 计算：．
20. 解方程组：．

四、解答题（本大题共5小题，共58分）

21. 如图，直线与轴、轴分别交于，，与双曲线交于，．
    求直线的表达式；
    将点向右平移到点，点恰好在双曲线上．如果是第四象限内的点，且满足，求点的坐标．

22. 为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，设备说明书中的部分内容如下所示．

如果该设备的安装高度为时，请求出图中线段的长度；结果精确到
如果学校要求测温区域的宽度为时，请求出该设备的安装高度．结果精确到
参考数据：，，，，，

23. 已知：如图，正方形中，、分别是边、上的点，．
    求证：；
    联结、，如果，求证：．
    
     

24. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，联结、．
    求该抛物线的表达式及顶点的坐标；
    如果点在抛物线上，平分，求点的坐标；
    如果点在抛物线的对称轴上，与相似，求点的坐标．

25. 如图，在中，，，，点在边上，以为圆心，为半径的交射线于点，联结，作交直线于点．
    当点与点重合时，求的正切值；
    如果点在边上点不与点、重合，设，，求关于的函数解析式及定义域；
    如果，求的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、，故本选项错误．
B、，故本选项正确．
C、，故本选项错误．
D、与，不能合并同类项故本选项错误．
故选：．
根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
 

2.【答案】

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：、矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、等腰梯形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．
 

4.【答案】

【解析】解：这组数据的众数为、中位数为，
故选：．
众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中是出现次数最多的，故众数是；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是这组数据的中位数．
本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
 

5.【答案】

【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为，
在对称轴左侧，随的增大而增大，
、、不正确；
抛物线顶点到轴的距离是，
D正确，
故选：．
由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、增减性以及顶点坐标，进一步可得出答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
 

6.【答案】

【解析】解：点在以为圆心，为半径的圆内，
，
则，
解得，
故选：．
由点在以为圆心，为半径的圆内知，据此可得答案．
本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 

7.【答案】

【解析】解：的相反数是：．
故答案为：．
直接利用只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
 

8.【答案】

【解析】解：原式

．
故答案为：．
把原式化为，再根据同分母的分式相加减进行计算即可．
本题考查了分式的加减法则，注意：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
 

9.【答案】

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：方程两边平方得，，
解方程得，，
经检验是原方程的增根，
所以原方程的根为．
故答案为．
先把方程两边平方，使原方程化为整式方程，解此一元二次方程得到，，把它们分别代入原方程得到是原方程的增根，由此得到原方程的根为．
本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．
 

11.【答案】

【解析】解：根据题意得，
解得，
即的取值范围是．
故答案为：．
利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
 

12.【答案】

【解析】解：其中有个红球和个黑球，从袋中任意摸出一个球，若摸出黑球的概率是，
，
解得：，
经检验是原方程的解，
故答案为：．
利用概率公式列式计算即可．
考查了概率公式的知识，解题的关键是根据概率的公式列出分式方程并检验，难度不大．
 

13.【答案】二、四

【解析】解：反比例函数是常数，且的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为，
这个函数图象在第二、四象限．
故答案为：二、四．
利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出值，再利用反比例函数的性质，即可得出这个函数图象所在的象限．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出值是解题的关键．
 

14.【答案】十

【解析】解：设正多边形的每个外角的度数为，与它相邻的内角的度数为，依题意有：
，
解得，
这个多边形的边数．
故答案为：十．
设正多边形的每个外角的度数为，与它相邻的内角的度数为，根据邻补角的定义得到，解出，然后根据多边形的外角和为即可计算出多边形的边数．
本题考查了多边形的外角定理：多边形的外角和为也考查了邻补角的定义．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，延长到，使得，连接，．

，，
四边形是平行四边形，
，，
，
是重心，
，
，
，

如图，延长到，使得，连接，求出，证明即可解决问题．
本题考查三角形的重心，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

16.【答案】

【解析】解：设，则，
是弧的中点，过圆心，，
，，
，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即，
，
故答案为：．
根据垂径定理得出，，根据勾股定理得出，求出，求出，再求出即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理等知识点，能根据垂径定理得出和是解此题的关键．
 

17.【答案】：

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，
∽，
：：：，
是的中点，
：：：：，
设，则，，，
又，
，
，
：：．
故答案为：：．
首先利用平行四边形的性质证明∽，然后利用相似三角形的的性质得到：：：，接着利用是的中点依次求出，，，，，，最后求出题目的结果．
本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，同时也利用了三角形的面积公式及三角形的中点的性质，有一定的综合性．
 

18.【答案】

【解析】解：过点作于点，连接，

，
设，，
将绕点逆时针旋转，得到，
，，，
，，
≌，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
故答案为：．
过点作于点，连接，设，，利用证明≌，得，利用三角函数表示出的长度，再根据∽，从而解决问题．
本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，设参数表示各线段的长是解题问题的关键．
 

19.【答案】解：原式



．

【解析】根据负指数幂，分数指数幂，特殊角的三角函数值、化简绝对值、二次根式的化简的运算，得出各部分的最简结果，合并即可得出答案，具体：是正整数，、为整数，，．
本题考查实数的运算、绝对值的化简、负分数指数幂、二次根式的化简，难度一般，注意各部分的运算法则．
 

20.【答案】解：，
由，得，
或．
由、可得新方程组，．
解方程组，
得，．
解方程组，
得，．
所以原方程组的解为：，，，．

【解析】先因式分解组中的第二个方程，把它化为两个一次方程后与组中的第一个方程组成新的方程组，求解即可．
本题考查了解二元二次方程组，利用因式分解的办法，把方程组转化为由一个一次方程和一个二次方程组成的方程组是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：由题意，，，
，，

解得，
直线解析为；
由可知，
由，得，
，
，
轴，
，
点在的垂直平分线上，
设垂直于，则轴，
点的纵坐标为为，
则，
点的坐标为．

【解析】把，代入即可求得、的值，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式；
先求得的坐标，即可判断轴，由，得到点在的垂直平分线上，设垂直于，则，即可得到点的坐标为．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，平移的性质，等腰三角形的三线合一的性质，求得点的坐标是解题的关键．
 

22.【答案】解：在中，，，
则，
答：线段的长度约为；
设的长为，
在中，，
则，
在中，，
则，
由题意得：，
解得：，
答：该设备的安装高度约为．

【解析】根据正切的定义求出；
设的长为，根据正切的定义分别用表示出、，根据题意列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】证明：设与交于点，

四边形是正方形，
，，
．
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
，
，
，
，
，

∽，
，
由得，≌，
，
，
．

【解析】设与交于点，根据同角的余角相等得，再利用证明≌，得；
根据两个角相等证明∽，得，由得，≌，则，等量代换即可．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键．
 

24.【答案】解：把点，两点的坐标代入得：
，
解得．
抛物线的解析式为；
，
顶点的坐标为；

过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，交于点，

，，
抛物线的解析式为，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
设，
，，
，解得舍去或，
点的坐标为；

如图：设对称轴于轴交于点．

顶点的坐标为，
，
，，
，，，
，．
当时，∽．
，即，
，
，
的坐标是；
当时，∽．
，即，
，
，
的坐标是；
，，
．
点不可能在的延长线上，
综上所述，的坐标是或．

【解析】把点，两点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法即可求解；
过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，交于点，则，，由可得，由平分可得，求出，得，设，即可求解；
可得，分两种情况，当时，当时，根据相似三角形的性质即可求解．
本题是二次函数的综合题型，考查待定系数法求函数的解析式、二次函数的应用、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，利用分类思想是解题的关键．
 

25.【答案】解：过作于，如图：

，，，
，
，
设半径为，则，
，
，
在中，
，
，
在中，，
在中，，
，
解得，
，
，
，
又，
∽，
，
，
答：的正切值为；
过作于，如图：

同可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
而，
，
整理得：，
点在边上，不与点、重合，
，
；
当在线段上时，作于，如图：

，
，
同可得∽，
，即，
，
，
，
，
在中，，
，
；
当在线段的延长线上时，过作于，如图：

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
，
在中，，
，
，
综上所述，的长是或．

【解析】过作于，根据，，，得，，设半径为，，可得，在和中，可得，解得，由∽，即有，故；
过作于，同可得，，证明∽，得，即可得，从而，又点在边上，不与点、重合，知，即可得答案；
分两种情况：当在线段上时，作于，由∽，有，即，得，，，而，即得；当在线段的延长线上时，过作于，同理可得，，可得，同理得．
本题考查圆的综合应用，涉及解直角三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形和相似三角形解决问题，本题有一定难度．