2021云南省部分名校高二下学期期末联考数学（理）试题含答案

云南省部分名校2020-2021学年高二下学期期末联考

数学试卷（理科）

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．

2．请将各题答案填写在答题卡上．

3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则=（　　）

A． B． C． D．

2．设复数z满足．则z的虚部为（　　）

A． B． C． D．

3．已知a，b的等比中项为1，则的最小值为（　　）

A． B．1 C． D．2

4．若双曲线的一条渐近线方程为．则m=（　　）

A． B． C．4 D．2

5．已知平面向量，．且．测m=（　　）

A．1 B． C． D．2

6．已知x，y满足约束条件，则的最大值为（　　）

A． B．0 C．2 D．3

7．已知抛物线C：的燃点为F抛物线C上一点A满足，则以点A为圆心，为半径的圆被x轴所截得的弦长为（　　）

A．1 B．2 C． D．

8．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：（t为时间，单位为分钟．为环境温度．为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度，环境温度，常数，大约经过多少分钟水温降为50℃？（　　）（参考数据：，）

A．5 B．6 C．7 D．8

9．点P在函数的图象上，若满足到直线的距离为1的点P有且仅有1个，则a=（　　）

A． B． C． D．

10．将1，2，3．4．5．6这6个数填入如图所示的3行2列表格中，要求表格每一行数字之和均相等，则可组成不同表格的个数为（　　）

A．8 B．24 C．48 D．64

11．已知圆锥的侧面积为，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆．则该圆锥外接球的表面积为（　　）

A． B． C． D．

12．将数列和中的所有项按从小到大排成如下数阵：

用表示第i行第j列的数．则（　　）

A．1647 B．1570 C．1490 D．1442

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．已知函数为奇函数，则=__________．

14．开式中的常数项为，则a=__________．

15．如图，在正方体中，M，N分别是，的中点，P是上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为__________．

16．已知，函数，若不等式恒成立，则a的取值范围为__________．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（―）必考题：共60分．

17．（12分）

的内角A，B．C的对边分别为a，b，c，的面积为．

（1）求A；

（2）若，求．

18．（12分）

如图，在三棱锥中，，平面平面，E，F分别是，的中点．

（1）证明：．

（2）若，求二面角的余弦值

19．（12分）

在“低碳生活知识竞赛”第一环节测试中，依次回答A，B，C三道题，且A，B，C三道题的分值分别为30分、20分、20分．竞赛规定：选手累计得分不低于40分即通过测试，并立即停止答题．已知甲选手回答A，B，C三道题正确的概率分别为0.1、0.5、0.5，乙选手回答A，B，C三道题正确的概率分别为0.2、0.4、0.4，且回答各题时相互之间没有影响．

（1）求甲通过测试的概率；

（2）设Y为本次测试中乙的得分，求Y的分布列以及期望；

（3）请根据测试结果来分析，甲，乙两人谁通过测试的概率更大？

20．（12分）

已知F是椭圆E的右焦点，点是椭圆上一点，且轴．

（1）求椭圆E的方程；

（2）过F作直线l交E于A，B两点，且的面积为，O为坐标原点．求直线l的斜率．

21．（12分）

已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若恒成立，求a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

直角坐标系中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）已知点，若直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．

23．［选修4—5，不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）当时，若恒成立求a的取值范围．

云南省部分名校2020-2021学年高二下学期期末联考

数学试卷参考答案（理科）

1．A因为，所以．

2．C　，则的虚部为．

3．D由题可知．．所以，当且仅当时，取得最小值．

4．Ｃ由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得．

5．B由，得，所以，则．

6．C画出可行域（图略）知，当平移到过点时，z取得最大值，最大值为2．

7．B由抛物线方程可得由抛物线定义可得|．则，，则以点A为圆心，为半径的圆被x轴所截得的弦长为．

8．A由题意知，分钟，故选A．

9．B设直线与相切于点，则，解得切点为，由题可知到直线的距离为1．所以，解得，结合图象（图略）可知，．

10．C由，则可组成不同表格的个数为．

11．D设圆锥的底面半径为r，高为h．母线长为l．则，，解得，，，设圆锥外接球的半径为R．所以，解得，则外接球的表面积为．

12．A由，可知是第45个数，推理可知前45项中，占有6项，占有39项，所以．

13． ，则．

14．的通项公式为，当时，，此时展开式中的常数项为，则．

15．在边上取点E，使得，连接，，则，所以为异面直线与所成角．设，则，，所以．

16．结合函数的图象（图略）可知，为奇函数，所以不等式，可化为，所以，则，即a的取值范围为．

17．解：（1）由题可知，

则，∴．

（2）∵，由正弦定理得，

又，

∴，

整理可得．即，

∴．

由，，所以，，

．

18．（1）证明：作O为的中点，连接，，则，．

又，所以平面．

所以．

因为E，F分别为，的中点，所以，则．

（2）解：由平面平面，交线为，所以平面．

以O为坐标原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，

所以，．

设平面的一个法向量，

由，得，取

又易知平面的一个法向量，

故，

所以二面角的余弦值为．

19．解：（1）若甲通过测试，则甲的得分X为40或50，

，

，

所以．

（2）Y的可能取值为0，20，30，40，50．

，

，

，

，

．

Y的分布列为

则．

（3）甲通过测试的概率更大．

理由如下：

乙通过测试的概率，

甲通过测试的概率为0.3，大于乙通过测试的概率．

20．解：（1）由题可知，

解得，，，

所以椭圆的方程为．

（2）设l的方程为，，，

联立方程组，可得，

则，，

所．

О到直线l的距离为，所以的面积，

解得，即直线l的斜率为．

21．解：（1）．

令，则，则函数在上单调递减，在上单调递增．

又因为．且当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．

（2）若恒成立，则在上恒成立．

令，则，．

令．则，故在上单调递增，

故存在，使得，从而，，

故在上单调递减，在上单调递增，

故，

故的最小值是1，即a的取值范围是．

22．解：（1）曲线C的参数方程为（m为参数），

所以，，

相减可得．即曲线C的普通方程为．

直线l的极坐标方程为，则转换为直角坐标方程为．

（2）直线过点，直线的参数方程为（t为参数）．

令点A，B对应的参数分别为，

将代入，得，

得，，

∴．

23．解：（1）（1）当时，得，解得，所以；

（2）当时，得，解得，所以；

（3）当时，得，解得，所以．

综上所述，原不等式的解集为

（2）

所以，

又恒成立，所以，解得，所以的取值范围为．