2021自治区乌兰察布集宁区高二下学期期中考试数学（理）试题含答案

乌兰察布市集宁区2020-2021学年高二下学期期中考试

理科数学试卷

考试范围：选修2-1、选修4-4、选修2-2部分；考试时间：120分钟

第I卷（选择题）

一、选择题(每小题5分，共12小题，总分60分)

1、条件，且是的充分不必要条件，则可以是（    ）

A． B． C． D．

2、曲线 在点 处的切线方程为（    ）

A．    B．        C．       D．

3、曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：，则曲线C的方程为（    ）

A． B． C． D．

4、已知点为双曲线上一点，则它的离心率为（    ）

A． B． C． D．

5、已知函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内的极小值有（     ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

6、设r>0，那么直线xcosθ＋ysinθ＝r与圆 (φ是参数)的位

置关系是(　　)

A．相交 B．相切

C．相离 D．视r的大小而定

7、若函数满足，，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．0 D．

8、已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A．                   B． 

C．                   D．

9、直线为参数）和圆交于两点，则的中点坐标为（    ）

A． B． C． D．

10、设函数的定义域为，是其导函数，若，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

11、已知函数f(x)在x=x0处的导数为12，则（    ）

A．-4 B．4 C．-36 D．36

12、已知椭圆，过M的右焦点作直线

交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（    ）

A．                  B． 

C．                  D．

第II卷（非选择题）

二、填空题(每空5分，共20分)

13、已知点在椭圆上，则的最大值为            .

14、设函数．若，则a =            .

15、三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，则直线PA与底面ABC所成角的大小为            .

16、下列说法正确的是            .

（1）对于命题 ： ，使得 ，则 ： ，均有

（2）“ ”是“ ”的充分不必要条件

（3）命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ”

（4）若 为假命题，则 ， 均为假命题

三、解答题(共70分)

17、(10分)设函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求的解析式；

（2）求的极值.

18、(12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，，，求二面角的平面角的余弦值.

19、(12分)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.

20、(12分)定义在实数集上的函数，．

（1）求函数的图象在处的切线方程；

（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．

21、(12分)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）过点，倾斜角为的直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值.

22、(12分)已知椭圆的离心率为，一个焦点在直线上，直线与椭圆交于两点，其中直线的斜率为，直线的斜率为。

（1）求椭圆方程；

（2）若，试问⊿的面积是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由。

乌兰察布市集宁区2020-2021学年高二下学期期中考试

理科数学答案

1．D  2．B  3．A  4．B  5．B 

6．B  7．C  8．C  9．D  10．A 

11．A  12．D

13．         14．1         15．45°       16．（1）（2）（3）

17．（1），

曲线在点处的切线方程为，

所以，

；

（2）由（1）得，

令或，

或，

递增区间是，递减区间是，

的极大值为，极小值为.

18．（1）连，设，连，

因为是的中点，为的中点，所以，

又因为平面，平面，

所以平面；

（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，.

设为平面的法向量，

则，令，则.

又为平面的一个法向量，

由向量的夹角公式，可得

所以二面角的平面角的余弦值为.

19．（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；

（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离

当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.

20．（1）∵，∴，，∴，

∴所求切线方程为，即．

（2）令，

∴，

当时，；当时，；

当时，，要使恒成立，即，

由上知的最大值在或取得，而，，

∵，∴，即．

21．（1）因为曲线C的参数方程为

，（为参数），

所以曲线C的直角坐标方程为，

即，

将，，，

代入上式得.

（2）直线l的参数方程为，（t为参数），

将代入，

整理得，

设点M，N所对应的参数分别为，，

则，，，

因为，异号，

所以.

22．解：（1）由题意可知椭圆的一个焦点为即而所以椭圆方程为     

（2）设当直线的斜率存在时，设其方程为，联立椭圆方程得，则，                    

点到直线的距离

所以

由化简得代入上式得    

若直线斜率不存在易算得

综合得，三角形的面积是定值