2021-2022学年重庆市育才中学校高二（清北班）下学期第一次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年重庆市育才中学校高二（清北班）下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从6位专家中选出2位组成评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有（ 　）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用组合的定义直接列式作答.

【详解】依题意，从6位专家中选出2位组成评审委员会是组合问题，

所以组成该评审委员会的不同方式共有种.

故选：B

2．的二项展开式中含有项的系数为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得展开式中含项的系数

【详解】的二项展开式的通项公式为

令，则

所以展开式中含项的系数为

故选：B

3．某同学参加学校数学考试，数学考试分为选填题和解答题两部分，选填题及格的概率为，两部分都及格概率为，则在选填题及格的条件下解答题及格的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用条件概率的公式求解即可.

【详解】设选填题及格为事件,解答题及格为事件;

则,

故选：C.

4．已知是函数的极小值点，则（       ）

A． B． C． D．4

【答案】A

【分析】求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性，结合极值点的定义，即可求解.

【详解】解：由题意，函数，

可得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当是函数的极小值点，故．

故选：A.

5．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行英语小报设计竞赛并决出1至5名，赛后两名好朋友甲、乙去询问成绩，老师对他们说：“很遗憾，你们的名次并不相邻．”则5人的名次排列可能有（       ）种．

A．72种 B．48种 C．36种 D．12种

【答案】A

【分析】直接通过插空法求解即可.

【详解】先排列丙、丁和戊有种，再把甲、乙插入4个空中有种，共有种.

故选：A.

6．有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（       ）

A．1512种 B．1346种 C．912种 D．756种

【答案】D

【分析】先从A区域涂色，讨论B，D区域涂相同、不同颜色的两种情况，再确定C，E，F区域涂色方法，应用分类分步计数原理求不同涂色方法数.

【详解】1、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂相同颜色，则有3种方法，C，E，F区域分别有3种方法，共有4×3×3×3×3=324种方法．

2、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂不同颜色，则有3×2种方法，则E区域有2种方法，C，F分别有3种方法，共有4×3×2×2×3×3=432种方法．

故不同的涂色方法共有756种．

故选：D

7．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示．则函数的零点个数不可能为（     ）个．

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】根据给定导函数图象可得函数的单调区间及极大、极小值情况，再由极小值的范围判断作答.

【详解】由导函数的图象知，函数在，上都单调递增，在，上都单调递减，

，函数有最大值，函数在处取得极小值，显然，

函数的零点个数即是直线与函数的图象交点个数，

当时，直线与函数的图象有4个交点，C可能；

当时，若，直线与函数的图象有2个交点，A可能；

若，直线与函数的图象有3个交点，B可能；

若，直线与函数的图象有4个交点，C可能，

所以函数的零点个数不可能为5个，即D不可能.

故选：D

8．关于的不等式恒成立的一个必要不充分条件是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】按a值正负等价变形不等式，求出不等式恒成立的充要条件，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】当时，，

令，显然在R上单调递增，则当时，，

依题意，，成立，

令，求导得：，

当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，

当时，，于是得，解得，

当时，，

令，依题意当时，恒成立，

而，则在上单调递减，在上单调递增，

令，显然上单调递增，其值域是R，

则与不存在绝对大小关系，并且可能都比0大，可能都比0小，也可能分居在0的两侧，

若，则，与当时，恒成立矛盾，

综上得：不等式恒成立等价于，显然，

所以不等式恒成立的一个必要不充分条件是.

故选：D

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.

二、多选题

9．对于函数，下列说法正确的有（       ）

A．

B．在处切线方程为

C．在单调递减

D．

【答案】BC

【分析】求出导函数，对四个选项一一验证：

对于A：直接求出，即可判断；

对于B：直接求出在处切线方程为，即可判断；

对于C：直接证明在单调递减，即可判断；

对于D：由在单调递减，可得，即可判断.

【详解】函数定义域为R， .

对于A：.故A错误；

对于B：因为，所以在处切线方程为.故B正确；

对于C：令，解得：，所以在单调递减.故C正确；

对于D：由在单调递减，可得.故D错误.

故选：BC

10．若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（       ）

A．

B．各项二项式系数和为128

C．二项式系数最大项有2项

D．第4项与第5项系数相等且最大

【答案】BC

【分析】结合二项展开式的通项和二项式系数的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，的二项展开式共有8项，可得，所以A错误；

根据二项式展开式二项式系数和的性质，可得二项式系数的和为，所以B正确；

根据展开式中二项式系数的性质，可得中间项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，所以C正确；

由展开式的第4项为，第5项为，

所以展开式中第4项与第5项系数不相等，所以D错误.

故选：BC.

11．现安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加年冬奥会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（    ）

A．每人安排一项工作的不同方法数为

B．每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法数是

C．每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，且甲、乙参加同一项工作，则不同的安排方法数为

D．每人安排一项工作，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为

【答案】ACD

【分析】根据乘法原理安排可判断A，分四组全排列可计算安排种数判断B，甲乙一组，共4组全排列计算种数可判断C，根据分组分配问题可判断D.

【详解】对于A，安排5人参加4项工作,若每人都安排一项工作, 每人有4种安排方法,则有种安排方法，A正确;

对于B，根据题意,分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法， B错误;

对于C，甲乙看作一组，与其余三人看作4组，分配到4种工作中去，共有种不同安排方法， C正确；

对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组,有与二种分组方法， 将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作, 有种情况，则有种不同安排方法, D正确;

故选: ACD

12．下列大小关系正确的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】构造函数，，利用导数求单调性可判断A；

构造函数，讨论其单调性可判断B；

构造函数，根据其单调性可判断CD.

【详解】A中，记，则，易知在上函数单调递增，所以，即；记，则，易知在上单调递减，所以，即，综上，，故A错误；

B中，记，则，易知在上单调递增，所以，即，整理得，故B正确；

CD中，记，

则，

当时，，可得，函数单调递增；

所以有，即，故C正确，

当时，，可得，函数单调递减.

所以有，即，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数相邻，这样的五位数共有_____个.

【答案】48

【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法列式计算作答.

【详解】把相邻的两个偶数字视为一个元素，与其它3个数字共4个元素作全排列，再排两个偶数字，

则不同的排法种数是：，

所以这样的五位数共有48个.

故答案为：48

14．在某微信群中甲、乙、丙、丁4名成员抢4个不同金额的红包，甲不抢第一个红包，乙不抢第二个红包的情况共有________种.

【答案】14

【分析】根据给定条件，求出4人抢4个不同金额的红包的全排列数，再利用排除法列式计算作答.

【详解】甲、乙、丙、丁4名成员抢4个不同金额的红包的所有情况有种，

其中甲抢第一个红包有种，乙抢第二个红包有种，甲抢第一个红包并且乙抢第二个红包有种，

所以，所求不同情况的种数是.

故答案为：14

15．的展开式中的常数项为________.

【答案】83

【分析】先用完全平方公式变形，然后由二项式定理得常数项．

【详解】，

展开中，为偶数，时，该项为常数项．

所以所求常数项为，

故答案为：83．

16．已知关于的方程有三个实数根，则的取值范围是______

【答案】

【分析】根据方程的根转化为函数的零点有3个，利用导数分析函数的单调性，需满足得出的范围，在验证满足此条件时结合函数的大致图像即可得解.

【详解】解：方程即方程，

令，

则，

令，

则，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以，

因为关于的方程有三个实数根，

即函数有3个零点，

则，所以，

因为时，，当时，，

所以函数有两个零点，

不妨设，则，

当或时，，当时，，

所以函数在和上递增，在上递减，

又因时，，当时，，

，，

所以函数有3个零点，

即关于的方程有三个实数根，

所以的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．已知等差数列的前n项和为Sn，S9=81，，求：

(1)Sn；

(2)若S3、、Sk成等比数列，求k．

【答案】(1)Sn=n2

(2)11

【分析】(1)由等差数列前n项和公式与下标和性质先求，然后结合可解；

(2)由(1)中结论和已知列方程可解.

【详解】(1)由，解得，

又∵，∴，，

∴

(2)∵S3，S17–S16，Sk成等比数列，

∴S3Sk=( S17–S16)2=，即9k2=332，

解得：k=11

18．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值．

(1)求的解析式；

(2)求在上的最大值和最小值．

【答案】(1)

(2)最大值为8，最小值为．

【分析】（1）由题意可得从而可求出，即可求出的解析式，

（2）令，求出的值，列表可得的值随的变化情况，从而可求出函数的最值

【详解】(1)由题意可得，．

由解得

经检验得时，有极大值．

所以．

(2)由（1）知，．

令，得，，

，的值随的变化情况如下表：

由表可知在上的最大值为8，最小值为．

19．已知数列中，，.

(1)证明为等比数列；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用等比数列的定义即可证明；

（2）利用分组求和法求和即可.

【详解】(1)证明：由已知条件可得，

即，

∴是首项为，公比为的等比数列；

(2)由（1）得，则，

.

20．袋中有6个大小、材质都相同的小球，其中新球4个，旧球2个.每次从袋中随机摸出2个球，摸出使用后放回袋中，（新球使用后会变成旧球，旧球使用后仍为旧球）.求：

(1)第一次摸到两个新球的概率；

(2)在第一次摸到两个新球的条件下，第二次也摸到两个新球的概率；

(3)第二次摸到两个旧球的概率.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由古典概型的概率公式直接计算可得；

（2）根据条件概率公式计算可得；

（3）分类用条件概率公式计算可得.

【详解】(1)记事件=“’第一次摸到i个新球”，i=0，1，2，B=“第二次摸到两个新球”，C=“第二次摸到两个旧球”

根据古典概型可知，

(2)由条件概率可得：

(3)因为，所以：

21．已知函数，．

(1)讨论函数在区间的极值；

(2)若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）先讨论的单调性再确定在上的极值（2）利用极值点处的导数为求出，代入恒成立的不等式中，用分离参数法求的取值范围

【详解】(1)在区间上， ，

当时， 恒成立， 在区间上单调递减，

则在区间上无极值；

当时，令得，

在区间上，，函数单调递减，

在区间上，，函数单调递增.

若，即，则在区间上极小值

若或，即或，则在区间上无极值

(2)因为函数在处取得极值，

所以，解得，经检验可知满足题意

由已知，即，

即对恒成立，

令，则，

当时，；当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

即.

22．已知函数，．

(1)求的最大值；

(2)证明：；

(3)若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）直接利用导数判断单调性，求出最大值；

（2）利用分析法，转化为证明＞f(x). 令g(x)＝，，利用导数求出g(x)≥g(2)＝-，而，即可证明；

（3）把问题转化为xcosx－sinx＋2ax3≥0恒成立，令h(x)＝xcosx－sinx＋2ax3，，二次求导后，令，对a分类讨论：i. a≤－， ii. a≥，iii.－＜a＜，分别利用导数计算即可求解.

【详解】(1)∵，，

∴，∴f(x)在[0，π]上单调递减，

∴．

(2)要证，只要证，即证＞f(x)，

令g(x)＝，，则，

故g(x)在（0，2）上单调递减；g(x)在（2，π）上单调递增，所以g(x)≥g(2)＝-，

又 f(x)≤-，且等号不同时取到，所以

(3)，等价于xcosx－sinx＋2ax3≥0，

令h(x)＝xcosx－sinx＋2ax3，，则，

令，则，

i.当a≤－时，，所以在[0，π]上递减，所以，

所以，所以h(x)在[0，π]上递减，所以h(x)≤h（0）＝0，不合题意．

ii.当a≥时，，所以在[0，π]上递增，所以

所以，所以h(x)在[0，π]上递增，所以h(x)≥h（0）＝0，符合题意．

iii.当－＜a＜时，因为，，且在[0，π]上递增，

所以，使得，

所以当时，，此时在（0，x0）上递减，所以，

所以，所以h(x)在（0，x0）上递减，所以h(x)＜h（0）＝0，不合题意．

综上可得： .

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．

(4)考查数形结合思想的应用．