专题09：坐标方法的简单应用-2021-2022学年下学期七年级数学期末复习备考一本通（人教版&全国通用）

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专题09：坐标方法的简单应用
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，将点P（3，2）沿轴的负方向平移4个单位长度，再沿轴正方向平移4个单位长度，所得到点的坐标是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【详解】解：根据题意：将点P（3，2）沿x轴的负方向即向左平移4个单位，再沿y轴正方向即向上平移4个单位，得到点的坐标是（3−4，2＋4）即为（−1，6），故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查图形的平移及平移特征，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
2．将点向右平移4个单位，向上平移2个单位，得到点P的对应点的坐标是（          ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据向右移动，横坐标加，纵坐标不变；向上移动，横坐标不变，纵坐标加，即可得到点P的对应点P′的坐标．
【详解】∵将P（-5，4）向右平移4个单位长度得到对应点，
∴的坐标为（-5+4，4），即（-1，4），
再将向上移动两个单位顶点为，
∴的坐标为（-1，4+2），即（-1，6），
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解决问题的关键．
3．如果在平面直角坐标系中，点P的坐标为．如果将y轴向左平移2个单位长度，x轴不变，得到新坐标系，那么点P在新坐标系中的坐标是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将坐标系中的轴向左平移个单位，轴不变，即相当于将点向右平移个单位，根据左减右加，上加下减的规律求解即可．
【详解】解：将轴向左平移2个单位长度，即相当于点向右平移2个单位长度，
∵，
∴，
∴点在新坐标系中的坐标为．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟记左减右加，上加下减的规律是解题的关键．
4．已知和互为相反数，则点向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度后的坐标是（       ）
A．(11，-17) B．(8，31) C．(15，-21) D．(15，-31)
【答案】C
【解析】利用算术平方根与绝对值非负性的含义先求解的值，再利用点的平移坐标变化规律：左减2加，上加下减，从而可得答案．
【详解】解：和互为相反数，



点向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度后的坐标是
故选C
【点评】本题考查的是算术平方根与绝对值非负性的含义，点的平移，掌握“点的平移坐标变化规律”是解本题的关键．
5．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，，将线段A平移，使A与O重合，此时B点的对应点坐标为（2，-1），则点的坐标是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】点的平移坐标变化规律：上加下减，左减右加，根据坐标变化规律列方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：点，，将线段A平移，使A与O重合，此时B点的对应点坐标为（2，-1），
解得：
所以
故选C
【点评】本题考查的是点的平移的坐标变化，平移的性质，掌握“点的平移坐标变化规律”是解本题的关键．
6．中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用表示“炮”的位置，表示“士”的位置，那么“将”的位置应表示为（       ）


A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据平移变化与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，即得答案．
【详解】∵“士”向左移动1个单位，向上移动1个单位到达“将”的位置，
∴“将”的位置的坐标为(-2-1，-1+1)，即(-3，1)．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标的平移，熟练掌握坐标平移的方法是解题的关键．
7．线段是由线段平移得到的．点的对应点为，则的对应点的坐标为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先根据点A和它的对应点C的坐标之间的变化得到图形的平移变换规律，然后利用此规律写出点B的对应点D的坐标即可．
【详解】解：∵点对应点为
∴线段CD是由线段AB先向右平移个单位，向下平移个单位
∵点D是点的对应点
∴点D的横坐标为，纵坐标为
∴点D的坐标为
故选B．
【点评】本题考查的是图形的平移的特征．解题的关键在于根据点A与点C的坐标得到图形的平移规律．
8．在平面直角坐标系中，将点(3，-4)平移到点(-1，4)，经过的平移变换为（       ）
A．先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度
B．先向左平移4个单位长度，再向上平移8个单位长度
C．先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度
D．先向右平移4个单位长度，再向下平移8个单位长度
【答案】B
【解析】利用平移中点的变化规律求解即可．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点(3，-4)的坐标变为(-1，4)，
∴点的横坐标减少4，纵坐标增加8，
∴先向左平移4个单位长度，再向上平移8个单位长度．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化-平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
9．平面直角坐标系中，将点A（，）沿着x的正方向向右平移（）个单位后得到B点，则下列结论：①B点的坐标为（，）；②线段AB的长为3个单位长度；③线段AB所在的直线与x轴平行；④点M（，）可能在线段AB上；⑤点N（，）一定在线段AB上．其中正确的结论有（       ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】根据平移的方式确定平移的坐标即可求得B点的坐标，进而判断①，根据平移的性质即可求得的长，进而判断②，根据平移的性质可得线段AB所在的直线与x轴平行，即可判断③，根据纵坐标的特点即可判断④⑤
【详解】解：∵点A（，）沿着x的正方向向右平移（）个单位后得到B点，
∴B点的坐标为（，）；
故①正确；
则线段AB的长为；
故②不正确；
∵A（，），B（，）；纵坐标相等，即点A，B到x轴的距离相等
∴线段AB所在的直线与x轴平行；
故③正确
若点M（，）在线段AB上；
则，即，不存在实数
故点M（，）不在线段AB上；
故④不正确
同理点N（，）在线段AB上；
故⑤正确
综上所述，正确的有①③⑤，共3个
故选B
【点评】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，掌握平移的性质是解题的关键．
10．如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是（0，1），那么小球第2021次碰到球桌边时，小球的位置是（       ）

A．（3，4） B．（5，4） C．（7，0） D．（8，1）
【答案】B
【解析】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第2021次碰到球桌边时，小球的位置．
【详解】解：由图可得，

点（1，0）第一次碰撞后的点的坐标为（0，1），
第二次碰撞后的点的坐标为（3，4），
第三次碰撞后的点的坐标为（7，0），
第四次碰撞后的点的坐标为（8，1），
第五次碰撞后的点的坐标为（5，4），
第六次碰撞后的点的坐标为（1，0），
…，
∵2021÷6=336…5，
∴小球第2021次碰到球桌边时，小球的位置是（5，4），
故选：B．
【点评】本题考查了坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答．
11．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，向右平移3个单位长度到达点，再向上平移6个单位长度到达点，再向左平移9个单位长度到达点，再向下平移12个单位长度到达点，再向右平移15个单位长度到达点……按此规律进行下去，该动点到达的点的坐标是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】求出A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18），•••，探究规律可得A2021（3033，-3030），从而求解．
【详解】解：由题意A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18），•••，
可以看出，9=，15=，21=，
得到规律：点A2n+1的横坐标为，其中的偶数，
点A2n+1的纵坐标等于横坐标的相反数+3，
，即，
故A2021的横坐标为，A2021的纵坐标为，
∴A2021（3033，-3030），
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
12．已知点A(－1，－2)，B(3，4)，将线段AB平移得到线段CD.若点A的对应点C在x轴上，点B的对应点D在y轴上，则点C的坐标是(       )．
A．(－4，0) B．(1，－5) C．(2，－4) D．(－3，1)
【答案】A
【解析】根据点A、B平移后的对应点的位置得到平移的规律，由此得到答案．
【详解】∵点A(－1，－2)平移后的对应点C在x轴上，
∴点A向上平移2个单位，
∵点B(3，4)的对应点D在y轴上，
∴点B向左平移3个单位，
∴线段AB向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到对应点C、D，
∴点C的坐标是(－4，0)．
故选：A．
【点评】此题考查直角坐标系中点的平移规律：左减右加，上加下减，熟记规律并运用解题是关键．
二、填空题
13．如图，点A（-4，0），B（-1，0），将线段AB平移后得到线段CD，点A的对应点C恰好落在轴上，且四边形ABDC的面积为9，则D点坐标为_________．

【答案】
【解析】根据A（-4，0），B（-1，0）可得，根据平移可得四边形ABDC是平行四边形，再由平行四边形的面积求出D点纵坐标，即可得到答案．
【详解】点A（-4，0），B（-1，0）

设点的纵坐标为a
线段AB平移后得到线段CD

四边形ABDC是平行四边形
四边形ABDC的面积为9



故答案为：．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中图形平移时对应点坐标的变化规律，能够运用属数形结合的思想是解题的关键．
14．如图是某学校的示意图，若综合楼在点(，0)，食堂在点(1，3)，则教学楼在点______．

【答案】（-4，2）
【解析】运用综合楼在点（-2，-1），食堂在点（1，2），可确定坐标原点的位置，从而确定教学楼的位置．
【详解】解：∵综合楼在点（-2，0），食堂在点（1，3），
∴可以得出坐标原点的位置，如图所示：
∴教学楼在点（-4，2）．
故答案为：（-4，2）．


【点评】本题考查了坐标确定位置，解答本题的关键是根据综合楼和食堂的坐标位置确定坐标原点的位置．
15．平面直角坐标系内任意一点经过向右平移5个单位再向上平移3个单位后对应点，则的值为______．
【答案】-2
【解析】点平移的规律：当点左右平移时，横坐标左减右加；当点上下平移时，纵坐标上加下减，根据点的平移规律解答.
【详解】解：由题意得：a+5=c，b+3=d，
∴，
∴=，
故答案为：-2.
【点评】词条考查了直角坐标系内点的平移规律，已知式子的值求代数式的值，熟记点的平移规律是解题的关键.
16．在平面直角坐标系中，已知点，，，且，下列结论：①轴，②将点A先向右平移5个单位，再向下平移个单位可得到点；③若点在直线上，则点的横坐标为3；④三角形的面积为，其中正确的结论是___________（填序号）．
【答案】①③④
【解析】①两点纵坐标相同，得到AB //x轴，即可判断；
②根据平移规律求得平移后的点的坐标，即可判断；
③根据两点的坐标特征可知直线BCx轴，即可判断；
④求得三角形的面积，即可判断．
【详解】解：A（-2，4)，B（3，4)，它们的纵坐标相同，
AB //x轴，
故①正确；
将点A先向右平移 5 个单位，再向下平移m个单位可得到点（3，4-m)，
故②错误；
B（3，4)，C（3，m)，它们的横坐标相同，
BCx轴，
点D 在直线BC上，
点 D的横坐标为 3，
故③正确；
点A（-2，4)，B（3， 4)，C（3，m)，且m<4，
AB =5，C点到AB的距离为（4-m），
三角形 ABC的面积为，
故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了平行线的判定，坐标和图形变化，平移以及点的坐标特征，明确线段的位置和大小是解题的关键．
三、解答题
17．如图是某次海战中敌我双方战舰对峙示意图（图中表示20海里）．

(1)在我方潜艇的北偏东有哪些目标？要想确定敌方战舰的位置，还需要什么数据？
(2)距离我方潜艇20海里的敌方战舰有哪几艘？
(3)敌方战舰和敌方战舰分别在我方潜艇的什么方向？
(4)要确定每艘敌方战舰的位置，都需要哪些数据？
【答案】(1)有敌方战舰和小岛；还需要知道敌方战舰与我方潜艇的距离
(2)有敌方战舰和
(3)敌方战舰在我方潜艇的正东方向，敌方战舰在我方潜艇的正南方向
(4)需要知道每艘敌方战舰所在的方向，与我方潜艇的距离．
【解析】（1）根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，即可确定在我方潜艇的北偏东40°有哪些目标；要想确定敌方战舰B的位置，还需要知道敌方战舰与我方潜艇的距离；
（2）寻找距离我方潜艇1cm的敌方战舰即可；
（3）以我方潜艇的位置为观测点，即可测量出敌方战舰C和敌方战舰A分别在我方潜艇的什么方向；
（4）要确定每艘敌方战舰的位置，都需要方向和距离两项数据，即每艘敌方战舰分别在什么方向，与我潜艇的距离是多少．
(1)
解：在我方潜艇的北偏东有敌方战舰和小岛；要想确定敌方战舰的位置，还需要知道敌方战舰与我方潜艇的距离．
(2)
距离我方潜艇20海里的敌方战舰有敌方战舰A和．
(3)
敌方战舰在我方潜艇的正东方向，敌方战舰在我方潜艇的正南方向．
(4)
要确定每艘敌方战舰的位置，需要知道每艘敌方战舰所在的方向，与我方潜艇的距离．
【点评】本题主要是考查根据方向和距离确定物体的位置，首先是观测点的确定，确定观测点，再根据方向和距离即可确定另一物体的位置．
18．如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，点A、B、C都在网格的格点上，完成下列问题：

(1)请写出三角形ABC各顶点的坐标；
(2)若把三角形ABC向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到三角形A1B1C1，在图中画出平移以后的图形，并写出顶点A1、B1、C1的坐标；
(3)求出三角形ABC的面积．
【答案】(1)A（﹣1，﹣1），B（4，2），C（1，3）；
(2)图见解析，A1（1，1），B1（6，4），C1（3，5）；
(3)7.
【解析】（1）根据A，B，C的位置写出坐标即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围三个直角三角形面积即可.
(1)
解：由平面直角坐标系可得：A（﹣1，﹣1），B（4，2），C（1，3）；
(2)
解：如图，点A（﹣1，﹣1）、B（4，2）、C（1，3）向上平移2个单位，再向右平移2个单位后得到点A1（1，1）、B1（6，4）、C1（3，5），连接相应顶点，则△A1B1C1即为所求；

(3)
解：S△ABC＝4×52×41×35×3＝7.
【点评】本题考查了平面直角坐标系、平移作图、坐标的特征，掌握平移的性质是解题关键．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，．

(1)在网格中画出这个平面直角坐标系；
(2)连接CB，平移线段CB，使点C移动到点A，得到线段AD．
①画出线段AD，点D的坐标为______；
②连接AC，DB，直接写出四边形ACBD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①D（2，5）②14
【解析】（1）根据A，B，C坐标确定平面直角坐标系即可．
（2）①利用平移的性质解决问题即可．
②利用分割法求四边形的面积即可．
(1)
解：如图，平面直角坐标系如图所示：

(2)
解：①如图，线段AD即为所求．D（2，5）．
②S四边形ACBD＝4×7﹣×2×3﹣×2×4﹣×2×3﹣×2×4＝14．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为 (−2，−2)，(3，1)，(0，2)，若把△ABC向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′．


(1)直接写出点A′，B′，C′的坐标；
(2)在图中画出平移后的△A′B′C′；
(3)△A′B′C′的面积为__________．
【答案】(1)Aʹ（-3，1），Bʹ（2，4），Cʹ（-1，5）；
(2)见解析
(3)7
【解析】（1）直接利用平移的性质即可得出对应点的坐标；
（2）利用（1）中所求对应点位置画图形即可；
（3）利用△AʹBʹCʹ所在矩形的面积减去周围多余三角形的面积，进而得出答案．
(1)
解：∵△ABC三个顶点的坐标分别为 (−2，−2)，(3，1)，(0，2)，且向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△A′B′C′，
∴Aʹ（-3，1），Bʹ（2，4），Cʹ（-1，5）；
(2)
解：如图所示：△AʹBʹCʹ即为所求；
；
(3)
解：△AʹBʹCʹ的面积为：4×5-×2×4-×1×3-×3×5=7．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
21．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．将△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到△A1B1C1．

(1)在图中画出平移后的△A1B1C1．
(2)直接写出△A1B1C1各顶点的坐标．
(3)求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)A1（3，-1）、B1（0，-3）、C1（1，0）；
(3)3.5
【解析】（1）看清楚平移要求，画出图形即可；
（2）看平移后的图形落在哪个格点上，找出对应的点坐标；
（3）利用正方形的面积减去另外三个小三角形的面积即可得到△ABC的面积．
(1)

(2)
观察坐标图，可得出△A1B1C1各顶点的坐标
∴A1（3，-1），B1（0，-3），C1（1，0）；
(3)
S△ABC=3×3×1×3×1×2×2×3
=91.513
=3.5．
【点评】本题考查图形的平移和格点图形面积的计算．熟练掌握平移的性质和面积的计算是解决本题的关键．
22．△ABC在平面直角坐标系中，且A、B、C．将其向上平移3个单位再向右平移2个单位后得到，若A，B，C的对应点是，，．

(1)在平面直角坐标系中画出△ABC和；
(2)写出点的坐标是_____________ ；的坐标是_____________；的坐标是_____________
【答案】(1)见解析
(2)（0，4），（-1，1），（3，-1）
【解析】（1）根据A（-2，1）、B（-3，-2）、C（1，-4），根据平移的规律即得出平移后点的坐标，即可在平面直角坐标系中画出△ABC和△A1B1C1；
（2）结合（1）即可写出点A1的坐标，B1坐标，C1坐标；
(1)
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

(2)
（2）A1（0，4），B1（-1，1），C1（3，-1）；
故答案为：（0，4），（-1，1），（3，-1）；
【点评】本题考查了作图-平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
23．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，点A的坐标是，现将△ABC平移，使得点A变换为点，点、分别是点B、C的对应点．


(1)请画出平移后的三角形（不写画法）：
(2)点的坐标为_______；点的坐标为_______；
(3)若△ABC内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标为______．
【答案】(1)见解析；
(2)，
(3)
【解析】（1）根据图中可得出△ABC是先向右平移9个单位，再向下平移3个单位，根据平移的作图方法作图；
（2）根据（1）画出的图形直接写出平移后点的坐标；
（3）首先根据A与A′的坐标观察变化规律：先向右平移9个单位，再向下平移3个单位，P的坐标变换与A点的变换一样，写出平移后点的坐标；
(1)
解：如下图：


(2)
根据图中可得出△ABC是先向右平移9个单位，再向下平移3个单位，将点B、C先向右平移9个单位，再向下平移3个单位，得到，，
故答案为：（3，-2）；（5，-5）；
(3)
将点P按先向右平移9个单位，再向下平移3个单位，得到，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了平移变换作图，解决本题的关键在于找到点坐标变化的规律．
24．在中，三个顶点的坐标分别为，，，

(1)在直角坐标系描出、、三点．
(2)将沿轴负方向平移5个单位长度，再沿轴在正方向平移3个单位长度得到，求的三个顶点坐标．
(3)设点在坐标轴上，且与的面积相等，求点的坐标
【答案】(1)见解析
(2)见解析，，，
(3)或或或
【解析】（1）利用点的坐标的意义描点即可；
（2）根据点、、在直角坐标系中的位置写出各点坐标即可；
（3）先利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积求出的面积，然后再根据同底等高的三角形面积相等画出两条和线段平行且与线段距离相等的平行线，确定满足条件的点的个数，再分别设点在轴和轴上的坐标分别为、，根据与的面积相等的条件建立方程求解即可．
(1)
解：∵，，
∴在直角坐标系中描点如下：

(2)
如图：
将沿轴负方向平移5个单位长度，再沿轴在正方向平移3个单位长度得到，
即：将点、、三点横坐标减5，纵坐标加3即可得到对应点点、、的坐标，
∴，，．

(3)
如图：
过点作的平行线交轴于点，交轴于点，另一条平行线交轴于点，交轴于点，两条平行线和线段的距离相等，
∴，
①当点在轴上时，设，
，
整理得：，
∵与的面积相等，
∴，
解得：或，
∴点在轴上时，点的坐标是或；
②当点在轴上时，设，
当点在轴的正半轴上时，
，
整理得：，
∵与的面积相等，
∴
解得：
∴这时点的坐标是，
当点在轴的负半轴上时，
，
整理得：，
∵与的面积相等，
∴，
解得：，
∴这时点的坐标是．
综上所述，点P的坐标为或或或．

【点评】本题考查的是作图一平移变换，考查了图形平移及坐标的性质，三角形的面积，一元一次方程等知识．掌握用割补法求三角形的面积是解答此题的关键．