高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 利用函数性质判定方程解的存在性练习

5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性

1．函数f(x)＝2x2－4x－3的零点有(　　)

A．0个　 B．1个

C．2个     D．不能确定

2．函数f(x)＝4x－2x－2的零点是(　　)

A．(1，0)    B．1

C．     D．－1

3．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)

A．(0，1)    B．(1，2)

C．(2，4)    D．(4，＋∞)

4．函数f(x)＝ln x－的零点的个数是(　　)

A．0     B．1

C．2     D．3

5．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上(　　)

A．至少有一实数根 B．至多有一实数根

C．没有实数根     D．必有唯一的实数根

二、填空题

6．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．

7．函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是________．

8．若函数f(x)＝mx－1在(0，1)内有零点，则实数m的取值范围是________．

三、解答题

9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝x2＋2x＋4.

10．设函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，且g(1)＝－.

(1)求证：函数g(x)有两个零点；

(2)讨论函数g(x)在区间(0，2)内的零点个数．

11．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

12.方程lg x＝8－2x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k等于(　　)

A．2    B．3      C．4    D．5

13．已知函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a的取值范围为________．

14．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点为________．

15．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.

(1)写出函数y＝f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．

参考答案

一、1.C　[由f(x)＝0，即2x2－4x－3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40>0.所以方程2x2－4x－3＝0有两个根，即f(x)有两个零点．]

2.B　[由f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x＝2，解得x＝1.]

3.C　[由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝－log24＝－2＝－＜0.由零点存在定理可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点．]

4.C　[如图，画出y＝ln x与y＝的图象，由图知y＝ln x与y＝(x>0，且x≠1)的图象有两个交点．故函数f(x)＝ln x－的零点有2个．]

5.D　[由题意知函数f(x)为连续函数．∵f(a)·f(b)＜0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点．故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．故选D.]

二、6.－3　[设函数f(x)的两个零点为x1，x2，根据函数解析式，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－＝－2.又因为x1＝1，所以x2＝－3.]

7.3　[由题意可知，函数f(x)＝x2－2x的零点个数，等价于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数．如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象．

由图象可知有3个交点，即f(x)＝x2－2x有3个零点．]

8.(1，＋∞)　[f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0，1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1.]

三、9.[解]　(1)令f(x)＝0即＝0，故x＝－3.

所以函数f(x)＝的零点是－3.

(2)令f(x)＝0，即x2＋2x＋4＝0，因为Δ＝4－4×4＝－12<0，所以此方程无解，故函数f(x)＝x2＋2x＋4无零点．

10.[解]　(1)证明：∵g(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0，

∴c＝－a－b.∴g(x)＝ax2＋bx－a－b，∴Δ＝b2－4a＝(2a＋b)2＋2a2.

∵a>0，∴Δ>0恒成立，故函数f(x)有两个零点．

(2)根据g(0)＝c，g(2)＝4a＋2b＋c，又由(1)知3a＋2b＋2c＝0，∴g(2)＝a－c.

(ⅰ)当c>0时，有g(0)>0，又∵a>0，∴g(1)＝－<0，

故函数g(x)在区间(0，1)内有一个零点，故在区间(0，2)内至少有一个零点．

(ⅱ)当c≤0时，g(1)<0，g(0)＝c≤0，g(2)＝a－c>0，

∴函数f(x)在区间(1，2)内有一零点，

综合(ⅰ)(ⅱ)，可知函数g(x)在区间(0，2)内至少有一个零点．

11.                                                                                                                                   B　[函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数⇔方程|log0.5x|＝＝的根的个数⇔函数y1＝|log0.5x|与y2＝的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.]

12.B　[令f(x)＝lg x＋2x－8，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且在(0，＋∞)上连续．

因为f(1)＝－6<0，f(2)＝lg 2－4<0，f(3)＝lg 3－2<0，f(4)＝lg 4>0，所以f(3)f(4)<0，

函数零点所在的区间是(3，4)，所以k＝3.]

13.(－∞，2)　[由题意可知f(0)＝a－2<0，解得a<2.]

14.－2和2　[f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点2.

又f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上有且仅有一个零点－2.

因此函数f(x)有两个零点－2与2.]

15.[解]　(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，

∵y＝f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，

∴f(x)＝

(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；

当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.

据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，

根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1，1).