专题18+【大题限时练18】-备战2022年上海高考数学满分限时题集

专题18 大题限时练18

1．如图，在直三棱柱中，，，点、分别为、的中点，与底面所成的角为．

（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）；

（2）求点与平面的距离．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）平面，为与底面所成角，

即，．

以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，0，，，1，，

则，1，，，

设异面直线与所成角的大小为，

，

则异面直线与所成角的大小为；

（2）设平面的法向量为，

由（1）知，，，

由，取，得．

又，

点与平面的距离．

2．已知函数，的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，求周长的取值范围．

【答案】（1）；（2），

【详解】（1）根据函数的图象，函数的周期，

故．

由于点满足函数的图象，

所以，

由于，

所以．

由于点在函数的图象上，

所以．

故函数．

（2）由于，

所以．

由正弦定理：，整理得，

同理，由于，

所以，

由于，

所以，

所以．

所以：，．

3．某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度（单位：摄氏度）与时间（单位：小时），近似地满足函数关系，其中为大棚内一天中保温时段的通风量．

（1）当时，若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度（精确到；

（2）若要保持一天中保温时段的最低温度不小于，求大棚一天中保温时段通风量的最小值．

【答案】（1）；（2）256

【详解】（1）当时，，

因为，所以函数在，上单调递减，

当时，，

综上，大棚一天中保温时段的最低温度约为；

（2）令，在，恒成立，

①当，时，，可得，

因为函数在，上单调递增，所以当时，，

所以，

②当，时，，可得，

当时，函数取得最大值为256，则，

综上，，

所以大棚一天中保温时段通风量的最小值为256．

4．如图，已知椭圆，左顶点为，经过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为的中点，，证明：对于任意的都有恒成立；

（3）若过原点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【详解】（1）已知椭圆，左顶点为，经过点，

，

，

椭圆方程为：．

（2）设直线 的方程，，，，

交轴于点，

联立，得

，，

，

的中点，，

，

，，，

对于任意的都有恒成立．

（3），

的方程可设为：，

由，得点横坐标为

由，得

当且仅当，即时取等号，

当时，的最小值为．

5．已知，为两非零有理数列（即对任意的，，均为有理数），为一无理数列（即对任意的，为无理数）．

（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式．

（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为．

（3）已知，，对任意的，恒成立，试计算．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【详解】（1），，即，

，，，．

（2）证明：，

，

，

，

即，

为有理数列，

，

，以上每一步可逆，即可证明．

（3），，

，

或

，

，

当时，，

当时，．

为有理数列，

，，

，

为有理数列，为无理数列，

，

，

．

当时，．

当时，，

．