2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 下列调查中，最适合采用抽样调查的是

A. 对“神舟十一号”运载火箭发射前零部件质量情况的调查
B. 对某地区现有的名百岁以上老人睡眠时间的调查
C. 对某校九年级三班学生视力情况的调查
D. 对某市场上某一品牌电脑使用寿命的调查

2. 若是实数，则下列事件是随机事件的是

A.  B.
C. 三角形内角和是 D. 是一个非负数

3. 若分式有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

4. 下列命题正确的是

A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

5. 下列分式中是最简分式的是

A.  B.  C.  D.

6. 顺次连接矩形的四边形中点所得的四边形一定是

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形

7. 如图，是矩形对角线的中点，是的中点，若，，则的长为   

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论中一定成立的是 
   ；；；．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9. 年我市约万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计分析，则在该统计调查中，个体是______．
10. 一只不透明的袋子中装有红球和白球共个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是，则袋中有______个红球．
11. 若分式的值为零，则的值为______．
12. 如图，在矩形中，，且，则的长为______．
     

13. 如图，是原点，在▱中，，，则点的坐标为______．
    
    
     

14. 已知，则______．
15. 某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：

该射手击中靶心的概率的估计值是______精确到．

16. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点，交于点若的周长为，则平行四边形的周长为______．

17. 矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为______．
     

18. 如图，在四边形中，，，点、分别为线段、上的动点含端点，但点不与点重合，点、分别为、的中点，则长度的最大值是______．
     

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共8小题，共88.0分）

20. 已知：如图，在平行四边形中，点、在对角线上，且求证：．

21. 已知：如图，是边长为的正方形对角线上的一点，交于点，且求线段的长．

22. 圆是中心对称图形吗？如果是，说出它的对称中心；
    如图，画出矩形的对称中心；
    如图一个矩形草地内部有一个圆形小广场圆心为，小明同学想用一条直线同时将草地和小广场分成面积相等的两部分，请你帮他画出这条直线．

23. 宿迁市某水果公司以元千克的成本购进千克橙子，销售人员在销售过程中随机抽取橙子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图．
    
    板据统计图提供的信息解决下面问题：
    橙子损坏的概率估计值为______精确到；估计这批橙子完好的质量为______千克；
    若希望这批橙子能够得利润元，那么在出售橙子只读好果时，每千克大约定价为多少元比较合适？精确到元
    
    
    
    
    
    
     
24. 为加强新冠病毒引起的肺炎的防控，县城某校组织八年级名学生参加防控知识竞赛，从中抽取部分学生的成绩得分取正整数，满分为分进行统计分析，将成绩分成个分数段，分别为：、、，、，得到如表所示的数分布表：

根据表格数据，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．

请解答下列问题：
本次抽样调查的样本容量为______，表中______；
补全图中所示的频数分布直方图，在形统计图中分数段的圆心角是______度；
若成绩超过分为优秀，则读校八年级学生中防控知识掌握优秀的约有多少人？






 

25. 如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上．
    求证：；
    若为中点，，求菱形的周长．

26. 如图，在四边形中，，，，，，动点从开始沿边向以的速度运动；从点开始沿边向以的速度运动．、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．
    当运动时间为秒时，用含的代数式表示以下线段的长：____________；
    当运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？
    当运动时间为多少秒时，四边形为矩形？

27. 已知正方形的边长为，一个以点为顶点的角绕点旋转，角的两边分别与边、的延长线交于点、，连接设，．
    如图，当被对角线平分时，求、的值；
    当是直角三角形时，求、的值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、对“神舟十一号”运载火箭发射前零部件质量情况的调查，适合采用全面调查；
B、对某地区现有的名百岁以上老人睡眠时间的调查，适合采用全面调查；
C、对某校九年级三班学生视力情况的调查，适合采用全面调查；
D、对某市场上某一品牌电脑使用寿命的调查，适合采用抽样调查；
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，是不可能事件，不符合题意；
B、，是随机事件，符合题意；
C、三角形内角和是，是必然事件，不符合题意；
D、是一个非负数，是必然事件，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】
 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据分式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原命题是假命题；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，原命题是假命题；
D、对角线互相平分且相等且互相垂直的四边形是正方形，原命题是假命题；
故选：．
根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定进行判断即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定，难度较小．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意；
B、该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意；
C、是最简分式，故此选项符合题意；
D、该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意；
故选：．
利用最简分式定义进行分析即可．
此题主要考查了最简分式，关键是掌握最简分式定义．
 

6.【答案】
 

【解析】解：连接、，
在中，
，
，
同理，，，
又在矩形中，，
，
四边形为菱形．
故选：．
因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：定义，四边相等，对角线互相垂直平分．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，勾股定理的有关知识，注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得的长是关键．首先由是矩形对角线的中点，可求得的长，然后由勾股定理求得的长，即的长，又由是的中点，可得是的中位线，继而求得答案．
【解答】
解：是矩形对角线的中点，，
，
，
是的中点，
．
故选C．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定、性质等知识，得出≌是解题的关键．

首先分别利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质得出≌，然后得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】
解：是的中点，
，
在▱中，，
，
，
，
，
，
，故正确；
延长，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
，

故正确；
设，则，
，
，
，
，
，故错误．
故选B．
 

9.【答案】每名考生的数学成绩
 

【解析】解：从中抽取名考生的数学成绩进行统计分析，则在该统计调查中，个体是每名考生的数学成绩．
故答案为：每名考生的数学成绩．
根据个体是总体中的每一个考查的对象，进而得出答案．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．
 

10.【答案】
 

【解析】解：设袋中有个红球．
由题意可得：，
解得：，
故答案为：．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
 

11.【答案】
 

【解析】解：由分式的值为零的条件得，，
由，解得或，
由，得，
综上所述，得，
故答案为：．
根据分式的值为零的条件可以求出的值．
若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
 

12.【答案】
 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为．
只要证明是等边三角形即可解决问题．
本题考查矩形的性质、等边三角形得到判定和性质等知识，解题的关键是证明是等边三角形，属于中考常考题型．
 

13.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
，，
点坐标为，
点的坐标为，
故答案为：．
由平行四边形的对边平行且相等得出，点的纵坐标为，横坐标为点横坐标加上的长度，从而得出答案．
本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边平行且相等的性质．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了分式的化简求值，解决此类问题要认真观察已知与要求的之间有怎么样的联系，然后进行整体代入．本题两种解题思路：其一由已知，两边同时除以，其二对结论进行化简，通分然后把已知整体代入即可．
【解答】
解：，

．
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】解：由击中靶心频率都在上下波动，
所以该射手击中靶心的概率的估计值是，
故答案为：．
根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．
本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
点为中点．
，
．
的周长．
平行四边形周长为．
故答案为：．
根据平行四边形的性质及证明，再根据已知周长求出值，则平行四边形周长可求．
本题主要考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是线段间的转化，利用整体思想求解平行四边形的周长．
 

17.【答案】或
 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质、正方形的性质、轴对称的性质以及勾股定理等知识，分类讨论各种可能的情况是全面准确解决问题的关键．如图，当时，如图，当时，如图，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：如图，当时，如图，
矩形中，，，
，
把沿折叠，使点落在点处，
，
，
，，三点共线，
，
，，
，
，
解得，
；
如图，当时，
矩形中，，，
，
把沿折叠，使点落在点处，
，
，
，
四边形是正方形，
，
．
综上所述，当为直角三角形时，的长为或，
故答案为：或．  

18.【答案】
 

【解析】解：连接、，
点、分别为、的中点，
是的中位线，
，
由题意得，当与点重合时，最大，此时的值最大，
由勾股定理得：，
的最大值为，
故答案为：．
连接、，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理求出，根据题意计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式，
当时，原式．
 

【解析】原式约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
≌，
．
 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

21.【答案】解：方法一：在正方形中，，，
根据勾股定理，得，
设，则，
，
，
，
，
根据勾股定理，得，
，
，
，
解得，
，
．
方法二：连接，如图所示：

在正方形中，，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
正方形的边长为，
．
 

【解析】方法一：根据正方形的性质，可得的长，设，可得，根据勾股定理，得的长，根据列方程，解方程即可；
方法二：连接，根据正方形的性质，可得≌，根据全等三角形的性质即可求出．
本题考查了正方形的性质，涉及等腰直角三角形的性质和三角形的全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；
如图，点即为所求；
如图直线即为所求．

 

【解析】根据中心对称图形的定义判断即可；
连接，交于点，点即为所求；
连接，交于点，作直线即可．
本题考查作图旋转变换矩形的性质等知识，解题的关键是掌握中心对称图形的定义，矩形的性质，属于中考常考题型．
 

23.【答案】 
 

【解析】解：根据所给的图可得：
橙子损坏的概率估计值为：，
橙子完好的概率估计值为，
则估计这批橙子完好的质量为：千克；
故答案为：，；

设每千克橙子定价为元比较合适，根据题意得：
，
解得：，
答：每千克大约定价为元比较合适．
根据图形即可得出橙子损坏的概率，再用整体减去橙子损坏的概率即可得出橙子完好的概率，然后乘以即可得出答案；
设每千克橙子定价为元比较合适，根据每斤的利润乘以总斤数等于总利润，列出方程，求出的值即可得出答案．
此题考查了利用频率估计概率，解题的关键是在图中得到必要的信息，求出柑橘损坏的概率；用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
 

24.【答案】   
 

【解析】解：样本容量是：；
，
故答案为：、；
补全频数分布直方图如下：

在扇形统计图中分数段的圆心角是，
故答案为：；
人．
答：该校八年级学生中防控知识掌握优秀的约有人．
由组频数及其所占百分比可得样本容量，样本容量乘以段对应百分比可得的值；
根据所求的值即可补全图形，用乘以分数段人数所占比例；
用总人数乘以样本中、分数段人数所占比例即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

25.【答案】解：四边形是矩形，
，，
，
，，
，
四边形是菱形，
，
，
在和中，

≌，
；
连接，

四边形是菱形，
，，
为中点，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
菱形的周长．
 

【解析】根据矩形的性质得到，，得到，求得，根据菱形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
连接，根据菱形的性质得到，，求得，，得到四边形是平行四边形，得到，于是得到结论．
本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确利用好各个几何性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：由题意知，，
故答案为：，；

由题意可得：，，
，
，
设当运动时间为秒时，此时四边形为平行四边形．
由得，，
解得，
当运动时间为秒时，四边形为平行四边形．

，
，
设当运动时间为秒时，四边形为平行四边形．
由得：，
解得：，
又
平行四边形为矩形．
当运动时间为秒时，四边形为矩形．
 

【解析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
根据题意可直接得出；
由在梯形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案；
由在梯形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案．
 

27.【答案】解：四边形是正方形，

是正方形的对角线，
，
，
被对角线平分，
，
在和中，，
≌，
，
，，
，
≌，
，
，
，
，，，
，
，
，即：．
当是直角三角形时，
如图所示：

，
，
，

，，
，
在和中，
≌，
，，
，．
当时，同的方法得，，，
，．
 

【解析】先证明≌，从而得到，然后再证明为等腰三角形，则；
当，可证明≌，则，，从而可求得、的值，同理当时，也可求得、的值．
本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．