高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率练习题，共6页。

一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列是古典概型的是( )
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
【解析】选C.A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本空间是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本空间不是有限个，各个样本点的发生也不具有等可能性，故D不是．
2．某班准备到郊外野营，为此向商店订购了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期收到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )
A．一定不会淋雨
B．淋雨的可能性为 eq \f(3,4)
C．淋雨的可能性为 eq \f(1,2)
D．淋雨的可能性为 eq \f(1,4)
【解析】选D.所有可能的事件有“下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷到”“不下雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为 eq \f(1,4) .
3．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )
A． eq \f(3,10) B． eq \f(2,5) C． eq \f(1,2) D． eq \f(3,5)
【解析】选C.从五种不同属性的物质中随机抽取两种，有(金，木)、(金，水)、(金，火)、(金，土)、(木，水)、(木，火)、(木，土)、(水，火)、(水，土)、(火，土)共10种等可能发生的结果，其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为 eq \f(1,2) .
4．已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是( )
A． eq \f(2,9) B． eq \f(1,3) C． eq \f(8,9) D．1
【解析】选C.因为a∈A，b∈A，所以可用列表法得到构成的基本事件总数为9(如表所示).
因为A∩B＝B，所以B可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}．
当B＝∅时，a2－4b<0，满足条件的a，b为a＝1，b＝1，2，3；a＝2，b＝2，3；a＝3，b＝3.
当B＝{1}时，满足条件的a，b为a＝2，b＝1.
当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，b.
当B＝{1，2}时，满足条件的a，b为a＝3，b＝2.
当B＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a，b.
综上，符合条件的结果有8种．
所以A∩B＝B的概率P＝ eq \f(8,9) .
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则事件A＝“三人在同一个食堂用餐”包含的样本点个数为________．
【解析】a，b，c三名学生选择食堂的结果有：(A，A，A)，(A，A，B)，(A，B，A)，(A，B，B)，(B，A，A)，(B，A，B)，(B，B，A)，(B，B，B)共8个，三人在同一食堂用餐的结果有：(A，A，A)，(B，B，B)，共2个．
答案：2
6．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是 eq \f(1,2) .
(1)n＝________；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，则事件A的概率为________．
【解析】(1)由题意可知： eq \f(n,1＋1＋n) ＝ eq \f(1,2) ，解得n＝2.
(2)不放回地随机抽取2个小球的样本空间Ω＝ {(0，1)，(0，21)，(0，22)，(1，0)，(1，21)，(1，22)，(21，0)，(21，1)，(21，22)，(22，0)，(22，1)，(22，21)}，共12个，事件A包含的样本点为：(0，21)，(0，22)，(21，0)，(22，0)，共4个．所以P(A)＝ eq \f(4,12) ＝ eq \f(1,3) .
答案：(1)2 (2) eq \f(1,3)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．某涉外公司经理计划从3个亚洲国家分公司A1，A2，A3和3个欧洲国家分公司B1，B2，B3中选择2个公司去调研．
(1)若从这6个分公司中任选2个，求这2个公司都在亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家分公司和欧洲国家分公司中各任选1个，求这2个公司包括A1但不包括B1的概率．
【解析】(1)由题意知，从6个公司中任选两个，其一切可能的结果组成的样本点有：
{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15个．
所选两个公司都在亚洲国家的事件所包含的样本点有：{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个，
则所求事件的概率为P＝ eq \f(3,15) ＝ eq \f(1,5) .
(2)从亚洲国家分公司和欧洲国家分公司中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本点有：
{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有：{(A1，B2)，(A1，B3)}，共2个，则所求事件的概率为P＝ eq \f(2,9) .
8．新高考数学试题中有多项选择题，要求为：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某多项选择题的正确答案是BCD.
(1)若甲同学不会做该题，但他想猜对得5分，就随机填写了一个答案，求他得5分的概率．
(2)若乙同学也不会做该题，他只想得3分，就按单项选择题处理，随机填写了一个答案，求他得3分的概率．
【解析】(1)该事件的样本空间Ω＝{(AB)，(AC)，(AD)，(BC)，(BD)，(CD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，(ABCD)}，共11个样本点，每个样本点的发生是等可能的，故可以用古典概型计算概率．用A表示“甲同学得5分”，则A＝{(BCD)}，含有1个样本点，所以P(A)＝ eq \f(1,11) .
(2)该事件的样本空间Ω＝{(A)，(B)，(C)，(D)}，共4个样本点，每个样本点的发生是等可能的，故可以用古典概型计算概率．
用B表示“乙同学得3分”，则B＝{(B)，(C)，(D)}，含有3个样本点，所以P(B)＝ eq \f(3,4) .
【综合突破练】 (20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )
A. eq \f(4,9) B． eq \f(1,3) C． eq \f(2,9) D． eq \f(1,9)
【解析】选D.分类讨论法求解．个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数，所以可以分两类．(1)当个位为奇数时，有5×4＝20个符合条件的两位数．(2)当个位为偶数时，有5×5＝25个符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45个符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P＝ eq \f(5,45) ＝ eq \f(1,9) .
2．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则 eq \f(1,9) 是下列哪个事件的概率( )
A.颜色全同 B．颜色不全同
C.颜色全不同 D．无红球
【解析】选A.有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色全相同的结果有3种，其概率为 eq \f(3,27) ＝ eq \f(1,9) ；颜色不全相同的结果有24种，其概率为 eq \f(24,27) ＝ eq \f(8,9) ；颜色全不同的结果有6种，其概率为 eq \f(6,27) ＝ eq \f(2,9) ；无红球的情况有8种，其概率为 eq \f(8,27) .
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．若某人从中任选2道题，每一次选1题(不放回)，则所选的题不是同一种题型的概率为________，若从中任选2道题，每一次选1题(有放回)，则所选的题不是同一种题型的概率为________．
【解析】将3道选择题依次编号为1，2，3；2道填空题依次编号为4，5.从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则所有样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共20种，而且这些样本点发生的可能性是相等的．设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的样本点有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共12种，所以P(A)＝ eq \f(12,20) ＝0.6.
从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则所有样本点为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共25种，而且这些样本点发生的可能性是相等的．设事件B为“所选的题不是同一种题型”，故所选题不是同一种题型的样本点共12种，
所以P(B)＝ eq \f(12,25) ＝0.48.
答案：0.6 0.48
4．设集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，P⊆Q，x，y∈{1，2，3，…，9}．在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对(x，y)所表示的点中任取一个，其落在圆x2＋y2＝r2内的概率恰为 eq \f(2,7) ，则r2的一个可能整数值是________(只需要写出一个即可).
【解析】满足条件的点有(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，(7，7)，(8，8)，(9，9)，共14个．欲使其落在x2＋y2＝r2内的概率为 eq \f(2,7) ，则这14个点中有4个点在圆内，所以只需29＜r2≤32，故r2＝30或31或32.
答案：30(或31或32)
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1，2，3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，
如果：(1)小球是不放回的；
(2)小球是有放回的．
求两个小球上的数字为相邻整数的概率．
【解析】设事件A：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A包括的基本事件有：(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(10，9)，(9，8)，(8，7)，(7，6)，(6，5)，(5，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)共18个．
(1)不放回取球时，总的基本事件数为90，
故P(A)＝ eq \f(18,90) ＝ eq \f(1,5) .
(2)有放回取球时，总的基本事件数为100，
故P(A)＝ eq \f(18,100) ＝ eq \f(9,50) .
6．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A，B，C，田忌的三匹马分别为a，b，c；三匹马各比赛一次，胜两场者获胜．若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：A>a>B>b>C>c.
(1)正常情况下，求田忌获胜的概率；
(2)为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马A，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率．
【解析】(1)比赛配对的基本事件共有6个，它们是：(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca).
经分析：仅有配对为(Ac，Ba，Cb)时，田忌获胜，且获胜的概率为 eq \f(1,6) .
(2)田忌的策略是首场安排劣马c出赛，基本事件有2个：(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca)，配对为(Ac，Ba，Cb)时，田忌获胜，则获胜的概率为 eq \f(1,2) . a
b
1
2
3
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)