人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理教学设计

空间向量基本定理

【教学目标】

1．通过基底、基向量及向量的线性组合空间向量基本定理的学习，培养数学抽象素养．

2．借助任一空间向量可用一组基向量线性表示，提升数学运算素养．

【教学重难点】

1．理解空间向量基本定理．（重点）

2．运用空间向量基本定理解决一些几何问题．（难点）

3．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．（重点）

【教学过程】

一、情境引入

图中的向量，，是不共面的三个向量，请问向量与它们是什么关系？由此可以得出什么结论？

二、新知初探

1．共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对（x，y），使c＝xa＋yb．

思考1：平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？

[提示]平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立．

2．空间向量基本定理

如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc．

特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0．

3．相关概念

（1）线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．

（2）基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底．

（3）基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量．

（4）分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．

思考2：平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？

[提示]空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示．

思考3：基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？

[提示]基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为0与其他任意两个非零向量共面，所以0不能作为基向量．

4．拓展：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面．

三、合作探究

类型1：向量共线问题

【例1】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝．求证：E，F，B三点共线．

[证明]设＝a，＝b，＝c．

∵＝2，＝，

∴＝，＝，

∴＝＝b，＝（－）

＝（＋－）

＝a＋b－c．

∴＝－＝a－b－c＝．

又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，

∴＝．

∴E，F，B三点共线．

[规律方法]

判断向量共线就是利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立，同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线.

[跟进训练]

1．如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线？

[解]与共线，证明：∵M，N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形．

∴＝＋＋＝＋＋，

又＝＋＋＋＝－＋－－，

∴＋＋＝－＋－－，

∴＝＋2＋＝2（＋＋）＝2，

∴∥，即与共线．

类型2：共面定理及应用

【例2】已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋．

（1）判断，，三个向量是否共面；

（2）判断点M是否在平面ABC内．

[解]（1）易知＋＋＝3，

∴－＝（－）＋（－），

∴＝＋＝－－，

∴向量，，共面．

（2）由（1）知向量，，共面，三个向量的基线又有公共点M，∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．

[规律方法]

判断三个（或三个以上）向量共面的方法

（1）应用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示，通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示．

（2）选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式．

[跟进训练]

2．如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连接MN，NQ，QR，RM．应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面．

[证明]∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，

∴M，N，Q，R为所在边的中点，

顺次连接M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形，且有＝，＝，＝，＝．

∵四边形MNQR为平行四边形，

∴＝－＝－＝

＝（＋）

＝（－）＋（－）

＝

＝＋，

∴由共面向量定理得，

，共面，

所以E，F，G，H四点共面．

类型3：基底的判断及应用

[探究问题]

1．构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？

[提示]不唯一，不共面．

2．空间向量的基底选定后，空间任一向量怎样用基底表示？

[提示]基底选定后，可以结合图形，利用三角形法则和平行四边形法则，寻求向量和基向量的关系，利用向量的线性运算将向量用基底表示出来．

3．用基底表示向量应注意哪些问题？

[提示]（1）明确目标，向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都用基向量表示；（2）结合图形的几何性质，利用向量的线性运算；（3）只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的．

【例3】（1）若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．

（2）如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，．

[思路探究]（1）判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．

（2）借助图形寻找待求向量与a，b，c的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a，b，c表示出来．

[解]（1）假设a＋b，b＋c，c＋a共面．

则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ（b＋c）＋μ（c＋a），

∴a＋b＝λb＋μa＋（λ＋μ）c．

∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．

∴，此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．

∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．

（2）＝＋＝＋

＝＋（＋）＝＋＋（－）

＝b＋a＋（c－b）

＝b＋a＋c－b

＝a＋b＋c．

＝＋＋

＝＋＋

＝a＋b＋（－）

＝a＋b＋（c－b）

＝a＋b＋c．

[母题探究]

1．（变条件）若把本例3（2）中的＝a改为＝a，其他条件不变，则结果又是什么？

[解]＝＋

＝＋

＝＋（－）

＝b＋（a－b）

＝a＋b．

＝＋

＝＋

＝－

＝－（－）

＝a－（c－b）

＝a＋b－c．

2．（变换条件、改变问法）如图所示，本例3（2）中增加条件“P在线段AA′上，且AP＝2PA′”，试用基底{a，b，c}表示向量．

[解]＝＋＋

＝－－

＝（＋）－－

＝[＋（－）]－－

＝（a＋c－b）－c－a

＝a－b－c．

[规律方法]

用基底表示向量的步骤

（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．

（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．

（3）下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．

提醒：基底中不能有零向量，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量．

四、课堂总结

1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的．

2．在用基底表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．

五、课堂练习

1．O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ）

A．，，共线 B．，共线

C．，共线 D．O，A，B，C四点共面

答案：D

解析：[由，，不能构成基底知，，三向量共面，所以O，A，B，C四点共面．]

2．给出下列命题：

①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是（    ）

A．1  B．2  C．3  D．4

答案：D

解析：[根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底，显然②正确．③中由、、共面且过相同点B，故A，B，M，N共面．

下面证明①④正确．

①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，

∵d与c共线，c≠0，

∴存在实数k，使d＝kc，

∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，

∴c与a，b共面与条件矛盾．

∴d与a，b不共面．

同理可证④也是正确的．]

3．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则＝________．（用a，b，c表示）

－a＋b＋c[＝－＝（b＋c）－a．]

4．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则2x＋4y＋2z＝________．

2[如图，由已知＝＝（＋）

＝

＝＋[（－）＋（－）]＝＋＋，

∴x＝y＝z＝，∴2x＋4y＋2z＝2．]

5．如图所示，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1，设＝a，＝b，＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：（1）；（2）．

[解]在平行六面体

ABCD­A1B1C1D1中，

连接AC，AD1．

（1）＝（＋）

＝（＋＋）

＝（a＋b＋c）．

（2）＝（＋）

＝a＋b＋c．