2022精品解析：天津宝坻区九中高一下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年度第二学期高一数学期中练习

一、单选题（本大题共9小题，共36.0分）

1. 若复数满足，则的虚部是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】因为复数满足，所以z=1-3+4i=-2+4i，所以根据复数实部和虚部的概念得z的虚部为4.故选B.

2. 在△中，，，，则△的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先根据余弦定理求出,结合求出，最后利用三角形的面积公式即可求解.

【详解】由余弦定理得，,所以,所以△的面积为.

故选：B.

【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，属于基础题.

3. 设向量，且，则（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】根据垂直关系，可求出 ；根据的平行关系，可求出 ，进而求出的值．

【详解】因为，所以

因为，所以

所以 ，所以

故选：A．

4. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用正弦定理的边角互化可得，再利用余弦定理即可求解.

【详解】由，得．

又，所以，

从而．

因为，所以．

故选：A

5. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的倍，即可得到结果．

【详解】解：△是一平面图形的直观图，斜边，

直角三角形的直角边长是，

直角三角形的面积是，

原平面图形的面积是，

故选：D．

6. 已知等边边长为1，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用向量的数量积公式解答，注意向量的夹角与三角形的内角的关系．

【详解】解：因为三角形是等边三角形，边长为1，各内角为，

所以.

故选：D．

【点睛】本题考查了向量的数量积公式的运用；需要注意的是：向量的夹角与三角形内角相等或者互补．

7. 从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82，85，88，90，92，92，92，96，96，98（单位：分），则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为（    ）

A. 92，85 B. 92，88 C. 95，88 D. 96，85

【答案】B

【解析】

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，计算，取第三个数即可得解．

【详解】本题中数据92出现了3次，出现的次数最多，所以本题的众数是92；

将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，得：

，

计算，取第三个数，第25百分位数是88．
故选：B．

8. 如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】连接,根据线面角定义可以判断出是直线A1C与平面ABCD所成角,设出正方体的棱长,利用勾股定理和锐角的三角函数定义可以求出直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值.

【详解】连接,由正方体的性质可知：A1A平面ABCD,由线面角的定义可知：是直线A1C与平面ABCD所成角,设正方体的棱长为1,底面是与正方形,故,在中, ,.

故选：D

【点睛】本题考查了线面角的求法,考查了数学运算能力.

9. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有　　

，，，  ，

，，      ，

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3

【答案】B

【解析】

【详解】分析：由线面垂直的几何特征，及线面垂直的第二判定定理，可判断A的真假；

根据面面平行的几何特征及线线位置关系的定义，可判断B的真假；

根据线面垂直及线线垂直的几何特征，及线面平行的判定方法，可判断C的真假；

根据面面平行的判定定理，可以判断D的真假．

详解：

由m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，若a，b相交，则可得α∥β，若a∥b，则α与β可能平行也可能相交，故（1）错误；

若m∥n，n⊥α根据线面垂直的第二判定定理可得m⊥α，故（2）正确；

若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故（3）错误；

若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故（4）错误；

故选B．

点睛：本题以命题的真假判定为载体考查了空间线面关系的判定，熟练掌握空间线面位置关系的判定，性质及几何特征是解答的关键．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断；还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

10. 已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4，复数z的共轭复数_____________.

【答案】－2－4i.

【解析】

【分析】根据复数的运算法则化简复数，再根据共轭复数的概念可求得结果.

【详解】z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，所以复数z的共轭复数为－2－4i.

故答案为：－2－4i

11. 已知，且，则与夹角为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由条件算出，然后可求出答案.

【详解】因为，所以，因为，所以

所以，

因为，所以与夹角为

故答案为：

12. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．

【答案】60

【解析】

【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.

【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，

∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：.

故答案为60.

13. 如图所示，在正方体中，异面直线与所成的角为________．

【答案】####

【解析】

【分析】利用几何法求解异面直线所成的角，通过做辅助线，将异面直线所成的角转化到同一平面内两直线所成的角进行求解.

【详解】如图，连接，由正方体的性质可知，且，

故异面直线与所成的角即为与所成的角.

在中，均为面对角线，

∴，为等边三角形，

所以，即为异面直线与所成的角.

故答案为：.

14. 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为___________________.

【答案】24

【解析】

【详解】试题分析：设正方体的外接球的半径为,由：，解得：,设该正方体的边长为，根据解得，所以正方体的表面积为：，所以答案为.

考点：1.求的体积公式；2.正方体的外接球；3.球的表面积和体积公式.

15. 已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，则该正四棱锥的侧面积为_____．

【答案】48

【解析】

【详解】试题分析：利用正四棱锥的结构特征求解．

解：已知正四棱锥P﹣ABCD中，AB=6，PA=5，

取AB中点O，连结PO，则PO⊥AB，AO=3，

∴PO==4，

∴该正四棱锥的侧面积：

S=4S△PAB=4×=48．

故答案为48．

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

16. 当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？

（1）复数实数；

（2）复数纯虚数；

（3）复平面内，复数对应的点位于直线上.

【答案】（1）或；（2）；（3）或.

【解析】

【分析】

（1）由虚部为0，求解值；

（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解值；

（3）由实部与虚部的和为0，列式求解值．

【详解】解：由题可知，复数，

（1）当为实数时，则虚部为0，

由，解得：或；

（2）当纯虚数时，实部为0且虚部不为0，

由，解得：；

（3）当对应的点位于直线上时，则，

即：实部与虚部的和为0，

由，解得：或．

【点睛】本题考查复数的基本概念，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．

17. 已知向量，．

（1）求与的夹角；

（2）求；

（3）若，求实数的值．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

【分析】（1）根据夹角公式计算出夹角的余弦值，从而可求夹角．

（2）求出的坐标后可求其模长．

（3）求出的坐标后利用向量垂直的坐标形式可求的值．

【详解】（1）根据题意，，，

则，，，

设向量与的夹角为，则，

又由，故，即向量与的夹角为．

（2）由于，．

（3），，．

，

，解得：．

18. 在中，内角所对的边分别为．已知．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）求的值．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由余弦定理求.根据平方关系式求，再根据正弦定理求；

（Ⅱ）根据三角形中大边对大角，得为锐角.由（Ⅰ）知，根据平方关系式求，再根据两角和的余弦公式求.

【详解】（Ⅰ）中，已知．

由余弦定理得，

．

又．

由正弦定理，

可得.

（Ⅱ）为锐角.

由（Ⅰ）知

.

【点睛】本题考查正余弦定理、同角三角函数基本关系式和两角和的余弦公式，属于基础题.

19. 从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生，将他们的数学检测成绩（分）分成六段（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）：，，...，后，得到如图所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）求图中实数的值；

（Ⅱ）若该校高一年级共有学生600名，试根据以上数据，估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）210.

【解析】

【分析】（Ⅰ）由等比数列性质及频率分布直方图，列出方程，能求出．

（Ⅱ）利用频率分布直方图能求出成绩不低于80分的人数．

【详解】解：（Ⅰ）因为图中所有小矩形的面积之和等于1，

所以，

解得.

（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于80分的频率为

.

由于该校高一年级共有学生600名，利用样本估计总体思想，可估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数为.

【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．

20. 已知多面体中，平面，，，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）详见解析   

（2）详见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）取CE的中点F，连接OF，BF，易证OABF是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；

（2）由平面，得到，再由 ，利用线面垂直的判定定理证明；

（3）易证 平面，得到是直线与平面所成的角求解.

【小问1详解】

证明：如图所示：

取CE的中点F，连接OF，BF，

因为，且，且，

所以，则OABF是平行四边形，

所以，又平面平面，

所以平面；

【小问2详解】

因为平面，

所以，

又，

所以，又，

所以平面；

小问3详解】

由（1）（2）知：平面，则，

又，所以，又

所以平面，

所以是直线与平面所成的角，

因为平面，，

所以平面，则，

所以，，

所以.