数学必修 第一册5.1 任意角和弧度制学案及答案

任意角

奥运会赛场上，跳水运动员的优美动作引来阵阵喝彩声．跳水(Diving)是一项优美的水上运动，它是从高处通过空中转体，并以特定动作入水的运动．

[问题]　如果跳水运动员在空中顺时针连续转体一周半，那么运动员转过的角度是多少？

知识点一　任意角的概念

1．角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．

2．角的表示

如图，①始边：射线的起始位置OA；

②终边：射线的终止位置OB；

③顶点：射线的端点O；

④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．

3．角的分类

1．当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？

提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定．

2．正角、负角、零角是根据什么区分的？

提示：根据组成角的射线的旋转方向．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)小于90°的角都是锐角．(　　)

(2)终边与始边重合的角为零角．(　　)

(3)大于90°的角都是钝角．(　　)

(4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．下列说法正确的是(　　)

A．最大的角是180°　　　 B．最大的角是360°

C．角不可以是负的  D．角可以是任意大小

答案：D

3．下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________．

答案：390°　－150°　60°

知识点二　角的加法

1．若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β．

2．设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β．

3．相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β)．

下列所示图形中，γ＝α＋β的是________；γ＝α－β的是________．

解析：在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β.

在②中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β.

同理可知，③中γ＝α－β，④中γ＝α＋β.

答案：①④　②③

知识点三　象限角与终边相同的角

1．象限角

在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

2．各象限角的集合

3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

对集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解

(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略；

(2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)；

(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)终边相同的角一定相等．(　　)

(2)－30°是第四象限角．(　　)

(3)第二象限角是钝角．(　　)

(4)225°是第三象限角．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2．与 610°角终边相同的角表示为(其中k∈Z)(　　)

A．k·360°＋230°  B．k·360°＋250°

C．k·360°＋70°  D．k·180°＋270°

答案：B

3．－179°角是(　　)

A．第一象限角　　　　　 B．第二象限角

C．第三象限角  D．第四象限角

答案：C

[例1]　(多选)下列说法正确的是(　　)

A．锐角都是第一象限角

B．第一象限角一定不是负角

C．小于180°的角是钝角、直角或锐角

D．在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角

[解析]　锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；

－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；

0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误：

由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确．

[答案]　AD

理解与角的概念有关问题的关键

关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可．　　　　

[跟踪训练]

1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝(　　)

A．150°　　　　　　　　 B．－150°

C．390°  D．－390°

解析：选B　各角和的旋转量等于各角旋转量的和．所以120°＋(－270°)＝－150°，故选B.

2．下列结论：

①三角形的内角必是第一、二象限角；

②始边相同而终边不同的角一定不相等；

③钝角比第三象限角小．

其中正确的结论为________(填序号)．

解析：①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；

②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；

③钝角大于－100°，而－100°的角是第三象限角，故③不正确．

答案：②

[例2]　(链接教科书第170页例2)已知角α＝2 021°.

(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；

(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜360°；

(3)求与α终边相同的最大负角与最小正角．

[解]　(1)由2 021°除以360°，得商为5，余数为221°，∴取k＝5，β＝221°，则α＝5×360°＋221°.又β＝221°是第三象限角，∴α为第三象限角．

(2)与2 021°角终边相同的角为k·360°＋2 021°，k∈Z.令－360°≤k·360°＋2 021°＜360°，k∈Z，∴k可取－6，－5，将k的值代入k·360°＋2 021°中，得角θ为－139°，221°.

(3)由(2)知，与α终边相同的最大负角是－139°，最小正角是221°.

终边相同角常用的三个结论

(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍；

(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；

(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．　　　　

[跟踪训练]

1．(2021·吉林省实验中学高一月考)将－880°化为α＋k×360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是(　　)

A．160°＋(－3)×360°  B．200°＋(－2)×360°

C．160°＋(－2)×360°  D．200°＋(－3)×360°

解析：选D　易知－880°＝200°＋(－3)×360°，故选D.

2．在直角坐标系中写出下列角的集合：

(1)终边在x轴的非负半轴上；

(2)终边在y＝x(x≥0)上．

解：(1)在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个0°.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}．

(2)在0°～360°范围内，终边在y＝x(x≥0)上的角有一个45°.故终边在y＝x(x≥0)上的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}．

[例3]　(链接教科书第170页例1)(1)(多选)在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，是第二象限角的是(　　)

A．①  B．②

C．③  D．④

[解析]　第二象限角α需满足k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，分析可知：①是第二象限角；②是第二象限角；③是第二象限角；④不是第二象限角．故选A、B、C.

[答案]　ABC

(2)已知α是第二象限角，求角所在的象限．

[解]　∵α是第二象限角，

∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．

∴·360°＋45°<<·360°＋90°(k∈Z)．

当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得

n·360°＋45°<<n·360°＋90°，

这表明是第一象限角；

当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得

n·360°＋225°<<n·360°＋270°，

这表明是第三象限角．

∴为第一或第三象限角．

[母题探究]

1．(变设问)在本例(2)的条件下，求角2α的终边的位置．

解：∵α是第二象限角，

∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．

∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)．

∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．

2．(变条件)若将本例(2)中的“第二象限”改为“第一象限”，如何求解？

解：∵k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)，

∴k·180°<<k·180°＋45°(k∈Z)．

当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<<n·360°＋45°，

∴是第一象限角．

当k＝2n＋1(n∈Z)时，

n·360°＋180°<<n·360°＋225°，

∴是第三象限角．

∴是第一或第三象限角．

1．给定一个角判断它是第几象限角的思路

判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β＋k·360°(其中k∈Z，β在0°～360°范围内)的形式，观察角β的终边所在的象限即可．

2．分角、倍角所在象限的判定思路

(1)求解的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略；

(2)由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．　　　　

[跟踪训练]

1．－1 060°的终边落在(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选A　因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°的终边落在第一象限．

2．若α是第四象限角，则180°－α是(　　)

A．第一象限角  B．第二象限角

C．第三象限角  D．第四象限角

解析：选C　因为α是第四象限角，则角α应满足：

k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z，

所以－k·360°＜－α＜－k·360°＋90°，k∈Z，则－k·360°＋180°＜180°－α＜－k·360°＋270°，k∈Z，

当k＝0时，180°＜180°－α＜270°，故180°－α为第三象限角．

1．已知集合A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(　　)

A．A＝B  B．B＝C

C．A＝C  D．A＝D

解析：选D　集合A中锐角θ满足0°<θ<90°；集合B中θ<90°，可以为负角；集合C中θ满足k·360°<θ<k·360°＋90°，k∈Z；集合D中θ满足0°<θ<90°.故A＝D.

2．已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α的值为(　　)

A．－480°  B．－240°

C．150°  D．480°

解析：选D　由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角．又旋转量为480°，∴α＝480°.

3．若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝________．

解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.

又180°＜α＜360°，∴α＝270°.

答案：270°