高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算第一课时学案及答案

集合的基本运算

第一课时　并集与交集

某学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求：

①中考数学成绩不低于110分；②中考理综成绩不低于110分．

如果满足条件①的同学组成的集合记为A，满足条件②的同学组成的集合记为B，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为C.

[问题]　(1)满足①或满足②的同学能成为集合C的元素吗？

(2)集合A，B，C的关系是什么？

知识点一　并集

集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？

提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和．

1．设集合M＝{4，5，6，8}，N＝{3，5，7，8}，则M∪N＝________．

答案：{3，4，5，6，7，8}

2．已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________．

答案：{x|x>0}

知识点二　交集

1．对并集、交集概念的理解

(1)A∪B、A∩B都是一个集合；

(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”；

(3)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素．

2．并集、交集的运算性质

(1)A∪B＝B∪A；A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝A⇔B⊆A；

(2)A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝A⇔A⊆B.　　　　

1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－1，0，3}，则A∩B＝________．

答案：{－1，0}

2．若集合A＝{x|－3＜x＜4}，B＝{x|x＞2}；C＝{x|x≤－3}，则A∩B＝________，A∩C＝________．

答案：{x|2＜x＜4}　∅

[例1]　(链接教科书第10页例1、例2)(1)已知集合A＝{x|x2＋2x－3＝0}，B＝{－1，1}，则A∪B＝(　　)

A．{1}　　　　　　　　 B．{－1，1，3}

C．{－3，－1，1}  D．{－3，－1，1，3}

(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝(　　)

A．{x|x<－5或x>－3}  B．{x|－5<x<5}

C．{x|－3<x<5}  D．{x|x<－3或x>5}

[解析]　(1)A＝{－3，1}，B＝{－1，1}，

则A∪B＝{－3，－1，1}，故选C.

(2)在数轴上表示集合M，N，可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．故选A.

[答案]　(1)C　(2)A

求集合并集的2种基本方法

(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；

(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解．　　　　

[跟踪训练]

1．(多选)满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A可能是(　　)

A．{5}  B．{1，5}

C．{1，3}  D．{1，3，5}

解析：选ABD　由{1，3}∪A＝{1，3，5}，知A⊆{1，3，5}，且A中至少有1个元素5，故选A、B、D.

2．若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B＝____________．

解析：在数轴上表示出集合A与B，如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．

答案：{x|x>－2}

[例2]　(链接教科书第11页例3)(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　)

A．{x|0≤x≤2}  B．{x|1≤x≤2}

C．{x|0≤x≤4}  D．{x|1≤x≤4}

(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)

A．5  B．4

C．3  D．2

[解析]　(1)在数轴上表示出集合A与B，如图．

则由交集的定义得，A∩B＝{x|0≤x≤2}．

(2)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.

[答案]　(1)A　(2)D

求两集合交集的方法

(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；

(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　　　　

[跟踪训练]

1．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝(　　)

A．{x|2＜x＜5}  B．{x|x＜4或x＞5}

C．{x|2＜x＜3}  D．{x|x＜2或x＞5}

解析：选C　集合A、B画在数轴上，如图，

由图可知A∩B＝{x|2＜x＜3}，故选C.

2．(多选)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有(　　)

A．－1  B．0

C．1  D．3

解析：选CD　∵M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，∴M∩N＝{1，3}，故选C、D.

[例3]　集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}．

(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；

(2)若A∪B＝{x|x＜1}，求a的取值范围．

[解]　(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，且A∩B＝∅，如图①所示．∴数轴上点x＝a在点x＝－1左侧，且包含点x＝－1，∴{a|a≤－1}．

(2)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，

且A∪B＝{x|x＜1}，如图②所示，

∴数轴上点x＝a在点x＝－1和点x＝1之间，不包含点x＝－1，但包含点x＝1.∴{a|－1＜a≤1}．

[母题探究]

(变条件)本例(1)中，把“A∩B＝∅”改为“A∩B≠∅”，求a的取值范围．

解：利用数轴(图略)表示出两个集合，数形结合知，要使A∩B≠∅，需数轴上点x＝a在点x＝－1右侧且不包含点x＝－1，所以{a|a＞－1}．

利用集合交集、并集的性质解题的方法

(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理；

(2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．　　　　

[跟踪训练]

1．已知集合A＝{x|x－a＞0}，B＝{x|2－x＜0}，且A∪B＝B，则实数a满足的条件是________．

解析：由题意得A＝{x|x＞a}，B＝{x|x＞2}，因为A∪B＝B，所以A⊆B.

在数轴上分别表示出集合A，B，如图所示，

则在数轴上实数a必须在2的右边或与2重合，所以a≥2.

答案：a≥2

2．已知集合A＝{2，4，a2－4a＋6}，B＝{2，a}，A∩B＝B，则实数a的取值集合为________．

解析：因为A∩B＝B，所以B⊆A，

当a＝4时，a2－4a＋6＝6，符合题意；当a2－4a＋6＝a时，解得a＝2或a＝3，由集合中元素的互异性知a＝2不合题意，舍去．综上可知，a＝4或a＝3.

答案：{3，4}

1．(2021·济宁第一学期质量检测)已知集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则集合A∩B＝(　　)

A．{0}  B．{－1，0}

C．{0，1}  D．{－1，0，1}

解析：选B　A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{－2，－1，0，1，2}，∴A∩B＝{－1，0}．故选B.

2．已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B＝(　　)

A．{x|3≤x＜4}  B．{x|x≥2}

C．{x|2≤x＜4}  D．{x|2≤x≤3}

解析：选B　解不等式3x－7≥8－2x，可得x≥3，因此集合B＝{x|x≥3}．

由集合A＝{x|2≤x＜4}，可得A∪B＝{x|x≥2}，故选B.

3．已知集合A＝{x|m－2＜x＜m＋1}，B＝{x|1＜x＜5}．

(1)若m＝1，求A∪B；

(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．

解：(1)由m＝1，得A＝{x|－1＜x＜2}，

所以A∪B＝{x|－1＜x＜5}．

(2)由A∩B＝A，可知A⊆B，

于是应满足解得3≤m≤4，

故所求实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．