高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.1 直线的倾斜角与斜率学案

直线的倾斜角与斜率

【学习目标】

1．通过直线的倾斜角与斜率的概念学习，培养数学抽象的核心素养．

2．借助倾斜角与斜率的关系，提升数学运算的核心素养

【学习重难点】

1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．（重点）

2．理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系．（重点）

3．掌握过两点的直线的斜率公式．（重点）

4．直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用．（难点）

5．掌握直线的方向向量和法向量．（重点）

【学习过程】

一、新知初探

1．直线的倾斜角

（1）倾斜角的定义

一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．

（2）当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0°．

（3）倾斜角α的范围为[0°，180°）．

2．直线的倾斜角与斜率

一般地，如果A（x1，y1），B（x2，y2）是直线上l两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则：

（1）当y1＝y2时（此时必有x1≠x2），θ＝0°．

（2）当x1＝x2时（此时必有y1≠y2），θ＝90°．

（3）当x1≠x2且y1≠y2时，tanθ＝．

（4）一般地，如果直线l的倾斜角为θ，当θ≠90°时，称k＝tanθ为直线l的斜率，当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在．

（5）若A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上两个不同的点，当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝．

3．直线的方向向量

（1）一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l．

（2）如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线．

（3）如果A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上两个不同的点，则＝（x2－x1，y2－y1）是直线l的一个方向向量．

（4）一般地，如果已知a＝（u，v）是直线l的一个方向向量，则：

①当u＝0时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为90°．

②当u≠0时，直线l的斜率存在，且（1，k）与a＝（u，v）都是直线l的方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而k＝，tanθ＝．

4．直线的法向量

一般地，如果表示非零向量υ的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量υ为l的一个法向量，记作υ⊥l．

二、初试身手

1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法．（    ）

（2）任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．（    ）

（3）一个倾斜角α不能确定一条直线．（    ）

（4）斜率公式与两点的顺序无关．（    ）

（5）直线的方向向量与法向量不唯一．（    ）

2．如图所示，直线l的倾斜角为（    ）

A．30° B．60°

C．120° D．以上都不对

3．直线l过点M（1,2），N（2,5），则l的斜率为（    ）

A．3

B．－3

C．

D．－

4．直线l经过点A（2,1）和B（－5，－2），则直线l的一个方向向量为________．

5．已知三点A（a,2），B（3,7），C（－2，－9a）在同一条直线上，实数a的值为________．

三、合作探究

类型1：直线的倾斜角

【例1】设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为（    ）

A．α＋45°

B．α－135°

C．135°－α

D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°

类型2：直线的斜率

【例2】如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P（3,2），又l1，l2，l3分别经过点Q1（－2，－1），Q2（4，－2），Q3（－3,2）．

（1）试计算直线l1，l2，l3的斜率；

（2）若还存点Q4（a,3），试求直线PQ4的斜率．

类型3：斜率公式的应用

【例3】已知直线l过点M（m＋1，m－1），N（2m，1）．

（1）当m为何值时，直线l的斜率是1?

（2）当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？

类型4：求直线的方向向量或法向量

【例4】已知直线l通过点A（1,2），B（4,5），求直线l的一个方向向量和法向量，并确定直线l的斜率与倾斜角．

【学习小结】

1．斜率公式k＝（x1≠x2）．

2．直线的倾斜角定义及范围：0°≤α＜180°．

3．直线斜率的几何意义：k＝tanα（α≠90°）．

4．斜率k与倾斜角α之间的关系

【精炼反馈】

1．若经过P（－2，m）和Q（m,4）的直线的斜率为1，则m等于（    ）

A．1

B．4

C．1或3

D．1或4

2．斜率不存在的直线一定是（    ）

A．过原点的直线

B．垂直于x轴的直线

C．垂直于y轴的直线

D．垂直于坐标轴的直线

3．若过两点M（3，y），N（0，）的直线的倾斜角为150°，则y的值为（    ）

A． B．0

C．－ D．3

4．已知直线l的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l的斜率的取值范围是________．

5．已知A（1,1），B（3,5），C（a,7），D（－1，b）四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．