山东省蒙阴县2021-2022学年中考四模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．下列计算正确的是（　　）

A．﹣5x﹣2x=﹣3x B．（a+3）2=a2+9 C．（﹣a3）2=a5 D．a2p÷a﹣p=a3p

2．下列式子成立的有(   )个

①﹣的倒数是﹣2

②(﹣2a2)3＝﹣8a5

③()＝﹣2

④方程x2﹣3x+1＝0有两个不等的实数根

A．1 B．2 C．3 D．4

3．在实数π，0，，﹣4中，最大的是（　　）

A．π B．0 C． D．﹣4

4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（　　）

A．24+2π B．16+4π C．16+8π D．16+12π

5．已知抛物线y＝x2+3向左平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是（　　）

A．y＝（x+2）2+3    B．y＝（x﹣2）2+3    C．y＝x2+1    D．y＝x2+5

6．若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成立的是（        ）

A． B． C． D．

7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=50°，则∠ABC的大小是（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°

8．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，﹣4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=（x＜0）的图象经过菱形OABC中心E点，则k的值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

9．已知点M、N在以AB为直径的圆O上，∠MON=x°，∠MAN= y°， 则点(x，y)一定在（    ）

A．抛物线上 B．过原点的直线上 C．双曲线上 D．以上说法都不对

10．一列动车从A地开往B地，一列普通列车从B地开往A地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列叙述错误的是（　　）

A．AB两地相距1000千米

B．两车出发后3小时相遇

C．动车的速度为

D．普通列车行驶t小时后，动车到达终点B地，此时普通列车还需行驶千米到达A地

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．某校组织“优质课大赛”活动，经过评比有两名男教师和两名女教师获得一等奖，学校将从这四名教师中随机挑选两位教师参加市教育局组织的决赛，挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为____．

12．在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为______．

13．分解因式：x2﹣1=____．

14．如图，在边长为1的正方形格点图中，B、D、E为格点，则∠BAC的正切值为_____．

15．写出一个一次函数，使它的图象经过第一、三、四象限：______．

16．如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，四边形ABDE是菱形且C、B、D共线，AD、BE交于点O，连接OC，若BC=3，AC=4，则tan∠OCB=_____

17．以下两题任选一题作答：

(1).下图是某商场一楼二楼之间的手扶电梯示意图，其中 AB、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平，∠ABC=150°，BC 的长是 8m，则乘电梯次点 B 到点 C 上升的高度 h 是_____m．

（2）.一个多边形的每一个内角都是与它相邻外角的 3 倍，则多边形是_____边形．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当在点A处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM与影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.2m，已知标杆直立时的高为1.8m，求路灯的高CD的长．

19．（5分）如图，已知的直径，是的弦，过点作的切线交的延长线于点，过点作，垂足为，与交于点，设，的度数分别是，，且．

（1）用含的代数式表示；

（2）连结交于点，若，求的长．

20．（8分）如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．试猜想线段BG和AE的数量关系是_____；将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α(0°＜α≤360°)，

①判断(1)中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；

②若BC＝DE＝4，当AE取最大值时，求AF的值．

21．（10分）计算：|-2|+2﹣1﹣cos61°﹣(1﹣)1．

22．（10分）如图，，，，，交于点．求的值．

23．（12分）计算：×（2﹣）﹣÷+．

24．（14分）如图 1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形 OACB 的顶点 A、B 分别在 x 轴与 y 轴上，已知 OA=6，OB=1．点 D 为 y 轴上一点，其坐标为（0，2）， 点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿线段 AC﹣CB 的方向运动，当点 P 与点 B 重合 时停止运动，运动时间为 t 秒．

（1）当点 P 经过点 C 时，求直线 DP 的函数解析式；

（2）如图②，把长方形沿着 OP 折叠，点 B 的对应点 B′恰好落在 AC 边上，求点 P 的坐标．

（3）点 P 在运动过程中是否存在使△BDP 为等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】
直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和整式的乘除运算法则分别计算即可得出答案．

【详解】

解：A．﹣5x﹣2x=﹣7x，故此选项错误；

B．（a+3）2=a2+6a+9，故此选项错误；

C．（﹣a3）2=a6，故此选项错误；

D．a2p÷a﹣p=a3p，正确．

故选D．

【点睛】

本题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和整式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题的关键．

2、B

【解析】
根据倒数的定义，幂的乘方、二次根式的混合运算法则以及根的判别式进行判断．

【详解】

解：①﹣的倒数是﹣2，故正确；

②(﹣2a2)3＝﹣8a6，故错误；

③(-)＝﹣2，故错误；

④因为△＝(﹣3)2﹣4×1×1＝5＞0，所以方程x2﹣3x+1＝0有两个不等的实数根，故正确．

故选B．

【点睛】

考查了倒数的定义，幂的乘方、二次根式的混合运算法则以及根的判别式，属于比较基础的题目，熟记计算法则即可解答．

3、C

【解析】
根据实数的大小比较即可得到答案.

【详解】

解：∵16＜17＜25，∴4＜＜5，∴＞π＞0＞－4，故最大的是，故答案选C.

【点睛】

本题主要考查了实数的大小比较，解本题的要点在于统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小.

4、D

【解析】
根据三视图知该几何体是一个半径为2、高为4的圆柱体的纵向一半，据此求解可得．

【详解】

该几何体的表面积为2וπ•22+4×4+×2π•2×4=12π+16，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出几何体的形状及圆柱体的有关计算．

5、A

【解析】
结合向左平移的法则，即可得到答案.

【详解】

解：将抛物线y＝x2＋3向左平移2个单位可得y＝(x＋2)2＋3，

故选A.

【点睛】

此类题目主要考查二次函数图象的平移规律，解题的关键是要搞清已知函数解析式确定平移后的函数解析式，还是已知平移后的解析式求原函数解析式，然后根据图象平移规律“左加右减、上加下减“进行解答.

6、D

【解析】

∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，

∴a<0，b>0，

∴a+b不一定大于0，故A错误，

a−b<0，故B错误，

ab<0，故C错误，

<0，故D正确．

故选D.

7、C

【解析】

连接OC，因为点C为弧BD的中点，所以∠BOC=∠DAB=50°，因为OC=OB，所以∠ABC=∠OCB=65°，故选C．

8、B

【解析】
根据勾股定理得到OA==5，根据菱形的性质得到AB=OA=5，AB∥x轴，求得B（-8，-4），得到E（-4，-2），于是得到结论．

【详解】

∵点A的坐标为（﹣3，﹣4），

∴OA==5，

∵四边形AOCB是菱形，

∴AB=OA=5，AB∥x轴，

∴B（﹣8，﹣4），

∵点E是菱形AOCB的中心，

∴E（﹣4，﹣2），

∴k=﹣4×（﹣2）=8，

故选B．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．

9、B

【解析】
由圆周角定理得出∠MON与∠MAN的关系，从而得出x与y的关系式，进而可得出答案.

【详解】

∵∠MON与∠MAN分别是弧MN所对的圆心角与圆周角，

∴∠MAN=∠MON，

∴ ，

∴点(x，y)一定在过原点的直线上.

故选B.

【点睛】

本题考查了圆周角定理及正比例函数图像的性质，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.

10、C

【解析】
可以用物理的思维来解决这道题.

【详解】

未出发时，x=0，y=1000，所以两地相距1000千米，所以A选项正确；y=0时两车相遇，x=3，所以B选项正确；设动车速度为V1，普车速度为V2，则3（V1+ V2）=1000，所以C选项错误；D选项正确.

【点睛】

理解转折点的含义是解决这一类题的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、

【解析】
根据列表法求出所有可能及可得出挑选的两位教师恰好是一男一女的结果数而利用概率公式计算可得．

【详解】

解：所有可能的结果如下表：

由表可知总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同．挑选的两位教师恰好是一男一女的结果有8种，

所以其概率为挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为=，

故答案为．

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

12、 cm

【解析】
利用已知得出底面圆的半径为：1cm，周长为2πcm，进而得出母线长，即可得出答案．

【详解】

∵半径为1cm的圆形，

∴底面圆的半径为：1cm，周长为2πcm，

扇形弧长为：2π=，

∴R=4，即母线为4cm，

∴圆锥的高为：（cm）．

故答案为cm．

【点睛】

此题主要考查了圆锥展开图与原图对应情况，以及勾股定理等知识，根据已知得出母线长是解决问题的关键．

13、（x+1）（x﹣1）．

【解析】

试题解析：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．

考点：因式分解﹣运用公式法．

14、

【解析】
根据圆周角定理可得∠BAC=∠BDC，然后求出tan∠BDC的值即可．

【详解】

由图可得，∠BAC=∠BDC，

∵⊙O在边长为1的网格格点上，

∴BE=3，DB=4，

则tan∠BDC==

∴tan∠BAC=

故答案为

【点睛】

本题考查的知识点是圆周角定理及其推论及解直角三角形，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理及其推论及解直角三角形.

15、y=x﹣1　(答案不唯一)

【解析】

一次函数图象经过第一、三、四象限，则可知y=kx+b中k>0，b<0，由此可得如：y=x﹣1　(答案不唯一).

16、

【解析】
利用勾股定理求出AB，再证明OC=OA=OD，推出∠OCB=∠ODC，可得tan∠OCB=tan∠ODC=，由此即可解决问题.

【详解】

在Rt△ABC中，∵AC=4，BC=3，∠ACB=90°，

∴AB==5，

∵四边形ABDE是菱形，

∴AB=BD=5，OA=OD，

∴OC=OA=OD，

∴∠OCB=∠ODC，

∴tan∠OCB=tan∠ODC==，

故答案为．

【点睛】

本题考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

17、4    8   

【解析】
（1）先求出斜边的坡角为30°，再利用含30°的直角三角形即可求解；

（2）设这个多边形边上为n，则内角和为（n-2）×180°，外角度数为

故可列出方程求解.

【详解】

（1）∵∠ABC=150°，∴斜面BC的坡角为30°，

∴h==4m

（2）设这个多边形边上为n，则内角和为（n-2）×180°，外角度数为

依题意得

解得n=8

故为八边形.

【点睛】

此题主要考查含30°的直角三角形与多边形的内角和计算，解题的关键是熟知含30°的直角三角形的性质与多边形的内角和公式.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、路灯高CD为5.1米．

【解析】
根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．

【详解】

设CD长为x米，

∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，

∴MA∥CD∥BN，

∴EC＝CD＝x米，

∴△ABN∽△ACD，

∴＝，即，

解得：x＝5.1．

经检验，x＝5.1是原方程的解，

∴路灯高CD为5.1米．

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．

19、（1）；（2）

【解析】
（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥DE，可以证明AD∥OC，根据平行线的性质可得，则根据等腰三角形的性质可得，利用，化简计算即可得到答案；
（2）连接CF，根据，可得，利用中垂线和等腰三角形的性质可证四边形是平行四边形，得到△AOF为等边三角形，由并可得四边形是菱形，可证是等边三角形，有∠FAO=60°，再根据弧长公式计算即可．

【详解】

解：（1）如图示，连结，

∵是的切线，∴．

又，∴，

∴，

∴．

∵，

∴．∴．

∵，

∴．

∴，即．

（2）如图示，连结，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴四边形是菱形，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∵，

∴的长．

【点睛】

本题考查的是切线的性质、菱形的判定和性质、弧长的计算，掌握切线的性质定理、弧长公式是解题的关键．

20、（1）BG=AE．（2）①成立BG=AE．证明见解析.②AF=．

【解析】
（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
（2）①如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
②由①可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．

【详解】

(1)BG=AE.

理由：如图1,∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°，点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴∠ADB=∠ADC=90°.

∵四边形DEFG是正方形，

∴DE=DG.

在△BDG和△ADE中，

BD=AD,∠BDG=∠ADE,GD=ED，

∴△ADE≌△BDG(SAS)，

∴BG=AE.

故答案为BG=AE；

(2)①成立BG=AE.

理由：如图2，连接AD，

∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，

∴AD=BD,AD⊥BC,

∴∠ADG+∠GDB=90°.         

∵四边形EFGD为正方形，

∴DE=DG,且∠GDE=90°，

∴∠ADG+∠ADE=90°，

∴∠BDG=∠ADE.

在△BDG和△ADE中，

BD=AD,∠BDG=∠ADE,GD=ED，

∴△BDG≌△ADE(SAS)，

∴BG=AE；                           

②∵BG=AE，

∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．

如图3,当旋转角为270°时，BG=AE.

∵BC=DE=4，

∴BG=2+4=6.

∴AE=6.

在Rt△AEF中，由勾股定理，得

AF= =，

∴AF=2 .

【点睛】

本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质及勾股定理及正方形的性质和等腰直角三角形，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质及勾股定理以及正方形的性质和等腰直角三角形.

21、1-

【解析】
利用零指数幂和绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负指数次幂的性质进行计算即可．

【详解】

解：原式＝．

【点睛】

本题考查了零指数幂和绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负指数次幂的性质，熟练掌握性质及定义是解题的关键．

22、

【解析】

试题分析：本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形.由∠A=∠ACD，∠AOB=∠COD可证△ABO∽△CDO，从而；再在Rt△ABC和Rt△BCD中分别求出AB和CD的长，代入即可.

解：∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠ACD，∴△ABO∽△CDO，∴．

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=45°，BC=1，∴AB=1．

在Rt△BCD中，∠BCD =90°，∠D=30°，BC=1，∴CD=，∴．

23、5-

【解析】

分析：先化简各二次根式，再根据混合运算顺序依次计算可得．

详解：原式=3×（2-）-+

=6--+

=5-

点睛：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握混合运算的法则是解题的关键.

24、（1）y=x+2；（2）y=x+2；（2）①S=﹣2t+16，②点P的坐标是（，1）；（3）存在，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，1﹣2）．

【解析】

分析：（1）设直线DP解析式为y=kx+b，将D与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
（2）①当P在AC段时，三角形ODP底OD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边OD为固定值，表示出高，即可列出S与t的关系式；
②设P（m，1），则PB=PB′=m，根据勾股定理求出m的值，求出此时P坐标即可；
（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．

详解：（1）如图1，

∵OA=6，OB=1，四边形OACB为长方形，

∴C（6，1）．

设此时直线DP解析式为y=kx+b，

把（0，2），C（6，1）分别代入，得

，解得

则此时直线DP解析式为y=x+2；

（2）①当点P在线段AC上时，OD=2，高为6，S=6；

当点P在线段BC上时，OD=2，高为6+1﹣2t=16﹣2t，S=×2×（16﹣2t）=﹣2t+16；

②设P（m，1），则PB=PB′=m，如图2，

∵OB′=OB=1，OA=6，

∴AB′==8，

∴B′C=1﹣8=2，

∵PC=6﹣m，

∴m2=22+（6﹣m）2，解得m=

则此时点P的坐标是（，1）；

（3）存在，理由为：

若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，

①当BD=BP1=OB﹣OD=1﹣2=8，

在Rt△BCP1中，BP1=8，BC=6，

根据勾股定理得：CP1==2，

∴AP1=1﹣2，即P1（6，1﹣2）；

②当BP2=DP2时，此时P2（6，6）；

③当DB=DP3=8时，

在Rt△DEP3中，DE=6，

根据勾股定理得：P3E==2，

∴AP3=AE+EP3=2+2，即P3（6，2+2），

综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，1﹣2）．

点睛：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．