江苏省盐城市东台市第二教育联盟2021-2022学年九年级（下）期中数学试卷（含解析）

江苏省盐城市东台市第二教育联盟2021-2022学年九年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共9小题，共32分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.   D.

2. 使有意义的的取值范围是

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 关于的一元二次方程，下列结论一定正确的是

A. 该方程没有实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程有两个相等的实数根 D. 无法确定

5. 若，则下列不等式正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 下列命题中不是真命题的是

A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 平行四边形的对角线互相平分 D. 正方形的对角线互相垂直且相等

7. 如图，点是上一点，切于点，连接交于点，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，点的坐标是，点的坐标是，为的中点，将绕点逆时针旋转后得到若反比例函数的图象恰好经过的中点，则的值是

1. 
    B.  C.  D.

9. 如图，等边的顶点，，规定把等边“先沿轴翻折，再向左平移个单位”为一次变换，这样连续经过次变换后，顶点的坐标为

A.  B.
C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共32分）

10. 截止月日时，中国红十字会共接收到用于新型冠状病毒肺炎疫情防控的社会捐赠款逾亿元，将数据亿用科学记数法表示为______．
11. 分解因式：______．
12. 有最小值为______．
13. 小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，如果纸帽的底面半径为，母线长为，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为______ 结果保留
    
     

14. 是方程的一个根，则代数式值是______．
15. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______．
    
     

16. 如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，使，分别延长、相交于点，则线段的长为______ ．
17. 如图，在正方形中，，以为圆心，长为半径画弧，点为弧上一点，于，连接，若，则的值为______ ．
    
     

三．计算题（本题共1小题，共6分）

18. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共9小题，共88分）

19. 解分式方程：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
21. 在推进嘉兴市城乡生活垃圾分类的行动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．其中、两小区分别有名居民参加了测试，社区从中各随机抽取名居民成绩进行整理得到部分信息：
    【信息一】小区名居民成绩的频数直方图如图每一组含前一个边界值，不含后一个边界值：
    【信息二】上图中，从左往右第四组的成绩如下：

【信息三】、两小区各名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率分及以上为优秀、方差等数据如下部分空缺：

根据以上信息，回答下列问题：
求小区名居民成绩的中位数．
请估计小区名居民成绩能超过平均数的人数．
请尽量从多个角度，选择合适的统计量分析，两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况．

22. 甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打第一场比赛．
    若由甲挑一名选手打第一场比赛，选中乙的概率是多少？直接写出答案
    任选两名同学打第一场，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
    
    
    
    
    
    
     
23. 某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上点处测得树顶端的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点处测得树顶端的仰角为，已知点的高度为米，台阶的坡度，且，，三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树的高度测倾器的高度忽略不计，结果保留根号

24. 如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，在的延长线上取点，使得，与交于点．
    试判断直线与的位置关系，并说明理由；
    若，，求图中阴影部分的面积．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线与交于点，轴于点，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
     

求，的值与点的坐标；

求证：∽；

求的值．






 

26. 已知，如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，且，．
    求抛物线解析式；
    如图，点是抛物线第二象限上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段长为，求与之间的函数关系式；
    在的条件下，过点作直线轴，在上取一点点在第一象限，连接，使，连接并延长交轴于点，过点作于点，连接、、若时，求值．

27. 证明推断：如图，在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，求证：；
    类比探究：如图，在矩形中，为常数将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点试探究与之间的数量关系，并说明理由；
    拓展应用：在的条件下，连接，当时，若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查算术平方根有意义的条件，掌握算术平方根被开方数为非负数是解题的关键．
根据算术平方根的被开方数大于等于，列式计算即可．
【解答】
解：由题意得：，
解得．
故选B．  

3.【答案】
 

【解析】解：，
选项A错误；
，
选项B错误；
，
选项C错误；
，
选项D正确．
故选：．
：根据二次根式的加减法的运算方法判断即可；
：根据同底数幂的乘法法则判断即可；
：根据合并同类项的方法判断即可；
：积的乘方法则：是正整数，据此判断即可．
此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：底数必须相同；按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：是正整数；是正整数．
此题还考查了合并同类项问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
此题还考查了二次根式的加减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确二次根式的加减法的步骤：如果有括号，根据去括号法则去掉括号．把不是最简二次根式的二次根式进行化简．合并被开方数相同的二次根式．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
该方程有两个不相等的实数根．
故选：．
计算判别式的值得到，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的性质判断即可．
【解答】
解：，
，，，
故选：．  

6.【答案】
 

【解析】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，真命题；
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故原命题为假命题；
C、平行四边形的对角线互相平分，真命题；
D、正方形的对角线互相垂直且相等，真命题；
故选：．
根据几种特殊的平行四边形的判定及性质逐项判定即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握几种特殊的平行四边形的判定及性质是解答此题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：切于点，
，
，
，
，
，
故选：．
由切线的性质得出，由，求出，由，得出，即可得出答案．
本题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解决问题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：作轴于．

，
，，
，
，
≌，
，，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
，，
，
，
，
，
反比例函数的图象经过点，
．
故选：．
作轴于证明≌，推出，，求出点坐标，再利用中点坐标公式求出点坐标即可解决问题．
本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

9.【答案】
 

【解析】解：是等边三角形，
点到轴的距离为，
横坐标为，
，
第次变换后的三角形在轴下方，
点的纵坐标为，
横坐标为，
所以，点的对应点的坐标是，
故选：．
据轴对称判断出点变换后在轴下方，然后求出点纵坐标，再根据平移的距离求出点变换后的横坐标，最后写出即可．
本题考查了翻折变换，坐标与图形变化平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续次这样的变换得到三角形在轴上方是解题的关键。

10.【答案】
 

【解析】解：亿，
故答案为：．
首先把亿写成，再表示成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数．
此题主要考查了科学记数法表示表示较大的数，关键是掌握科学记数法中的要求和的指数的表示规律为关键，的指数原来的整数位数．
 

11.【答案】
 

【解析】解：
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用公式法分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
，
有最小值为．
故答案为：．
根据绝对值的非负性即可得出答案．
本题考查了绝对值的非负性，掌握是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：底面半径为，
则底面周长，
侧面面积．
故答案为．
圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式，熟练记忆圆锥的侧面积计算公式是解决本题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：是方程的一个根，
，
整理得，，


．
故答案为：．
根据方程的根的定义，把代入方程求出的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了一元二次方程的解，利用整体思想求出的值，然后整体代入是解题的关键．
 

15.【答案】或
 

【解析】解：抛物线与直线交于，两点，
的解集是或，
的解集是或，
故答案为：或．
根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式的解集，本题得以解决．
本题考查二次函数与不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】
 

【解析】解：将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，，
，
，
∽，
，
，
解得，
．
故答案为：．
利用平行线的性质以及旋转的性质得出∽，再利用相似三角形的性质得出的长，进而得出的长．
此题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出∽是解题关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：过点作于，连接，
设，
，，
，
在中，，
在中，，
，
，
两边平方得：，
整理得，
解得，
，
，
故答案为：．
过点作于，连接，设，根据勾股定理分别用表示出和，根据得出的值，再利用勾股定理即可得出．
本题主要考查正方形的性质，勾股定理等知识，熟练应用勾股定理是解题的关键．
 

18.【答案】解：

．
 

【解析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

19.【答案】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

20.【答案】解：原式

，
当时，
原式

．
 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

21.【答案】解：因为有名居民，所以中位数落在第四组，中位数为，
故答案为；
人，
答：小区名居民成绩能超过平均数的人数人；
从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；
从方差看，小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比小区稳定；
从中位数看，小区至少有一半的居民成绩高于平均数．
 

【解析】本题考查的是条形统计图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
因为有名居民，所以中位数落在第四组，中位数为；
小区名居民成绩能超过平均数的人数：人；
从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；从方差看，小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比小区稳定；从中位数看，小区至少有一半的居民成绩高于平均数．
 

22.【答案】解：共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，
恰好选中乙同学；
画树状图得：
 
所有出现的等可能性结果共有种，其中满足条件的结果有种．
恰好选中甲、乙两位同学．
 

【解析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
直接利用概率公式求解；
画树状图展示所有种等可能性结果数，再找出满足条件的结果数，然后根据概率公式求解．
 

23.【答案】解：过点作，设，
在中，，，
，
的坡度：，
，
，
，
，，，
四边形为矩形，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】首先表示出的长，进而得出的长，再表示出，利用求出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，以及矩形的判定和性质，三角函数，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：是的切线．
理由：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积
 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，，于是得到，即可得到结论；
由是的直径，得到，根据三角形的内角和得到，求得，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：将点代入，得：，
解得：，
正比例函数解析式为；
将点代入，得：，
解得：，
反比例函数解析式为．
联立正、反比例函数解析式成方程组，
得：，
解得：，，
点的坐标为．
证明：四边形是菱形，
，，
，即．
轴，
，
∽．
解：点的坐标为，
，，．
∽，
，
．
 

【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出，的值；利用菱形的性质，找出，；利用相似三角形的性质，找出．
根据点的坐标，利用待定系数法可求出，的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点的坐标利用正、反比例函数图象的对称性结合点的坐标找出点的坐标亦可；
由菱形的性质可得出，，利用平行线的性质可得出，结合轴可得出，进而即可证出∽；
由点的坐标可得出，，的长，由相似三角形的性质可得出，再利用正弦的定义即可求出的值．
 

26.【答案】解：如图，当时，，
，
，
，
，
，，
把，代入抛物线中得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
如图，设，
过作轴于，
，
∽，
，
，
；

如备用图，连接，延长交轴于，
由知：，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
∽，
，
，，
≌，
，
，
，
，，
，
．
 

【解析】先令代入抛物线的解析式中求得与轴交点的坐标，根据可得的坐标，从而得的坐标，利用待定系数法求抛物线解析式；
如图，设，证明∽，列比例式可得结论；
如图，如图，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形，先得，则是等腰直角三角形，得，由，得，求得，证明是等腰直角三角形，及∽，则，代入可得的值，即可得出结论．
本题是二次函数综合题，主要考查用待定系数法求二次函数解析式、三角形相似的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、图形与坐标特点等知识，综合性比较强，有一定难度，学会构建三角形相似是本题的关键，另外第三问中正确画出图象也是解决问题的关键．
 

27.【答案】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
；
结论：理由如下：
如图中，过作于，
，
，
，，
，
∽，
，
，
四边形是矩形，
，
；
解：如图中，过点作交的延长线于．
，，
，
，
可以假设，，，
，，
，
，
或舍弃，
，，，，
：：，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，，
，
．
 

【解析】先证≌，可得再证四边形是平行四边形，即可解决问题．
过作于证明∽，即可解决问题．
过作交的延长线于利用相似三角形的性质求出，，即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．