23第十四讲 工程问题

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工程问题属于分数应用题，所以也叫做分数工程问题，分数工程问题和整数的工程问题一样，都是反映工作总量、工作效率和工作时间三者的关系。但是工程问题的主要特点是工作总量和工作效率都不给出具体数量。通常把工作总量看作单位“1”，用完成工作量所需时间的倒数表示工作效率，然后用工作总量除以工作效率就可以求出完成这项工程的时间。
解工程问题的一般计算公式是：
工作效率×工作时间＝工作总量
工作总量÷工作时间＝工作效率
工作总量÷工作效率＝工作时间
解工程应用题的关键是：
1. 在合做的应用题中，一方中途停工，解题时先考虑没有停工的一方完成的工作量。
2. 数量关系不明显，用算术方法思考难度大时，不妨考虑用方程解答。
3. 工程问题中涉及求具体数量的应用题，解题的关键是要找到具体数量与分率之间的对应关系，转化为分数应用题来解答。
4. 一些稍复杂的分数应用题、行程问题，其实质也是工程问题，解题时要善于抓住问题的本质特征解答。
在稍复杂的工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，要结合实际，结合应用，运用工程思路分析解答较为复杂的实际问题。解答时要明确以下几点：
1. 利用工程思路的特点举一反三，解答相关问题。
2. 在工程问题中，工作效率、工作时间和所完成的工作量虽然是已知的、不变的、但是为了解题方便，工作的先后顺序可以改变（假设）。
3. 在周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的，解答时首先要弄清一个循环周期的工作量，其次要注意最后不满一个周期的部分所需工作时间，这样才能正确解答。
例1 甲、乙两队合挖一条水渠。甲队单独挖要8天完成，乙队单独挖要12天完成。现在两队同时挖了若干天后，乙队调走，余下的由甲队3天挖完。乙队挖了多少天？
【分析与解】
把水渠的全长看作单位“1”，从单位“1”中减去甲队3天挖的，剩下的就是甲、乙两队同时挖的。用剩余的工作量除以甲、乙两队的工效和，等于甲、乙两队合挖的时间，也就是乙队挖的天数。
（1－ EQ \F(1,8) ×3）÷（ EQ \F(1,8) + EQ \F(1,12) ）＝3（天）
答：乙队挖了3天。
试一试1
一条公路，甲队独修24天完成，乙队独修30天完成。甲、乙两队合修若干天后，乙队停工休息，甲队继续修了6天完成。乙队修了多少天？
例2 一件工作，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要12天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用14天，这件工作由甲先做了几天？
【分析与解】
这道题既可用算术方法解答，也可以用列方程的方法解答。如果用列方程的方法来解答，那么思路十分简捷。等量关系式为：甲完成的工作量+乙完成的工作量＝单位“1”。
解：设由甲先做了X天，那么乙做了（14－X）天。
EQ \F(1,20) X+ EQ \F(1,12) ×（14－X）＝1
EQ \F(1,20) X+ EQ \F(7,6) － EQ \F(1,12) X＝1
EQ \F(1,12) X－ EQ \F(1,20) X＝ EQ \F(7,6) －1
X＝5
答：这件工作由甲先做了5天。
想一想：怎样用算术方法来解答这道题？
试一试2
一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需9天完成。如果甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成。问甲做了几天？
例3 一项工程，甲、乙两队合做1天可完成这顶工程的 EQ \F(1,15) 。如果甲队独做5天后，再由乙队独做3天，能完成这项工程的 EQ \F(7,30) 。问乙队独做这项工程需多少天完工？
【分析与解】
甲队独做5天后，再由乙队独做3天，可理解为甲、乙两队合做了3天后，甲队又独做了5－3＝2（天），甲独做2天的工作量为 EQ \F(7,30) － EQ \F(1,15) ×3＝ EQ \F(1,30) ，由此可求甲的工作效率为 EQ \F(1,30) ÷2＝ EQ \F(1,60) ，进而可求乙的工作效率为 EQ \F(1,15) － EQ \F(1,60) ＝ EQ \F(1,20) 。所以，乙队独做这项工程需1÷ EQ \F(1,20) ＝20（天）。
1÷［ EQ \F(1,15) －（ EQ \F(7,30) － EQ \F(1,15) ×3）÷（5－3）］＝20(天)
答：乙队独做这项工程需20天完工。
试一试3
师徒二人共同生产一批零件，6天可以完成任务。师傅先做5天后，因事外出，由徒弟接着做3天，一共完成任务的 EQ \F(7,10) ，如果每人单独做这批零件各需要几天？
例4 一项工程，甲独做需12小时，乙独做需18小时，如果甲先独做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……，两人如此交替工作，问完成任务时共用多少小时？
【分析与解】
把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。
（1）需循环的整数次为：
1÷（ EQ \F(1,12) + EQ \F(1,18) ）＝ EQ \F(36,5) ＞7（次）
（2）7个循环后剩下的工作量是：
1－（ EQ \F(1,12) + EQ \F(1,18) ）×7＝ EQ \F(1,36)
（3）余下的工作量还需甲做的时间为：
EQ \F(1,36) ÷ EQ \F(1,12) ＝ EQ \F(1,3) （小时）
（4）完成任务共用的时间为：
2×7+ EQ \F(1,3) ＝14 EQ \F(1,3) （小时）
答：完成任务时共用14 EQ \F(1,3) 小时。
试一试4
单独完成某项工作，甲需要9小时，乙需要12小时，如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每次工作1小时，那么完成这项工作需要多少小时？
练习十四
1. 甲、乙两队合挖一条水渠。甲队单独挖要8天完成，乙队单独挖要12天完成。现在两队同时挖了若干天后，甲队调走，余下的乙队在7天内挖完。乙队共挖了多少天？
2．一份稿件，甲单独打字需要6小时完成，乙单独打字需要10小时完成，现在甲单独打字若干小时后，因有事离开，由乙接着打完。从一开始打字到打完这份稿件共用了7小时，甲打字用了多少小时？
３．一项工程，甲队单独做要8天完成，乙队单独做要12天完成。现在甲队单独做若干天后留给乙队单独做，先后共用１０天完成。甲乙两队各做了多少天？
４．某项工程，甲、乙合做1天可完成全工程的 EQ \F(5,24) ，如果这项工程由甲队单独做2天，再由乙队单独做3天，能完成全工程的 EQ \F(13,24) ，甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
５.甲、乙合做一件工作，每天能完成全部工作的 EQ \F(1,12) ，甲单独做6天，乙单独做10天，还剩下全部工作的 EQ \F(11,30) 没有完成，甲单独完成全部工作要多少天？
6．一部书稿，甲单独打需要14小时，乙单独打需要20小时，如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每次工作1小时，那么完成这部书稿需要多少小时？
7． 一项工程，甲、乙单独做各要20天完成，丙单独做要15天完成。现在这三个人合做，在做的过程中，甲外出2天，丙休息1天，结果用了多少天才做完？
8.加工一批零件，师傅单独做15天完成，徒弟单独做10天完成。师徒两人合做若干天后，徒弟因另有任务调走，从开始到完成任务，师傅工作了9天，徒弟比师傅少工作几天？
9. 师徒二人加工一批零件，师傅独做要20小时，徒弟独做要30小时，完成任务时师傅比徒弟多做96个，这批零件有多少个？
10.一项工程，甲队单独做要30天完成，乙队单独做要40天完成。现在甲队单独做若干天后留给乙队单独做，先后共用35天完成。甲乙两队各做了多少天？
11. 一项工作，甲组3人8天完成，乙组4人7天也能完成。现在由甲组2人和乙组7人合作，多少天可以完成这项工作？
12.一项工程，甲队独做要20天完成，乙队独做要30天完成。甲、乙合做了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天。乙请假了多少天？
13.修一段公路，甲队独修要20天完工，乙队独修要25天完工，两队合修5天后，乙队调走，甲队独自修完，修完时甲队共修了800米，这段公路长多少米？