必修 第一册2.2 基本不等式当堂检测题

基本不等式

[A级　基础巩固]

1．y＝3x2＋的最小值是(　　)

A．3－3　　 B．3　　　

C．6　　 D．6－3

解析：选D　y＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D.

2．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　)

A.　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：选B　由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时取等号．

3．已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab的最大值为(　　)

A．1　　 B. 

C.　　 D.

解析：选C　已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立．故选C.

4．(多选)下列不等式一定成立的是(　　)

A．x2＋＞x(x＞0)  B．x＋≥2(x＞0)

C．x2＋1≥2|x|(x∈R)  D.＞1(x∈R)

解析：选BC　对于A，当x＝时，x2＋＝x，

所以A不一定成立；

对于B，当x＞0时，不等式成立，所以B一定成立；

对于C，不等式显然恒成立，所以C一定成立；

对于D，∵x2＋1≥1，∴0＜≤1，

所以D不成立．故选B、C.

5．若a，b都是正数，则的最小值为(　　)

A．5  B．7

C．9  D．13

解析：选C　因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2 ＝9(当且仅当b＝2a时等号成立)．故选C.

6．当x＞1时，则2x＋的最小值为________．

解析：2x＋＝2＋2，

∵x＞1，∴x－1＞0，

∴2x＋≥2×2＋2＝10，

当且仅当x－1＝，

即x＝3时，取等号．

答案：10

7．若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为________．

解析：由a＋b＝0，a＞0，得b＝－a，－＝＞0，

所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号．

答案：3

8．已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________．

解析：因为x＞0，y＞0，且1＝＋≥2，

所以xy≤3.

当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号．

答案：3　2

9．已知x，y，z为正数且满足x－2y＋3z＝0，求的最小值．

解：由x－2y＋3z＝0，得y＝.因为x，y，z为正数，所以＝＝·≥·＝3，当且仅当x＝3z时，等号成立．所以的最小值为3.

10．已知x，y都是正数．

(1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值；

(2)若x＋2y＝3，求＋的最小值．

解：(1)∵3x＋2y＝12，

∴xy＝·3x·2y≤×＝6，

当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时，等号成立．

∴xy取得最大值为6.

(2)∵x＋2y＝3，∴1＝＋，

∴＋＝＝＋＋＋≥

1＋2＝1＋，

当且仅当＝，即x＝3－3，y＝3－时取等号，

∴＋的最小值为1＋.

[B级　综合运用]

11．若不等式a2＋b2＋2＞λ(a＋b)对任意正数a，b恒成立，则实数λ的取值范围是(　　)

A．λ＜  B．λ＜1

C．λ＜2  D．λ＜3

解析：选C　不等式a2＋b2＋2＞λ(a＋b)对任意正数a，b恒成立，

∴λ＜.

∵≥＝＋≥2＝2，

当且仅当a＝b＝1时取等号，∴λ＜2.

12．(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)

A.＋的最小值为4

B.的最大值为

C.＋的最大值为

D．a2＋b2的最小值为

解析：选ABCD　对于A，＋＝(a＋b)＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确；对于B，0＜≤(a＋b)＝×1＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B正确；对于C，∵(＋)2＝a＋b＋2＝2＋1≤a＋b＋1＝2，∴＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确．故选A、B、C、D.

13．设x＞0，则的最小值为________．

解析：由x＞0，可得x＋1＞1.令t＝x＋1(t＞1)，则x＝t－1，则＝＝t＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当t＝，即x＝－1时，等号成立．

答案：2－1

14．(1)已知a，b，x，y均为正数，且＋＝1，求x＋y的最小值；

(2)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＋xy＝30，求xy的最大值．

解：(1)x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2，当且仅当即时，等号成立．

(2)法一：由x＋2y＋xy＝30，可得y＝(0＜x＜30)．

xy＝＝＝34－，

注意到x＋2＋≥2·＝16，可得xy≤18，

当且仅当x＋2＝，即x＝6时，等号成立，代入x＋2y＋xy＝30中得y＝3，故xy的最大值为18.

法二：∵x＞0，y＞0，

∴x＋2y≥2＝2·(当且仅当x＝2y时，等号成立)，

∴2·＋xy≤x＋2y＋xy＝30，

解此不等式得0≤xy≤18，即xy的最大值为18，此时即

[C级　拓展探究]

15．是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＋＝1(x>0，y>0)且x＋y的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．

解：因为＋＝1，

所以x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，

又x＋y的最小值为18，所以(＋)2＝18.

由得或

故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件．