高考复习《直线与圆的位置关系二》课时作业9.4

这是一份高考复习《直线与圆的位置关系二》课时作业9.4，共7页。

1．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－eq \f(4,3) B．－eq \f(3,4)
C.eq \r(3) D．2
A 由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d＝eq \f(|1×a＋4－1|,\r(1＋a2))＝1，解之得a＝－eq \f(4,3).
2．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为eq \r(2)的点共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C 圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝eq \f(|－1－2＋1|,\r(2))＝eq \r(2)，半径是2eq \r(2)，结合图形可知有3个符合条件的点．
3．(2020·沈阳质检)“k＝eq \f(\r(3),3)”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A 若直线l与圆相切，则有eq \f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq \f(\r(3),3)，所以“k＝eq \f(\r(3),3)”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件，故选A.
4．(2020·广州调研)若点A(1，0)和点B(4，0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
C 如图，分别以A，B为圆心，1，2为半径作圆．
由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．
5．(2020·洛阳模拟)已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x＋y＝2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于点A，则|PA|的最小值为( )
A.eq \f(1,2) B．1
C.eq \r(2)－1 D．2－eq \r(2)
D 法一：由题意可知，直线PA与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA与y轴平行或重合，
设P(cs α，sin α)，则A(cs α，2－cs α)，
∴|PA|＝|2－cs α－sin α|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2－\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))))，
∴|PA|的最小值为2－eq \r(2)，故选D.
法二：由题意可知圆心(0，0)到直线x＋y＝2的距离d＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)，∴圆C上一点到直线x＋y＝2的距离的最小值为eq \r(2)－1.由题意可得|PA|min＝eq \r(2)(eq \r(2)－1)＝2－eq \r(2)，故选D.
6．(2020·广州调研)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是________．
解析 将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝eq \r(2－a)，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq \f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq \r(2)，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4..
答案 －4
7．(2020·兰州调研)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．
解析 把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得
(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.
圆C1的圆心坐标是(4，2)，半径是3；
圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.
圆心距d＝ eq \r(（4＋2）2＋（2＋1）2)＝3eq \r(5).
所以|PQ|的最小值是3eq \r(5)－5.
答案 3eq \r(5)－5
8．(2020·石家庄质检)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为________．
解析 因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得eq \f(|a|,\r(12＋（－2）2))＝1，所以a＝±eq \r(5).
答案 eq \r(5)或－eq \r(5)
9．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
解析 圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4，0)．
由题意知(4，0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，
即eq \f(|4k－2|,\r(k2＋1))≤2，整理得3k2－4k≤0，解得0≤k≤eq \f(4,3).
故k的最大值是eq \f(4,3).
答案 eq \f(4,3)
10．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解 (1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，
由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点，所以eq \f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1.
解得eq \f(4－\r(7),3)所以k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得
(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝eq \f(4（1＋k）,1＋k2)，x1x2＝eq \f(7,1＋k2).
eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq \f(4k（1＋k）,1＋k2)＋8.
由题设可得eq \f(4k（1＋k）,1＋k2)＋8＝12，
解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在l上，所以|MN|＝2.
11．(2020·豫北名校联考)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值时点P的坐标．
解 (1)圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，圆心为(－1，2)，半径为eq \r(2)，易知切线斜率存在．
∵圆C的切线在两坐标轴上的截距相等，∴①当截距不为零时，直线斜率为－1，可设切线的方程为y＝－x＋b，∴eq \f(|－1＋2－b|,\r(2))＝eq \r(2)，解得b＝－1或b＝3，
故切线的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
②当截距为零时，可设切线的方程为y＝kx，即kx－y＝0，∴eq \f(|－k－2|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，解得k＝2＋eq \r(6)或k＝2－eq \r(6)，
故切线的方程为y＝(2＋eq \r(6))x或y＝(2－eq \r(6))x，
综上可知，切线的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0或y＝(2＋eq \r(6))x或y＝(2－eq \r(6))x.
(2)∵|PM|＝|PO|，
∴|PO|取最小值时，|PM|取最小值，
∵切线PM与半径CM垂直，
∴|PM2|＝|PC|2－|CM|2，又|PM|＝|PO|，
∴|PC|2－|CM|2＝|PO|2，
∴(x1＋1)2＋(y1－2)2－2＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)，
∴2x1－4y1＋3＝0，
即点P(x1，y1)在直线2x－4y＋3＝0上，
∴|PO|的最小值等于点O到直线2x－4y＋3＝0的距离d.
故|PO|取得最小值时，|PO|2＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝d2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(5),10)))＝eq \f(9,20)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝\f(9,20)，,2x1－4y1＋3＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝－\f(3,10)，,y1＝\f(3,5).))
∴所求P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,10)，\f(3,5))).
[技能过关提升]
12．已知直线l：x＋y－1＝0截圆Ω：x2＋y2＝r2(r>0)所得的弦长为eq \r(14)，点M，N在圆Ω上，且直线l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0过定点P，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为( )
A．[2－eq \r(2)，2＋eq \r(3)] B．[2－eq \r(2)，2＋eq \r(2)]
C．[eq \r(6)－eq \r(2)，eq \r(6)＋eq \r(3)] D．[eq \r(6)－eq \r(2)，eq \r(6)＋eq \r(2)]
D 由题意：2eq \r(r2－\f(1,2))＝eq \r(14)，解得r＝2，因为直线l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0过定点P，故P(1，1)；设MN的中点为Q(x，y)，则|OM|2＝|OQ|2＋|MQ|2＝|OQ|2＋|PQ|2，即4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，化简可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,2)，所以点Q的轨迹是以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))为圆心，eq \f(\r(6),2)为半径的圆，所以|PQ|的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)－\r(2),2)，\f(\r(6)＋\r(2),2)))，|MN|的取值范围为[eq \r(6)－eq \r(2)，eq \r(6)＋eq \r(2)]．故选D.
13．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0 和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)的最小值为( )
A．1 B．3 C.eq \f(1,9) D.eq \f(4,9)
A x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋(y－2b)2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，
则eq \r(a2＋（2b）2)＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，
所以eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋4b2,9)))
＝eq \f(1,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(a2,b2)＋\f(4b2,a2)))≥eq \f(1,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2\r(\f(a2,b2)·\f(4b2,a2))))＝1，当且仅当eq \f(a2,b2)＝eq \f(4b2,a2)，即a＝±eq \r(2)b时取等号．
14．(2020·日照一模)曲线y＝eq \f(x2＋4,x)的一条切线l与直线y＝x，y轴围成的三角形记为△OAB，则△OAB外接圆面积的最小值为( )
A．8eq \r(2)π B．8(3－eq \r(2))π
C．16(eq \r(2)－1)π D．16(2－eq \r(2))π
C y′＝eq \f(x2－4,x2)，设直线l与曲线的切点坐标为(x0，y0)，则直线l的方程为y－eq \f(xeq \\al(2,0)＋4,x0)＝eq \f(xeq \\al(2,0)－4,xeq \\al(2,0))·(x－x0)，即y＝eq \f(xeq \\al(2,0)－4,xeq \\al(2,0))x＋eq \f(8,x0).不妨设直线l与直线y＝x的交点为A，与y轴的交点为B，可求得A(2x0，2x0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(8,x0))).
∴|AB|2＝4xeq \\al(2,0)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0－\f(8,x0)))eq \s\up12(2)＝8xeq \\al(2,0)＋eq \f(64,xeq \\al(2,0))－32
≥32(eq \r(2)－1)，当且仅当xeq \\al(2,0)＝2eq \r(2)时取等号．
由正弦定理可得△OAB的外接圆的半径
R＝eq \f(1,2)·eq \f(|AB|,sin 45°)＝eq \f(\r(2),2)|AB|，则△OAB外接圆的面积S＝πR2＝eq \f(1,2)π|AB|2≥16(eq \r(2)－1)π.故选C.
15．(2020·长沙调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是________．
解析 圆C1关于直线x－y＝0对称的圆C3的方程为(x－1)2＋y2＝r2，则圆C3与圆C2存在公共点，所以|r－1|≤eq \r(2)≤r＋1，所以r∈[eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1]．
答案 [eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1]