实数和二次根式学案

这是一份实数和二次根式学案，共6页。学案主要包含了典例精讲，巩固练习等内容，欢迎下载使用。

2、能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高对知识的应用能力；
3、掌握二次根式的范围和混合运算。
知识梳理
知识点1: 平方根、算数平方根、立方根及二次根式
1、平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“”。
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
3、立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
4、二次根式的性质：
（0）
；注意的双重非负性：
-（<0） 0
5、最简二次根式
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
（2）被开方数中不含分母
（3）分母中不含有根号
6、分母有理化：把分母的根号化去的过程叫分母有理化
7、同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式
8、二次根式的乘除运算：积的算术平方根的性质：
商的算术平方根的性质：
知识点2：实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 负无理数 无限不循环小数
知识点3：科学记数法（有效数字）和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字
2、科学记数法
把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。
三、典例精讲
1．如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，－a，1的大小关系表示正确的是（ ）
0
1
A
第1题图
A．a＜1＜－a B．a＜－a＜1
C．1＜－a＜a D．－a＜a＜1
2．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．5×1010千克B．50×109千克C．5×109千克D．0.5×1011千克
3．如图，矩形OABC的边OA长为2 ，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．2.5 B．2 C． eq \r(5) D． eq \r(6)
第3题图
4．在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧．若|a－b|＝2013，且AO＝2BO，则a＋b的值为 ．
5．若(a－1)2＋eq \b\bc\|(\a(b－2))＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为______．
6． eq \r(16)QUOTE的算术平方根是 ． eq \r(3,－27)＝_________．
7．定义一种运算☆，其规则为a☆b＝ eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)，根据这个规则，计算2☆3的值是 ．
8．若x，y为实数，且|x＋2|＋ eq \r(y－3)＝0，则(x＋y)2015的值为_______．
9．已知a，b，c实数在数轴上的对应点如图所示，化简 eq \r(a2)－|a－b|＋|c－a|＋ eq \r((b－c)2)＝ ．
10．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．； B．； C．； D． ．
11．要使式子有意义，a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞－2且a≠0 C．a＞－2或a≠0 D．a≥－2且a≠0
12．计算＋＝ ． ＝ .
13．已知a、b为两个连续的整数，且，则 ．
14．已知x、y为实数，且满足＝0，那么x2013－y2013＝ ．
15．已知x、y为实数，且y＝﹣ ＋4，则x﹣y＝
16．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为 ．
17．如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD
的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、
N，连接AM，CN，MN，若AB＝2 eq \r(2)，BC＝2 eq \r(3)，
则图中阴影部分的面积为 ．
18．（1）已知x＝ eq \r(2)－1，求x2＋3x－1的值．
（2）已知a＝2＋，b＝2－，试求的值．
（3）已知x＝2＋，y＝2－，求代数式的值．
19．化简：（1） eq \r(a)（ eq \r(a)＋2）－ eq \f( eq \r(a2b), eq \r(b))； （2） EQ \F(2,2－ EQ \R(,3) ) － EQ \R(,12) ＋( EQ \R(,3) ＋1)2；
（3）； （4）（﹣）﹣﹣|﹣3|．
四、巩固练习
1．已知一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，则a的值是 ．
2 . 一个三角形的三边长分别为，则它的周长是 cm。
3．如果 eq \r((2a－1)2)＝1－2a，则（ ）
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
4．计算 eq \r(16)的算术平方根是（ ）
A．±4B．4C．±2D．2
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．＋＝ C． D．
6．k、m、n为三整数，若 eq \r(135)＝k eq \r(15)， eq \r(450)＝15 eq \r(m)， eq \r(180)＝6 eq \r(n)，则下列有关于k、m、n的大小关系正确的是（ ）
A．k＜m＝n B．m＝n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n
7．已知，，则代数式的值为 ．
8 . 如图，已知Al（1，0），A2（1，1），A3（－1，1），A4（－1，－1），A5（2，－1），…．则点A2015的坐标为 ．
（第8题） （第9题）
9．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B6的坐标是 ．
10 . 对于所有实数，下列等式总能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11 . 化简：

(4). (5). (6).
(7). (8)（）（）
12．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 eq \r(5)、 eq \r(10)、 eq \r(13)，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．_______ ___________
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为 eq \r(5)a、2 eq \r(2)a、 eq \r(17)a（a＞1），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
（3）若△ABC三边的长分别为．．（，且），试运用构图法求出这三角形的面积．
（图①）
（图②）
A
C
B