2021-2022学年山东省济南市长清中学高二上学期阶段性质量检测（三）数学试题含答案

山东省济南市长清中学2021-2022学年高二上学期阶段性质量检测（三）数学试题

本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．

一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．对于无穷常数列7，7，…，7…，下列说法正确的是（    ）

A．该数列既不是等差数列也不是等比数列 B该数列既是等差数列又是等比数列

C．该数列是等比数列但不是等差数列  D该数列是等差数列但不是等比数列

2.直线x－y＋2＝0与圆(x＋1)2＋y2＝2相交于A，B两点，则|AB|＝（    ）

A.     B.     C.     D.

3.若向量a＝(1，λ，0)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角余弦值为，则实数λ等于

A.0     B.－     C.0或－     D.0或

4．已知数列满足且，则的值为（    ）

A．1    B．2    C．4    D．－4

5．在三棱锥O－ABC中，M是OA的中点，P是的重心．设，，，则（    ）

A． B．  C.． D．

6.若直线mx＋ny＝4和圆x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆的交点的个数为（    ）

A.2     B.0或1     C.1     D.0

7．已知为正项数列的前n项和，， ，则（    ）

A．   B．  C．   D．

8.已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( ）

A.     B.     C.     D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.已知向量a＝(1，－1，m)，b＝(－2，m－1，2)，则下列结论中正确的是（    ）

A.若a＝2，则m＝±                  B.若a⊥b，则m＝－1

C.不存在实数入，使得a＝λb               D.若a·b＝－1，则a＋b＝(－1，－2，－2)

10．在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则（    ）

A．        B．数列是等比数列

C．        D．数列是公差为2的等差数列

11.已知F1，F2是双曲线C：的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F1F2为直径的圆经过点M，则下列说法正确的是（    ）

A.双曲线C的渐近线方程为y＝±x   B.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2

C.点M的横坐标为±               D.△MF1F2的面积为2

12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则（    ）

A.A1C⊥DP                               B.三棱锥A－D1PC的体积为定值

C.直线AP与平面ABCD所成的角可以为   D.直线DP与直线AD1所成的角最小值为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为           。

14.过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为           。

15.已知四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则等于           。

16.已知F1，F2是椭圆C：(a>1)的两个焦点，且椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝，则椭圆C的离心率的最小值为         。若点M，N分别是圆D：x2＋(y－3)2＝3和椭圆C上的动点，当椭圆C的离心率取得最小值时，|MN|＋|NF2|的最大值是         。

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知数列为等差数列，，，数列为各项均为正数的等比数列，，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，求数列的前2n项和．

18．（12分）

已知圆C经过A(2，－3)和B(－2，－5)两点，圆心在直线x－2y－3＝0上。

(1)求圆C的方程。

(2)过原点的直线l与圆C交于M，N两点，若|MN|＝6，求直线l的方程。

19．（12分）

如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点．

（1）求线段PQ长度的最小值；

（2）当线段PQ长度最小时，求直线PQ与平面ACD所成的角的余弦值．

20．（12分）

已知数列前n项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前n项和，求数列的前n项和．

21．（12分）

在如图所示的多面体中，且，，且，且，平面ABCD，，M，N分别为棱FC，EG的中点．

（1）求点F到直线EC的距离；

（2）求平面BED与平面EDC的夹角的余弦值；

（3）在棱GF上是否存在一点Q，使得平面平面EDC？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由．

22.(12分)

已知椭圆C：的离心率e＝，两个焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝4x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点。

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知圆O：x2＋y2＝的切线l与椭圆相交于A，B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由。

高二年级上学期阶段性质量检测数学试题(三)答案

1单选（40分）1—4   BDCA   5—8  BACD

2多选（20分）9 AC  10 AB  11 ACD  12 ABD

17．（10分）解：（1）设数列的公差为d，数列的公比为q，

因为,所以令得，即

又,所以

因为，, 所以解得或（舍）

所以

（2）由（1）得,所以

18.

19．（12分）

解：（1）因为四边形ABCD是菱形，，，所以和是等边三角形．

设O是BD的中点，则，，，所以，所以，

由于，所以平面BCD

以O为原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系

设，，其中，，

所以

当，时，线段PQ的长度取得最小值为

（2）由（1）得，，,，，，

，，

设平面ACD的法向量为，则，取，则

设PQ与平面ACD所成角为，则,所以

20．（12分）

解：（1）由，得，

两式相减，得．由，，得，

所以，即数列是以1为首项，公比为3的等比数列，从而有

（2）由可知：当时，, 当时，适合上式

所以所以, 所以

，

两式相减得：

所以

21．（12分）解：（1）由平面ABCD知，，，又，

以D为原点，DA，DC，DG所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系

则，，，，

，，，

则，，，，

所以点F到直线EC的距离

（2）由（1）知，，，

设平面BED的法向量为，则，令，则

设平面EDC的法向量为，则，令，则

故, 所以平面BED与平面EDC夹角的余弦值为

（3）设GF上存在一点Q，设，, 则，

设平面MNQ的法向量为, 则，令，

则

∵平面平面EDC  ∴，即，无解，

故不存在点Q使得平面平面EDC