2023届高考一轮复习加练必刷题第75练　双曲线【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第75练　双曲线【解析版】，共7页。试卷主要包含了设F1，F2分别是双曲线C，设双曲线C等内容，欢迎下载使用。

考点一 双曲线的定义
1．已知M(－3,0)，N(3,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的左支
C．一条射线 D．双曲线的右支
答案 D
解析 根据双曲线的定义可得|PM|－|PN|＝4<|MN|，所以动点P的轨迹表示双曲线的右支．
2．已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,9)－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，过点F1作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为H，则|OH|等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 延长F1H交PF2于点B，∠F1PF2的角平分线为PA，如图，
F1B⊥PA，所以H为F1B的中点，|PF1|＝|BP|.在△F1F2B中，O是F1F2的中点，H为F1B的中点，可得|OH|＝eq \f(1,2)|BF2|＝eq \f(1,2)(|PF2|－|PF1|)＝a＝3.
考点二 双曲线的标准方程
3．已知双曲线过点P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(3\r(5),2)))和P2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(7),3)，4))，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1
C.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1
答案 B
解析 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(3\r(5),2)))，P2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(7),3)，4))两点在双曲线上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4m＋\f(45,4)n＝1，,\f(112,9)m＋16n＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,16)，,n＝\f(1,9)，))于是所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1.
4．已知双曲线C的一个焦点为(0,5)，且与双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的渐近线相同，则双曲线C的标准方程为( )
A．x2－eq \f(y2,4)＝1 B．y2－eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1 D.eq \f(y2,5)－eq \f(x2,20)＝1
答案 D
解析 双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的渐近线方程为
y＝±eq \f(1,2)x，
由题意设双曲线C的方程为
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1，
由焦点坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，5))可得a2＋b2＝25，①
渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x，
再由C与双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的渐近线相同，所以eq \f(a,b)＝eq \f(1,2)，②
由①②可得a2＝5，b2＝20，
所以双曲线C的方程为eq \f(y2,5)－eq \f(x2,20)＝1.
考点三 双曲线的性质
5．若椭圆eq \f(x2,34)＋eq \f(y2,n2)＝1和双曲线eq \f(x2,n2)－eq \f(y2,16)＝1有相同的焦点，则实数n的值是( )
A．±5 B．±3 C．5 D．9
答案 B
解析 由题意，可知椭圆eq \f(x2,34)＋eq \f(y2,n2)＝1的半焦距c1＝eq \r(34－n2)，双曲线eq \f(x2,n2)－eq \f(y2,16)＝1的半焦距c2＝eq \r(n2＋16)，
所以eq \r(34－n2)＝eq \r(n2＋16)，则实数n＝±3.
6．双曲线eq \f(y2,3)－x2＝1的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0的位置关系是( )
A．相切 B．相离
C．相交 D．不确定
答案 A
解析 双曲线的一条渐近线为y＝eq \r(3)x，即eq \r(3)x－y＝0，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝1，圆心(0,2)到直线eq \r(3)x－y＝0的距离为eq \f(2,2)＝1，所以渐近线与圆相切．
7．(多选)(2022·济南模拟)设F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,m＋n)－eq \f(y2,m－n)＝1的左、右焦点，且|F1F2|＝4，则下列结论正确的有( )
A．m＝2
B．当n＝0时，C的离心率是2
C．点F1到渐近线的距离随着n的增大而减小
D．当n＝1时，C的实轴长是虚轴长的两倍
答案 AC
解析 对于选项A，由双曲线的方程可得a2＝m＋n，b2＝m－n，所以c2＝a2＋b2＝m＋n＋m－n＝2m，又因为2c＝4，所以c＝2，所以c2＝2m＝4，可得m＝2，故A正确；
对于选项B，当n＝0时，双曲线C：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1，此时a2＝b2＝2，c2＝4，所以离心率e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(2)，故B不正确；
对于选项C，由选项A得，m＝2，则a2＝2＋n，b2＝2－n(－2对于选项D，当n＝1时，a＝eq \r(2＋1)＝eq \r(3)，b＝eq \r(2－1)＝1，所以实轴长为2eq \r(3)，虚轴长为2，C的实轴长是虚轴长的eq \r(3)倍，故D不正确．
8．设F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(\r(10),2)
C.eq \f(\r(15),2) D.eq \r(5)
答案 B
解析 依据双曲线的定义知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))＝2a，
又∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＝3eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＝3a，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))＝a，
∵∠F1AF2＝90°，
∴在Rt△F1AF2中，由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a))2＋a2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2c))2，
得e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \f(\r(10),2).
9．设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \r(5).P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 A
解析 设eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝m，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝n，P为双曲线右支上一点，则＝eq \f(1,2)mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)，所以a＝1.
10．(2022·南京模拟)已知双曲线eq \f(y2,a2)－x2＝1(a>0)的离心率e＝eq \f(\r(5),2)，点F1，F2分别是它的下焦点和上焦点．若P为该双曲线上支上的一个动点，则|PF1|与P到一条渐近线的距离之和的最小值为________．
答案 5
解析 双曲线eq \f(y2,a2)－x2＝1(a>0)的离心率e＝eq \f(\r(5),2)，
所以e2＝1＋eq \f(1,a2)＝eq \f(5,4)，解得a＝2，
所以F1(0，－eq \r(5))，F2(0，eq \r(5))．
双曲线eq \f(y2,4)－x2＝1的渐近线方程为y＝±2x，由P为该双曲线上支上的一个动点，根据双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a＝4，所以|PF1|＝4＋|PF2|.
设点P到渐近线y＝2x的距离为d，则|PF1|＋d＝4＋|PF2|＋d，过F2作渐近线y＝2x的垂线，垂足为M，
所以|F2M|＝eq \f(|\r(5)|,\r(5))＝1，
所以|PF1|＋d＝4＋|PF2|＋d≥4＋|F2M|＝5.
所以|PF1|与P到一条渐近线的距离之和的最小值为5.
11．(2022·邯郸模拟)设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C的左支上，且eq \f(\(OF1,\s\up6(—→))·\(OP,\s\up6(→)),|\(OP,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(F1P,\s\up6(—→))·\(OP,\s\up6(→)),|\(OP,\s\up6(→))|)＝2eq \r(3)，则△PF1F2的面积为( )
A．8 B．8eq \r(3) C．4 D．4eq \r(3)
答案 A
解析 由eq \f(\(OF1,\s\up6(—→))·\(OP,\s\up6(→)),|\(OP,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(F1P,\s\up6(—→))·\(OP,\s\up6(→)),|\(OP,\s\up6(→))|)
＝eq \f(\(OF1,\s\up6(—→))＋\(F1P,\s\up6(—→))·\(OP,\s\up6(→)),|\(OP,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(OP,\s\up6(→))·\(OP,\s\up6(→)),|\(OP,\s\up6(→))|)＝|eq \(OP,\s\up6(→))|
＝2eq \r(3)，不妨设F1(－2eq \r(3)，0)，F2(2eq \r(3)，0)，
所以|OP|＝eq \f(1,2)|F1F2|，所以点P在以|F1F2|为直径的圆上，
即△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形．
故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝48.
又|PF2|－|PF1|＝2a＝4，
所以16＝(|PF2|－|PF1|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝48－2|PF1||PF2|，
解得|PF1||PF2|＝16，
所以＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝8.
12．已知M(x0，y0)是双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1上一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若eq \(MF1,\s\up6(—→))·eq \(MF2,\s\up6(—→))<0，则y0的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))
答案 A
解析 根据双曲线的标准方程，可知F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)．因为M(x0，y0)在双曲线上，所以eq \f(x\\al(2,0),2)－yeq \\al(2,0)＝1，即xeq \\al(2,0)＝2＋2yeq \\al(2,0)，所以eq \(MF1,\s\up6(—→))·eq \(MF2,\s\up6(—→))＝(－eq \r(3)－x0，－y0)·(eq \r(3)－x0，－y0)＝xeq \\al(2,0)－3＋yeq \\al(2,0)＝3yeq \\al(2,0)－1.由3yeq \\al(2,0)－1<0得yeq \\al(2,0)13.(2022·福州模拟)如图所示，从双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MO))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MT))与b－a的大小关系为( )
A.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MO))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MT))>b－a
B.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MO))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MT))＝b－a
C.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MO))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MT))D．不确定
答案 B
解析 设F1是双曲线的右焦点，连接PF1，OT，
∵M，O分别为FP，FF1的中点，
∴|MO|＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1)).
又由双曲线定义得，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝2a，|FT|＝eq \r(|OF|2－|OT|2)＝b.
故eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MO))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MT))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FT))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))－|PF|))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FT))＝b－a.
14．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过C的右焦点F作垂直于渐近线的直线l交两渐近线于A，B两点，A，B两点分别在一、四象限．若eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(5,13)，则双曲线C的离心率为( )
A.eq \f(13,12) B.eq \f(\r(13),3) C.eq \f(\r(13),5) D.eq \r(13)
答案 B
解析 如图，双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)，渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.将渐近线方程化为一般式bx±ay＝0.
由点到直线的距离公式可知|AF|＝eq \f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b，由eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(5,13)，可得|BF|＝eq \f(13b,5).
设∠AOF＝α，由双曲线对称性可知∠AOB＝2α，
而tan α＝eq \f(b,a)，tan 2α＝eq \f(|AB|,|OA|)＝eq \f(\f(18b,5),a)＝eq \f(18b,5a)，
由二倍角正切公式可知tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan 2α)＝eq \f(2ab,a2－b2)，
即eq \f(18b,5a)＝eq \f(2ab,a2－b2)，
化简可得4a2＝9b2，
则e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋\f(4,9))＝eq \f(\r(13),3).