精品解析：2022年山东省日照市新营中学中考二模数学试题（解析版+原卷板）

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2022年九年级中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【1题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，二次根式的加减，同底数幂乘法，多项式除以单项式的计算法则求解即可．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，二次根式的加减，同底数幂乘法，多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
2. 习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近人，将数据用科学记数法表示为（　　）
A. B. C. D.
【2题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】将用科学记数法表示为：，
故选B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3. 若有意义，则x的取值范围是　　
A. 且 B. C. D.
【3题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出答案．
【详解】由题意可知：，
解得：且，
故选A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为0、二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.
4. 如图是一个几何体的三种视图，则这个几何体的表面积是（ ）

A. B. C. D.
【4题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，判断出几何体的形状，再根据三视图的数据，求出几何体的表面积即可．
【详解】这个几何体的表面积为.
故选A.
【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点是三视图，几何体的表面积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．
5. 下列说法中正确的有（ ）
①的算术平方根是5．
②十边形的内角和是．
③若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是．
④已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边长c的取值范围是．
⑤平行四边形、线段、角、等边三角形四个图形中，只有线段既是轴对称图形又是中心对称图形．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【5题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义即可判断①；根据多边形内角和公式即可判断②；根据一元二次方程的定义和判别式即可判断③；根据三角形三边的关系即可判断④；根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断④．
【详解】解：①，则5的算术平方根是，故此说法错误；
②十边形的内角和是，故此说法错误；
③若关于x的一元二次方程有两个实数根，则，即且，故此说法错误；
④已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边长c的取值范围是，故此说法正确；
⑤平行四边形、线段、角、等边三角形四个图形中，只有线段既是轴对称图形又是中心对称图形，故此说法正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，三角形三边的关系，一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，多边形内角和，轴对称图形和中心对称图形，熟知相关知识是解题的关．
6. 下列各式分解因式正确的是（　　）
A. x2+6xy+9y2=（x+3y）2 B. 2x2﹣4xy+9y2=（2x﹣3y）2
C. 2x2﹣8y2=2（x+4y）（x﹣4y） D. x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）
【6题答案】
【答案】A
【解析】
【详解】【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，正确；
B、2x2﹣4xy+9y2无法分解因式，故此选项错误；
C、2x2﹣8y2=2（x+2y）（x﹣2y），故此选项错误；
D、x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2，故此选项错误，
故选A．
【点睛】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键.
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为D，点E为BC的中点，AE与CD交于点F，若DF的长为，则AE的长为（　　）

A. B. 2 C. D. 2
【7题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】
连接DE，首先推知ED为△ABC的中位线，然后由中位线的性质得到△DEF∽△CAF，从而求得CD的长度；继而推知AC=BC=2；最后由勾股定理求得AE的长度．
【详解】解：连接DE，如图所示：


在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∵CD⊥AB，
∴AD=BD，即点D为AB中点．
∵E为BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE=AC，
∴△DEF∽△CAF，
∴DF：CF=DE：AC=1：2，
∴DF=CD=，
∴CD=．
∴AB=2．
∵AC=BC，
∴AC2+BC2=2AC2=AB2=8．
∴AC=BC=2．
∴CE=1．
在直角△ACE中，由勾股定理知：
AE=．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和等腰直角三角形的判定与性质．熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
8. 已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
【8题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解．
【详解】解：由关于的分式方程可得：，且，
∵方程的解为非负数，
∴，且，
解得：且，
故选B．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．
9. 如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ）

A. 50° B. 48° C. 45° D. 36°
【9题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】连接AD，由切线性质可得∠ADB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE的度数．
【详解】解：连接AD，则AD=AG=3，
∵BC与圆A相切于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==，
∴∠BAD=60°，
∵∠CDE=18°，
∴∠ADE=90°﹣18°=72°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，
∴∠GAC=36°+60°=96°，
∴∠GFE=∠GAC=48°，
故选：B．

【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD=60°是解答的关键．
10. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（　　）

A. 2 B. 2-1 C. 2.5 D. 2.3
【10题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】延长AF至BC延长线上交于G点，由已知可证明∠AGB=∠EAG，则EF为△ABG的中位线，得出EF=3，还可证明FG=4，由勾股定理得EG=5，则求得CE的长为2.3．
【详解】延长AF、BC交于点G．
∵AD∥BC
∴∠D=∠FCG，∠DAF=∠G．
又DF=CF，
∴△AFD≌△GFC．
∴AG=2AF=8，CG=AD=2.7．
∵AF⊥AB，AB=6，
∴BG=10．
∴BC=BG，CG=7.3．
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B．
∴∠EAG=∠AGE．
∴AE=GE．
∴BE=BG=5．
∴CE=BC，BE=2.3．
故选：D．

【点睛】此题综合考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理、等边对等角的性质、等角的余角相等以及等角对等边的性质．
11. 如图，在矩形ABCD中，，．点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿运动，当点P与点D重合时停止运动．设运动的时间为（单位：s），的面积为S（单位：），则S随t变化的函数图象大致为（ ）

A. B. C. D.
【11题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】分点P在AB上运动, 0≤t≤4；点P在BC上运动, 4＜t≤7；点P在CD上运动, 7＜t≤11，分别计算即可
【详解】当点P在AB上运动时, S==6t，0≤t≤4；
当点P在BC上运动时, S==24，4＜t≤7；
点P在CD上运动, S=， 7＜t≤11，
故选D．
【点睛】本题考查了矩形中的动点面积函数图像问题，正确进行分类，清楚函数图像的性质是解题的关键．
12. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线．有下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若、（）是方程的两根，则方程的两根m、n（）满足，且．其中，正确结论的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【12题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故①错误；根据一次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2−4ac＞0，求得4ac−b2＜0，故②正确；根据对称轴为直线x＝−1得到b＝2a，当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0，于是得到c−a＜0，故③错误；当x＝−n2−2（n为实数）时，代入解析式得到y＝ax2＋bx＋c＝a（−n2−2）2＋b（−n2−2）＋c＝an2（n2＋2）＋c，于是得到y＝an2（n2＋2）＋c≥c，故④正确；⑤由方程的根得到函数与x轴的交点横坐标分
别为x1，x2(x1 < x2)，进而由方程的两根为m，n即为函数与直线y= 1的交点横坐标，得到x1与m、x2与n之间的关系.
【详解】解：由图象开口向上，可知a＞0，
与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又对称轴为直线x＝−1，所以−＜0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2−4ac＞0，
∴4ac−b2＜0，故②正确；
∵−＝−1，
∴b＝2a，
∵当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0，
∴a−2a＋c＜0，
∴c−a＜0，故③错误；
当x＝−n2−2（n为实数）时，y＝ax2＋bx＋c＝a（−n2−2）2＋b（−n2−2）＋c＝an2（n2＋2）＋c，
∵a＞0，n2≥0，n2＋2＞0，
∴y＝an2（n2＋2）＋c≥c，故④正确，
⑤∵x1，x2(x1 < x2)是方程的两根，
∴ (a > 0)与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2 (x1 ∵方程a(x- x1)(x-x2)- 1 = 0的两根为m，n，
∴函数与直线y=1的交点横坐标为m，n，
∵函数图象开口向上，
∴x1>m，x2 ∴正确的个数有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与x轴的交点坐标与方程的解之间的关系，解题的关键是熟知函数的图象与系数的关系.
二、填空题（共4小题，每题4分，共16分）
13. 已知x1、x2是一元二次方程的两根，则=___________．
【13题答案】
【答案】
【解析】
【分析】先根据根与系数的关系得出x1+x2=2，x1x2=-，再代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵x1，x2是方程2x2-4x-1=0的两实数根，
∴x1+x2==2，x1x2==-，



．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握是方程()的两根时，，．
14. 在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测倾器测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD＝10米．则河的宽度为________米(结果保留根号).


【14题答案】
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，


设CK=HB=x，
∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，
∴∠CAK=∠ACK=45°，
∴AK=CK=x，BK=HC=AK﹣AB=x﹣30，
∴HD=x﹣30+10=x﹣20，
在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∠HBD=30°，
∴，即
解得x=30+10．
∴河的宽度为（）米．
故答案为：
考点：解直角三角形的应用.
15. 如图，点A，B在反比例函数（）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为_________．

【15题答案】
【答案】8
【解析】
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，通过证得△AOM∽△BAN，即可得到关于k的方程，解方程即可求得．
【详解】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAM+∠BAN=90°，
∵∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BAN=∠AOM，
∴△AOM∽△BAN，
∴，
∵点A，B在反比例函数（k＞0）图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
∴A（2，），B（k，1），
∴OM=2，AM=，AN=-1，BN=k-2，
∴，
解得k1=2（舍去），k2=8，
∴k的值为8，
故答案为：8．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键．
16. 如图，在中，，，，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得，以EC、EF为邻边构造，连接EG，则EG的最小值为________．

【16题答案】
【答案】9．
【解析】
【分析】连接FC，作DM//FC，得△DEM∽△FEO，△DMN∽△CON，进一步得出DM=，EO=，过C作CH⊥AB于H，可求出CH=，根据题意，EG必过点N，当EN⊥CD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形，故可得EN=CH=，代入EO=求出EO即可得到结论．
【详解】解：连接FC，交EG于点O，过点D作DM//FC，交EG于点M，如图所示，

∵
∴
∵DM//FC，
∴△DEM∽△FEO，
∴，
∵DM//FC，
∴△DMN∽△CON，
∴,
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴CO=FO，
∴
∴,
∴,
过点C作CH⊥AB于点H，
在Rt△CBH，∠B=60︒，BC=8，
∴CH=BCsin60︒=4，
根据题意得，EG必过点N，当EN⊥CD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形，
∴EN=CH=4，
∴EO=,
∴EG=2EO=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
三、解答题（本大题共68分，解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明）
17. （1）解不等式组：；
（2）先化简，再求值：，其中；
【17题答案】
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可；
（2）先根据分式的混合计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：（1）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为；
（2）



，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的化简求值，分母有理化，熟知相关计算方法是解题的关键．
18. 为引导学生知史爱党、知史爱国，某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）德育处一共随机抽取了 名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？
（4）德育处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
【18题答案】
【答案】（1）40，108°；（2）见解析；（3）350名；（4）
【解析】
【分析】（1）根据良好学生数与比例可得抽取的学生人数；利用抽取总数减去各个等级的人数可得成绩“一般”的人数，然后除以抽取总人数乘以即可得；
（2）根据（1）中计算可得“一般”的学生人数为12名，补充完整条形统计图即可；
（3）用总人数乘以优秀学生在抽取学生数中的比例即可；
（4）根据列树状图方法，作出图象，然后求概率即可．
【详解】解：
（1）德育处一共随机抽取的学生人数为：（名），
则在条形统计图中，成绩“一般”的学生人数为：（名），
∴在扇形统计图中，成绩“一般”的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：40，108°；
（2）把条形统计图补充完整如下；

（3）（名），
估计该校大约有350名学生在这次竞赛中成绩优秀；
（4）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙的概率为．
【点睛】题目主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键．
19. 为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．己知每瓶B型消毒液比A型贵2元，用56元购A型消海液与72元购B型消毒液的瓶数相同．
（1）这两种消海液的单价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【19题答案】
【答案】（1）A种消毒液的单价是7元，型消毒液的单价是9元
（2）最省钱的购买方案是购进A种消毒液67瓶，购进种23瓶，此时最少费用为676元
【解析】
【分析】（1）设A种消毒液的单价是元，型消毒液的单价是元，然后根据用56元购A型消海液与72元购B型消毒液的瓶数相同，列出分式方程求解即可；
（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种消毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案．
【小问1详解】
解：设A种消毒液的单价是元，型消毒液的单价是元．
由题意得：，
解得，
经检验是原方程的解，

答：A种消毒液的单价是7元，型消毒液的单价是9元．
【小问2详解】
解：设购进A种消毒液瓶，则购进种瓶，购买费用为元．
则，
∴随着的增大而减小，最大时，有最小值．
又，
∴．
由于是整数，最大值为67，
即当时，最省钱，最少费用为元．
此时，．
∴最省钱的购买方案是购进A种消毒液67瓶，购进种23瓶，此时最少费用为676元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问题，解题的关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解．
21. 如图，在中，，以为直径的分别与交于点D，E，过点D作，垂足为点F．

（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若点E是半圆的一个三等分点，直接写出阴影部分的面积．
【21题答案】
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接OD，先证明∠CDF+∠ODB＝90°，再根据切线的判定即可证明；
（2）先证明△CFD∽△CDA，再运用相似三角形的性质可得CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC；
（3）分两种情况：当∠AOE=60°时和当∠AOE=120°时，两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠CDF+∠C＝90°，
∴∠CDF+∠ODB＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴直线DF是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：连接AD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°
∵AB＝AC，
∴DB＝DC＝，
∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，
∴∠CDF＝∠DAC，
又∵∠DFC＝∠ADC＝90°，
∴△CFD∽△CDA，
∴CD2＝CF•AC，
∴BC2＝4CF•AC；
【小问3详解】
解：如图所示，连接OE，过点O作OH⊥AE
∵点E是半圆ABD的一个三等分点，
∴∠AOE=60°或∠AOE=120°，
当∠AOE=60°时，
∵OA=OE
∴△OAE是等边三角形，∠AOH=∠EOH=30°
∵AB=8，
∴OE=OA=AE=4，
∴，
∴

；
当∠AOE=120°时，过点O作OH⊥AE于H，
∴∠AOH=∠EOH=60°，
∴，，
∴，
∴

；
综上所述，阴影部分的面积为或．

【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了解直角三角形、三角形相似、等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，求弓形面积等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
23. 2002年国际数学大会的会徽设计的基础是公园3世纪中四数学家赵爽为证明勾股定理绘制的弦图（如图1），该图蕴含着丰富的不等关系，例如，正方形的面积大于4个直角三角形的面积之和…
设直角三角形的边长为a，b，则，，即；
当时，中间小正方形收缩为一个点，此时正方形的面积每于4个直角三角形的面积之和，即，
综上所述，，当且仅当时等号成立．
使用上述结论，“，当且仅当时等号成立”解决下列问题：

（1）证明：“若a，b为正实数，则．当且仅当时等号成立”．
（2）a，b均为实数，若为定值4，则有最小值________；若为定值6，则有最大值_________．
（3）请结合函数图象（图2）研究中函数值y的取值范围．
（4）如图3，已知P是反比例函数图象上任意一动点，，，其中a是常数，，试求的最小面积（用a表示）．
【23题答案】
【答案】（1）见解析 （2）当时，的最小值为4，当时，没有最小值； 9
（3）或
（4）
【解析】
【分析】（1）利用，当且仅当时等号成立进行求解即可；
（2）利用（1）中的结论求解即可；
（3）分当时，，当时，，两种情况讨论求解即可；
（4）如图所示，过点P作PC⊥x轴于C，过点A作AB⊥x轴于B，设点P的坐标为，则点C的坐标为（x，0），点B坐标为（-1，0），然后根据建立关系式，再由（1）中结论求解即可．
【小问1详解】
解：∵，当且仅当时等号成立，
∴，
∴当且仅当即时等号成立
【小问2详解】
解：若为定值4时，
当时，∵，，
∴，
∴此时的最小值为4，
当时，∵，
∴，
∴，
∴此时没有最小值；
若为定值6，则不可能都小于0，因此要使值最大，只需要讨论当都是正数的情况即可，
当当时，∵，，
∴，
∴，
∴的最大值为9；
【小问3详解】
解：当时，，即，
当时，，即，
∴或；
【小问4详解】
解：如图所示，过点P作PC⊥x轴于C，过点A作AB⊥x轴于B，
设点P的坐标为，则点C的坐标为（x，0），点B坐标为（-1，0），
∴AB=a，BC=x+1，,OC=x，OB=1，
∴

，
∵，
∴，
∴的最小面积为

【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，不等式的性质等等，解题的关键在于能够正确读懂题意．
25. 已知抛物线经过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段上（E点不与A，B重合），且，设，，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）问的条件下，能否为等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
（4）若点P在抛物线上，且，试确定满足条件的点P的个数．
【25题答案】
【答案】（1），顶点坐标
（2）
（3）当的长为或时，为等腰三角形．
（4）当时，满足条件的点的个数有4个，当满足条件的点的个数有3个，当时，满足条件的点的个数有2个．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．
（2）先求出点B的坐标为（6，0），则AB=8，，再推出DA=DB，得到∠DAB=∠DBA，证明△BEF∽△ADE，得到，则，由此即可得到答案；
（3）可能分三种情形①当时，②当时，③当时，分别求解即可．
（3）如图2中，连接，当点在线段的右侧时，作于，连接．设，构建二次函数求出的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点和，
∴
解得
抛物线的解析式为，
顶点坐标．
【小问2详解】
解：当时，，
解得或，
∴点B的坐标为（6，0），
∴AB=8，，
∵D是抛物线的顶点，A、B关于抛物线对称轴对称，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠DEB=∠DAE+∠ADE=∠DEF+∠BEF，∠DEF=∠DAB，
∴∠BEF=∠ADE，
∴△BEF∽△ADE，
∴，
∵，
∴，
∴
【小问3详解】
可能．如图1，

，

①当时，，
，此时与重合，与条件矛盾，不成立．
②当时，
又，
，

③当时，


，

，
，
综上所述，当的长为或时，为等腰三角形．
【小问4详解】
解：如图2中，连接，当点在线段右侧时，作于，连接．设

则

时，的面积的最大值为，

当点在的右侧时，的最大值，
过点P作直线，
则当直线PQ与抛物线只有一个交点时，此时△PBD的面积最大，即此时，由函数图象可知此时在线段BD右侧有一个点满足题意，在线段BD左侧有两个点满足题意；当时，在线段BD的右侧和左侧都有2个点满足条件，
当时，满足条件的点的个数有个（此时点在的左侧）．
综上所述，当时，满足条件的点的个数有4个，当满足条件的点的个数有3个，当时，满足条件的点的个数有2个．

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．