2022年山东省滨州实验学校中考数学一模试卷（含解析）

2022年山东省滨州实验学校中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列各数：，，，，其中比小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 计算：的结果是

A.  B.  C.  D.

3. 如图是由个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是

A.
B.
C.
D.

4. 如图，已知，直线与、分别交于点、，，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

5. 不等式组的解集在数轴上可表示为

A.
B.
C.
D.

6. 若方程没有实数根，则的值可以是

A.  B.  C.  D.

7. 某班名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：

那么该班名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

8. 如图，是线段的中点，、、到点的距离相等．若，则的度数是

A.  B.  C.  D.

9. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是

A.  B.  C.  D.

10. 已知抛物线是常数，经过点，，当时，与其对应的函数值有下列结论：
    ；
    关于的方程有两个不等的实数根；
    ．
    其中，正确结论的个数是

A.  B.  C.  D.

11. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点和对角线的交点，顶点在轴上若平行四边形的面积为，则的值为

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，；；是等边三角形；，则下列结论正确的个数为

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 分解因式：______．
14. 如图，是的中线，点在上，延长交于点若，则 ______ ．

15. 计算：______．
16. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转角得到，并使点落在边上，则点所经过的路径长为______ 结果保留
     

17. 若点，在反比例函数的图象上，则 ______ 填“”或“”或“”
18. 如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为______ ．
    
    
     

三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）

19. 先化简，再求值：，其中是已知两边分别为和的三角形的第三边长，且是整数．
    
    
    
    
    
    
     
20. 超市购进某种苹果，如果进价增加元千克要用元；如果进价减少元千克，同样数量的苹果只用元．
    求苹果的进价；
    如果购进这种苹果不超过千克，就按原价购进；如果购进苹果超过千克，超过部分购进价格减少元千克，写出购进苹果的支出元与购进数量千克之间的函数关系式；
    超市一天购进苹果数量不超过千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价元千克与一天销售数量千克的关系为在的条件下，要使超市销售苹果利润元最大，求一天购进苹果数量利润销售收入购进支出
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，点是的中点，四边形是平行四边形．
    求证：四边形是平行四边形；
    如果，求证：四边形是矩形．

22. 李师傅将容量为升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程千米与行驶时间小时的关系如图所示中途休息、加油的时间不计．当油箱中剩余油量为升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为升千米，请根据图象解答下列问题：
    直接写出工厂离目的地的路程；
    求关于的函数表达式；
    当货车显示加油提醒后，问行驶时间在怎样的范围内货车应进站加油？

23. 如图，内接于，，为中点，与相交于点过作，交延长线于．
    求证：∽；
    求证：；
    延长交延长线于若，，求的长．

24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、点，为抛物线上一点，为轴上一点，连接，且，已知点，，，．
    求点坐标及抛物线的解析式；
    是上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，交于点，求的最大值；
    在的条件下，坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：，
，
其中比小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，掌握有理数大小比较法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：．
故选：．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：这个组合体的三视图如下：

故选：．
画出该组合体的三视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是得出正确答案的前提．
 

4.【答案】

【解析】

解：，，
，，
又，
，
，
故选：．
根据三角形的内角和得出的度数，再根据平行线的性质可得解答即可．
本题主要考查了平行线的性质与判定．解题的关键是掌握平行线的性质与判定的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
 

5.【答案】

【解析】

解：解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为：，在数轴上表示为：

故选：．
解出两个不等式，再表示出不等式组的解集，在数轴上正确表示出来即可选出正确答案．
本题考查一元一次不等式组的解法以及数轴上表示解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：关于的方程没有实数根，
，
解得：，
只能为，
故选：．
根据根的判别式和已知条件得出，求出不等式的解集，再得出答案即可．
本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程、、为常数，，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．
 

7.【答案】

【解析】

解：根据题意可得，参加体育锻炼时间的众数为，
因为该班有名同学，所以中位数为第和名同学时间，第名同学的时间为，第名同学的时间为，
所以中位数为．
故选：．
根据众数和中位的定义进行求解即可得出答案．
本题主要考查了众数和中位数，熟练应用众数和中位数的概念进行求解是解决本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：四边形内接于，
，即．
故选D．
根据圆内接四边形的性质即可求出的度数．
本题考查的是圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
 

9.【答案】

【解析】

解：把“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有种，
小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．正确画出树状图是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：抛物线是常数，经过点，，
，，
，
当时，与其对应的函数值．
，
，解得：，
，
，，故正确；
，，
，即，
，
，
，
关于的方程有两个不等的实数根，故正确；
，，
，
，
，
．
故正确；
故选：．
当时，，由点得，由时，与其对应的函数值可得，进而得出；
将，代入方程，根据根的判别式即可判断；
将，代入，求解后即可判断．
本题考查二次函数图象上点的特征，一元二次方程根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：如图，分别过、两点作轴的垂线，交轴于点、，
反比例函数的图象经过▱的顶点和对角线的交点，设，
，，
四边形为平行四边形，
为中点，且，
，且，
点在反比例函数图象上，
点横坐标为，
，
，
，
解得，
故选：．
分别过、两点作轴的垂线，交轴于点、，则可用表示出，利用平行四边形的性质可表示出，则可求得点横坐标，且可求得，从而可表示出四边形的面积，可求得．
本题考查了平行四边形的性质，涉及的知识点较多，注意理清解题思路，分步求解．
 

12.【答案】

【解析】

解：连接，如图，

为中点，且，
．
为中点，为的中点，
，
，为的中点，
．
．
，
．
，
，
在和中，
，
≌．
．
，
．
．
四边形是矩形，
，
．
故正确；
，，
．
故错误；
，，
为等边三角形，
故正确；
，，
．
≌，
．
．
．
，
．
故正确．
结论正确的个数为个．
故选：．
连接，利用垂直平分线的性质可得，利用三角形的中位线定理可得，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则，则，通过证明≌可得，则得，于是可得，由于，可得正确；利用，可以判定错误；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和可得，则得为等边三角形，可得正确；通过说明，可得正确．
本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的全等的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，角的直角三角形的性质，证明≌是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：，
故答案为：．
本题的多项式有三项，符合完全平方公式，可运用完全平方公式因式分解．
本题考查了运用公式法因式分解．关键是根据多项式的特点，合理地选择乘法公式．
 

14.【答案】

【解析】

解：如图，是的中线，
点是的中点，
，
过点作交于，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
故答案为：．
过点作交于，可得∽，所以，得到；再根据∽，得，所以，即．
本题考查了相似三角形的判定与性质，过点作，构造相似三角形是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：原式

，
故答案为：．
化简负整数指数幂，算术平方根，零指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后先算乘法，再算加减．
本题考查实数的混合运算，理解，，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：在中，，，，
，，
，
将绕点逆时针旋转角得到，
，
点所经过的路径长，
故答案为：
由直角三角形的性质可求，，由旋转的性质可求，由弧长公式可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，轨迹，弧长公式等知识，求出和是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】

解：，
反比例函数的图象在一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
点，同在第三象限，且，
，
故答案为．
反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，判断出的值的大小关系．
本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解决问题的关键，
 

18.【答案】

【解析】

解：连接、，作于，如图，
等边三角形的边长为，
，，
，，
为的切线，
，
在中，，
点是边上一动点，
当点运动到点时，最小，
即的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
连接、，作于，如图，根据等边三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，，由切线的性质得到，根据勾股定理得到，推出当点运动到点时，最小，于是得到结论。
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等边三角形的性质．
 

19.【答案】

解：原式



，
是已知两边分别为和的三角形的第三边长，
，即，
为整数，
、、，
由分式有意义的条件可知：、、，
，
原式．
 

【解析】

根据分式的运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及分式有意义的条件，本题属于基础题型．
 

20.【答案】

解：设苹果的进价为元千克，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的根，且符合题意，
答：苹果的进价为元千克．
解：当时，；
当时，；
．
解：当时，


，
当时，有最大值为；
当时，



，
当时，有最大值为；
，
一天购进苹果数量为千克时，超市销售苹果利润最大为元．
答：一天购进苹果数量为千克时，超市销售苹果利润最大．
 

【解析】

设苹果的进价为元千克，根据题意列出方式方程，解出即可得出结果；
根据自变量的不同取值范围：和，得出两个函数关系式即可；
根据自变量的不同取值范围：和，得出两个二次函数关系式，分别求出最大值比较后即可得出结果．
本题考查了分式方程的应用，一次函数及二次函数的应用，能够正确地根据自变量不同的取值范围，列出不同的函数关系式是解决本题的关键．
 

21.【答案】

解：证明：四边形是平行四边形，
，且．
点是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形；
证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
 

【解析】

根据平行四边形的性质得到，且，根据点是的中点，得到，等量代换得，又因为，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；
根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明．
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，属于常考题，牢记矩形的判定定理是解题的关键．
 

22.【答案】

解：由图象，得时，，
工厂离目的地的路程为千米，
答：工厂离目的地的路程为千米；
设，
将和代入得，
，
解得：，
关于的函数表达式：，
答：关于的函数表达式：；
当油箱中剩余油量为升时，
千米，
，
解得：小时，
当油箱中剩余油量为升时，
千米，
，解得：小时，
，
随的增大而减小，
的取值范围是．
 

【解析】

由图象直接求出工厂离目的地的路程；
用待定系数法求出函数解析式即可；
当油箱中剩余油量为升时和当油箱中剩余油量为升时，求出的取值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

23.【答案】

证明：为中点，
．
．
，
∽；
∽，
．
，
．
．
，
．
，
．
．
解：连接，，设与交于点，如图，

为中点，
，
，．
，
．
．
，
．
．
即．
．
，
，
．
．
，
，
，
，
．
．
设圆的半径为，则．
在中，
，
．
解得：．
．
在中，
，
．
 

【解析】

利用等弧所对的圆周角相等可得，为公共角，结论可得；
利用中的结论可得为等腰三角形，即，则；利用平行线的性质和对顶角的性质可得，结论可得；
连接，利用已知条件可以判定，利用同角的余角相等，可得；连接，设与交于点，由垂径定理可得，利用平行线的性质可得，在中，利用直角三角形的边角关系可求得，设圆的半径为，利用勾股定理列出方程，解方程即可求得圆的半径；在中，解直角三角形即可得出结论．
本题是一道圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的边角关系，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，连接圆的半径，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
 

24.【答案】

解：抛物线经过，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点，是抛物线与轴的交点，
抛物线的对称轴为，
，
，
，
将代入，解得，
抛物线的解析为；
，是上一点，
轴，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
设，则，
，
当时，的最大值为；
存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下：
，，
，
设，，
当、为菱形对角线时，，
，
解得舍或，
；
当、为菱形对角线时，，
，
解得舍或，
；
当、为菱形对角线时，，
，
解得，
；
综上所述：点的坐标为或或．
 

【解析】

由，可得，求出的值，再将点、、代入即可求解；
求出直线的解析式为，设，则，则，当时，的最大值为；
设，，分三种情况讨论：当、为菱形对角线时，，，求出；当、为菱形对角线时，，，求出；当、为菱形对角线时，，，解得．
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，菱形的对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式进行求解是解题的关键．