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2020-2021学年四川省自贡市某校初二（下）期中考试数学试卷新人教版
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2020-2021学年四川省自贡市某校初二（下）期中考试数学试卷一、选择题 1. 下列各组数是勾股数的是( ) A.2，3，4 B.0.3，0.4，0.5 C.7，24，25 D.13，14，15 2. 下列二次根式中，不能与2合并的是（ ） A.12 B.8 C.12 D.18 3. 如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离( ) A.不变 B.变小 C.变大 D.无法判断 4. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a−b|−a2−|a+b|的结果是( ) A.2a−b B.b C.a D.−2a+b 5. 给出下列命题： ①在直角三角形ABC中，已知两边长3和4，则第三边长为5； ②Rt△ABC的三边为a，b，c，则a，b，c一定满足勾股定理： a2+b2=c2， ③△ABC中，若∠A:∠B: ∠C=1:2:3，则△ABC是直角三角形； ④△ABC中，若a:b:c=1:3:2，则这个三角形是直角三角形； 其中，正确命题的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为( ) A.26 B.33 C.5 D.3 7. 已知实数a满足|2000−a|+a−2001=a，那么a−20002的值是（ ） A.1999 B.2000 C.2001 D.2002 8. 如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4，给出如下结论： ①S1+S3=S2+S4；②如果S4>S2，则S3>S1；③若S3=2S1，则S4=2S2；④若S1−S2=S3−S4，则P点一定在对角线BD上．其中正确的个数有（ ） A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题 比较大小：23________32．（填“>，<，或=”） 如果等式x+1x−2=x+1x−2成立，那么x的取值范围是________． 命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是________. 已知直角三角形的周长是2+6，斜边长2，它的面积为________． 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=________． 在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A−2,5，B−3,−1，C1,−1，若由A，B，C，D四点组成的四边形是平行四边形，则点D的坐标是________. 三、解答题 计算：(48−418)−(313−20.5)． 已知9+13与9−13的小数部分分别为a和b，求ab−3a+4b+8的值． 印度数学家什迦逻（1141年∼1225年）曾提出过“荷花问题”： “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 请用学过的数学知识回答这个问题． 等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A，B作AE⊥m于点E，BD⊥m于点D，若△AEC三边分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理． ； 如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点．求证：FM⊥DE． 工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： ①先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图(1)），使AB=CD，EF=GH； ②摆放成如图(2)的四边形，则这时窗框的形状是________形，根据数学道理是：________； ③将直角尺靠紧窗框的一个角（如图(3)），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图(4)），说明窗框合格，这时窗框是________形，根据的数学道理是：________． 如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，求△DBF的面积为多少？ 已知x+y=−5， xy=4，求 xy+yx的值. 阅读下面的内容： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半. 已知： △ABC中D，E分别是AB，AC的中点， 求证：DE//BC且DE=12BC. 证明：过点C作AB的平行线交DE的延长线于点F， ∵ CF//AD ， ∴ ∠A=∠ACF， ∠ADE=∠F， 又∵ AE=EC， ∴ △ADE≅△CFE， ∴ CF=AD，EF=DE=12DF， ∴ AD=DB ， ∴ CF=BD， 又∵ CF//BD， ∴ 四边形BCDF是平行四边形， ∴ DF//BC并且DF=BC， ∴ DE//BC且DE=12BC. 类似的，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线，如图，梯形ABCD中AD//BC，E，F分别是腰AB，CD的中点，EF就是梯形中位线． 梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半． 请参考三角形中位线定理来证明梯形的中位线性质． 已知：如图，梯形ABCD中AD//BC，E，F分别是腰AB，CD的中点. 求证：________. 证明： 已知：在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF． (1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC−CD． (2)如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE，DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由． 参考答案与试题解析2020-2021学年四川省自贡市某校初二（下）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】勾股数【解析】根据勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数进行分析即可．【解答】解：A，22+32≠42，故该组数据不是勾股数，故此选项错误； B，0.3，0.4，0.5均不是正整数，故该组数据不是勾股数，故此选项错误； C，72+242=252，故该组数据是勾股数，故此选项正确； D， 13，14，15均不是正整数，故该组数据不是勾股数，故此选项错误. 故选C.2.【答案】C【考点】同类二次根式【解析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可．【解答】解：A、12=22，能与2合并； B、8=22，能与2合并； C、12=23，不能与2合并； D、18=32，能与2合并. 故选C．3.【答案】A【考点】直角三角形斜边上的中线【解析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=12AB＝a，即可得出答案．【解答】解：连接OP， ∵ ∠AOB=90∘，P为AB中点，AB=2a， ∴ OP=12AB=a， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a. 故选A.4.【答案】C【考点】在数轴上表示实数二次根式的性质与化简【解析】由数轴可知a>0，b<0，|b|>a，利用绝对值的定义计算．【解答】解：由数轴可知a>0，b<0，|b|>a， ∴ |a−b|−a2−|a+b| =a−b−a−[−(a+b)]=a． 故选C.5.【答案】B【考点】勾股定理的逆定理勾股定理真命题，假命题三角形内角和定理【解析】根据勾股定理、三角形内角和定理、勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4， 则第三边长为5或7，故①是假命题； 若三角形的三边a ，b，c满足a2+b2=c2， 则△ABC是∠C为直角的直角三角形，故②是假命题； △ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3， 则∠C=180∘×31+2+3=90∘， 则△ABC是直角三角形，故③是真命题； △ABC中，若a:b:c=1:3:2， 则a2+b2=4=c2， 则这个三角形是直角三角形，故④是真命题， 综上，正确命题的个数为2. 故选B．6.【答案】A【考点】全等三角形的性质与判定翻折变换（折叠问题）矩形的性质勾股定理【解析】 【解答】解：连接EF， 由折叠的性质得：∠EGB=∠A=90∘， ∴ ∠EGF=∠D=90∘， ∵ E是AD的中点， ∴ ED=AE=EG， 又EF=EF， ∴ Rt△EGF≅Rt△EDF(HL)， ∴ ∠GEF=∠DEF， 又∠AEB=∠GEB， ∴ ∠BEF=12∠AEG+12∠DEG=90∘， ∴ BE2+EF2=BF2.① 在Rt△AEB中，AE2+AB2=BE2，② 在Rt△DEF中，ED2+DF2=EF2，③ 在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，④ 又CF=1，FD=2， 结合①②③④可得， AE2+9+ED2+4=BC2+1， 整理得，2AE2=12，解得AE=6， ∴ BC=2AE=26. 故选A.7.【答案】C【考点】二次根式有意义的条件绝对值【解析】先根据二次根式有意义的条件求出a的取值范围，依此计算绝对值，从而求得a−20002的值．【解答】解：∵ a−2001≥0， ∴ a≥2001， 则原式可化简为：a−2000+a−2001=a， 即：a−2001=2000， ∴ a−2001=20002， ∴ a−20002=2001． 选C．8.【答案】B【考点】平行四边形的性质【解析】根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，AD=BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①正确；根据三角形的面积公式即可判断②③错误；根据已知进行变形，求出S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=12S平行四边形ABCD，即可判断④．【解答】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，AD=BC， 设点P到AB，BC，CD，DA的距离分别为h1，h2，h3，h4， 则S1=12ABh1，S2=12BCh2，S3=12CDh3，S4=12ADh4， ∵ 12ABh1+12CDh3=12AB⋅hAB， 12BCh2+12ADh4=12BC⋅hBC， 又∵ S平行四边形ABCD=AB⋅hAB=BC⋅hBC， ∴ S2+S4=S1+S3，故①正确； 根据S4>S2，只能判断h4>h2， 不能判断h3>h1，即不能得出S3>S1，故②错误； 根据S3=2S1，能得出h3=2h1， 不能推出h4=2h2，即不能推出S4=2S2，故③错误； ∵ S1−S2=S3−S4， ∴ S1+S4=S2+S3=12S平行四边形ABCD， 此时S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=12S平行四边形ABCD， 即P点一定在对角线BD上，故④正确. 故选B．二、填空题【答案】< 【考点】实数大小比较【解析】先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解．【解答】解：∵ (23)2=12，(32)2=18， 而12<18， ∴ 23<32． 故答案为：<.【答案】x>2【考点】二次根式有意义的条件【解析】直接利用二次根式的性质得出关于x的不等式组，进而求出出答案．【解答】解：∵ 等式x+1x−2=x+1x−2成立， ∴ x+1≥0，x−2>0， 解得：x>2． 故答案为：x>2．【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形【考点】原命题与逆命题、原定理与逆定理【解析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”． 故答案为：两个角相等的三角形是等腰三角形.【答案】12【考点】勾股定理【解析】可设两直角边分别为a、b，斜边为c，则根据边长关系即可求得面积．【解答】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c， ∵ 直角三角形的周长是2+6，斜边长2， ∴ a+b+c=2+6，a+b=6， 又∵ c2=a2+b2=4， ∴ ab=1， ∴ S=12ab=12． 故答案为：12．【答案】4【考点】正方形的性质勾股定理全等三角形的判定全等三角形的性质【解析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．【解答】解：如图所示： 观察发现， ∵ AB=BE，∠ACB=∠BDE=90∘， ∴ ∠ABC+∠BAC=90∘，∠ABC+∠EBD=90∘， ∴ ∠BAC=∠EBD， ∴ △ABC≅△BED(AAS)， ∴ BC=ED， ∵ AB2=AC2+BC2， ∴ AB2=AC2+ED2=S1+S2， 即S1+S2=1， 同理S3+S4=3． 则S1+S2+S3+S4=1+3=4． 故答案为：4．【答案】−6,5或2,5或0,−7【考点】坐标与图形性质平行四边形的性质【解析】画出图形即可解决问题，满足条件的点D有三个；【解答】解：如图所示， 则满足条件的点D有三个，坐标分别为−6,5，2,5，0,−7． 故答案为：−6,5或2,5或0,−7．三、解答题【答案】解：原式=(43−4×24)−(3×33−2×22) =(43−2)−(3−2) =43−2−3+2 =33．【考点】二次根式的混合运算【解析】先将二次根式化为最简，然后去括号合并同类二次根式即可得出答案．【解答】解：原式=(43−4×24)−(3×33−2×22) =(43−2)−(3−2) =43−2−3+2 =33．【答案】解：∵ 3<13<4， ∴ 9+13的小数部分为： a=9+13−12=13−3， 9−13的小数部分为： b=9−13−5=4−13， ∴ ab−3a+4b+8 =a(b−3)+4b+8 =(13−3)(1−13)+16−413+8 =13−13−3+313+24−413=8．【考点】估算无理数的大小【解析】根据13的整数部分为3判断出所给数的小数部分，代入所给代数式求解即可．【解答】解：∵ 3<13<4， ∴ 9+13的小数部分为： a=9+13−12=13−3， 9−13的小数部分为： b=9−13−5=4−13， ∴ ab−3a+4b+8 =a(b−3)+4b+8 =(13−3)(1−13)+16−413+8 =13−13−3+313+24−413=8．【答案】解：设湖水深为x尺，则红莲总长为(x+0.5)尺， 根据题意，得：x2+22=(x+0.5)2， 解得x=3.75， 即湖水深3.75尺．【考点】勾股定理的应用【解析】红莲在水中的长度，花离原位的长度和花的总长可构成直角三角形，设出湖水的深度为x，根据勾股定理列出方程可求出．【解答】解：设湖水深为x尺，则红莲总长为(x+0.5)尺， 根据题意，得：x2+22=(x+0.5)2， 解得x=3.75， 即湖水深3.75尺．【答案】解：∵ ∠ACB=90∘， ∴ ∠ACE+∠BCD=90∘． ∵ ∠ACE+∠CAE=90∘， ∴ ∠CAE=∠BCD． 在△AEC与△CDB中， ∠CEA=∠BDC，∠CAE=∠BCD，AC=CB， ∴ △AEC≅△CDB(AAS)． ∴ EC=BD， 则BD=CE=a，AE=CD=b， ∴ S梯形AEDB=12a+ba+b =12a2+ab+12b2． 又∵ S梯形AEDB=S△AEC +S△BCD +S△ABC =12ab+12ab+12c2 =ab+12c2． ∴ 12a2+ab+12b2=ab+12c2． 整理，得a2+b2=c2．【考点】全等三角形的性质与判定等腰直角三角形勾股定理的证明【解析】①通过AAS证得△CAE≅△BCD，根据全等三角形的对应边相等证得结论； ②利用等面积法证得勾股定理．【解答】解：∵ ∠ACB=90∘， ∴ ∠ACE+∠BCD=90∘． ∵ ∠ACE+∠CAE=90∘， ∴ ∠CAE=∠BCD． 在△AEC与△CDB中， ∠CEA=∠BDC，∠CAE=∠BCD，AC=CB， ∴ △AEC≅△CDB(AAS)． ∴ EC=BD， 则BD=CE=a，AE=CD=b， ∴ S梯形AEDB=12a+ba+b =12a2+ab+12b2． 又∵ S梯形AEDB=S△AEC +S△BCD +S△ABC =12ab+12ab+12c2 =ab+12c2． ∴ 12a2+ab+12b2=ab+12c2． 整理，得a2+b2=c2．【答案】证明：连接MD、ME． ∵ BD是△ABC的高，M为BC的中点， ∴ 在Rt△CBD中，MD=12BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 同理可得ME=12BC， ∴ MD=ME， ∵ F是DE的中点， ∴ FM⊥DE．（等腰三角形三线合一）【考点】等腰三角形的性质：三线合一直角三角形斜边上的中线【解析】连接MD、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=12BC=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论．【解答】证明：连接MD、ME． ∵ BD是△ABC的高，M为BC的中点， ∴ 在Rt△CBD中，MD=12BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 同理可得ME=12BC， ∴ MD=ME， ∵ F是DE的中点， ∴ FM⊥DE．（等腰三角形三线合一）【答案】平行四边,两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ,矩 ,有一个角是直角的平行四边形是矩形 【考点】平行四边形的判定矩形的判定与性质【解析】已知两组线段相等了，如图组成的图形依据平行四边形的判定可知是平行四边形，在调整过程中，一个角为直角时，根据矩形的定义可进行判定．【解答】解：②由题意得，AB=CD，EF=GH， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 可得窗框的形状是平行四边形. ③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形， 可得窗框的形状是矩形. 故答案为：平行四边；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；矩；有一个角是直角的平行四边形是矩形.【答案】解：设正方形CEFH的边长为a，根据题意得： S△BDF=S正方形ABCD+S正方形CEFH−S△ABD−S△DHF−S△BEF =4+a2−12×2×2−12a(a−2)−12a(a+2) =2+a2−12a2+a−12a2−a =2．【考点】正方形的性质【解析】设正方形CEFH边长为a，根据S△BDF＝S正方形ABCD+S正方形CEFH−S△ABD−S△DHF−S△BEF求解即可．【解答】解：设正方形CEFH的边长为a，根据题意得： S△BDF=S正方形ABCD+S正方形CEFH−S△ABD−S△DHF−S△BEF =4+a2−12×2×2−12a(a−2)−12a(a+2) =2+a2−12a2+a−12a2−a =2．【答案】解：∵ x+y=−5且xy=4， ∴ x<0，y<0， ∴ xy+yx =x2xy+y2xy =x2+y2xy =−x−yxy =−x+yxy =52=2.5.【考点】二次根式的混合运算二次根式的化简求值【解析】暂无【解答】解：∵ x+y=−5且xy=4， ∴ x<0，y<0， ∴ xy+yx =x2xy+y2xy =x2+y2xy =−x−yxy =−x+yxy =52=2.5.【答案】求证：EF//BC//AD且EF=12AD+BC. 证明：连接AF并延长AF交BC的延长线交于点G， ∵ E，F分别是AB，CD的中点， ∴ EF//BC，EF=12BG，DF=CF， ∵ AD//BC， ∴ AD//BG，则EF//BC//AD， ∴ ∠D=∠GCF，∠DAF=∠CGF， 在△ADF和△GCF中， ∠D=∠GCF,∠DAF=∠CGF,DF=CF, ∴ △ADF≅△GCFAAS， ∴ AD=CG， ∴ EF=12BG=12CG+BC =12AD+BC.【考点】全等三角形的性质与判定三角形中位线定理【解析】利用三角形中位线定理证明方法进行证明即可.【解答】求证：EF//BC//AD且EF=12AD+BC. 证明：连接AF并延长AF交BC的延长线交于点G， ∵ E，F分别是AB，CD的中点， ∴ EF//BC，EF=12BG，DF=CF， ∵ AD//BC， ∴ AD//BG，则EF//BC//AD， ∴ ∠D=∠GCF，∠DAF=∠CGF， 在△ADF和△GCF中， ∠D=∠GCF,∠DAF=∠CGF,DF=CF, ∴ △ADF≅△GCFAAS， ∴ AD=CG， ∴ EF=12BG=12CG+BC =12AD+BC.【答案】(1)证明：①∵ ∠BAC=90∘，AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB=45∘. ∵ 四边形ADEF是正方形， ∴ AD=AF，∠DAF=90∘. ∵ ∠BAC=∠BAD+∠DAC=90∘， ∠DAF=∠CAF+∠DAC=90∘， ∴ ∠BAD=∠CAF. 在△BAD和△CAF中， AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF, ∴ △BAD≅△CAF(SAS)， ∴ ∠ACF=∠ABD=45∘， ∴ ∠ACF+∠ACB=90∘， ∴ BD⊥CF； ②由①△BAD≅△CAF可得BD=CF， ∵ BD=BC−CD， ∴ CF=BC−CD.(2)解：①与(1)同理可得，△BAD≅△CAF， ∴ BD=CF， ∴ CF=CD−BC； ②△AOC是等腰三角形，理由如下： ∵ ∠BAC=90∘，AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB=45∘， 则∠ABD=180∘−45∘=135∘. ∵ 四边形ADEF是正方形， ∴ AD=AF，∠DAF=90∘. ∵ ∠BAC=∠BAF+∠CAF=90∘， ∠DAF=∠BAD+∠BAF=90∘， ∴ ∠BAD=∠CAF， 在△BAD和△CAF中， AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF, ∴ △BAD≅△CAF(SAS)， ∴ ∠ACF=∠ABD=180∘−45∘=135∘， ∴ ∠FCD=∠ACF−∠ACB=90∘， 则△FCD为直角三角形. ∵ 正方形ADEF中，O为DF中点， ∴ OC=12DF. ∵ 在正方形ADEF中，OA=12AE，AE=DF， ∴ OC=OA， ∴ △AOC是等腰三角形．【考点】正方形的性质等腰直角三角形全等三角形的性质与判定直角三角形斜边上的中线等腰三角形的判定【解析】(1)①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45∘，再根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90∘，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB=90∘，从而得证；②根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，从而求出CF=BC−CD；【解答】(1)证明：①∵ ∠BAC=90∘，AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB=45∘. ∵ 四边形ADEF是正方形， ∴ AD=AF，∠DAF=90∘. ∵ ∠BAC=∠BAD+∠DAC=90∘， ∠DAF=∠CAF+∠DAC=90∘， ∴ ∠BAD=∠CAF. 在△BAD和△CAF中， AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF, ∴ △BAD≅△CAF(SAS)， ∴ ∠ACF=∠ABD=45∘， ∴ ∠ACF+∠ACB=90∘， ∴ BD⊥CF； ②由①△BAD≅△CAF可得BD=CF， ∵ BD=BC−CD， ∴ CF=BC−CD.(2)解：①与(1)同理可得，△BAD≅△CAF， ∴ BD=CF， ∴ CF=CD−BC； ②△AOC是等腰三角形，理由如下： ∵ ∠BAC=90∘，AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB=45∘， 则∠ABD=180∘−45∘=135∘. ∵ 四边形ADEF是正方形， ∴ AD=AF，∠DAF=90∘. ∵ ∠BAC=∠BAF+∠CAF=90∘， ∠DAF=∠BAD+∠BAF=90∘， ∴ ∠BAD=∠CAF， 在△BAD和△CAF中， AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF, ∴ △BAD≅△CAF(SAS)， ∴ ∠ACF=∠ABD=180∘−45∘=135∘， ∴ ∠FCD=∠ACF−∠ACB=90∘， 则△FCD为直角三角形. ∵ 正方形ADEF中，O为DF中点， ∴ OC=12DF. ∵ 在正方形ADEF中，OA=12AE，AE=DF， ∴ OC=OA， ∴ △AOC是等腰三角形．
2020-2021学年四川省自贡市某校初二（下）期中考试数学试卷一、选择题 1. 下列各组数是勾股数的是( ) A.2，3，4 B.0.3，0.4，0.5 C.7，24，25 D.13，14，15 2. 下列二次根式中，不能与2合并的是（ ） A.12 B.8 C.12 D.18 3. 如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离( ) A.不变 B.变小 C.变大 D.无法判断 4. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a−b|−a2−|a+b|的结果是( ) A.2a−b B.b C.a D.−2a+b 5. 给出下列命题： ①在直角三角形ABC中，已知两边长3和4，则第三边长为5； ②Rt△ABC的三边为a，b，c，则a，b，c一定满足勾股定理： a2+b2=c2， ③△ABC中，若∠A:∠B: ∠C=1:2:3，则△ABC是直角三角形； ④△ABC中，若a:b:c=1:3:2，则这个三角形是直角三角形； 其中，正确命题的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为( ) A.26 B.33 C.5 D.3 7. 已知实数a满足|2000−a|+a−2001=a，那么a−20002的值是（ ） A.1999 B.2000 C.2001 D.2002 8. 如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4，给出如下结论： ①S1+S3=S2+S4；②如果S4>S2，则S3>S1；③若S3=2S1，则S4=2S2；④若S1−S2=S3−S4，则P点一定在对角线BD上．其中正确的个数有（ ） A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题 比较大小：23________32．（填“>，<，或=”） 如果等式x+1x−2=x+1x−2成立，那么x的取值范围是________． 命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是________. 已知直角三角形的周长是2+6，斜边长2，它的面积为________． 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=________． 在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A−2,5，B−3,−1，C1,−1，若由A，B，C，D四点组成的四边形是平行四边形，则点D的坐标是________. 三、解答题 计算：(48−418)−(313−20.5)． 已知9+13与9−13的小数部分分别为a和b，求ab−3a+4b+8的值． 印度数学家什迦逻（1141年∼1225年）曾提出过“荷花问题”： “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 请用学过的数学知识回答这个问题． 等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A，B作AE⊥m于点E，BD⊥m于点D，若△AEC三边分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理． ； 如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点．求证：FM⊥DE． 工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： ①先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图(1)），使AB=CD，EF=GH； ②摆放成如图(2)的四边形，则这时窗框的形状是________形，根据数学道理是：________； ③将直角尺靠紧窗框的一个角（如图(3)），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图(4)），说明窗框合格，这时窗框是________形，根据的数学道理是：________． 如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，求△DBF的面积为多少？ 已知x+y=−5， xy=4，求 xy+yx的值. 阅读下面的内容： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半. 已知： △ABC中D，E分别是AB，AC的中点， 求证：DE//BC且DE=12BC. 证明：过点C作AB的平行线交DE的延长线于点F， ∵ CF//AD ， ∴ ∠A=∠ACF， ∠ADE=∠F， 又∵ AE=EC， ∴ △ADE≅△CFE， ∴ CF=AD，EF=DE=12DF， ∴ AD=DB ， ∴ CF=BD， 又∵ CF//BD， ∴ 四边形BCDF是平行四边形， ∴ DF//BC并且DF=BC， ∴ DE//BC且DE=12BC. 类似的，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线，如图，梯形ABCD中AD//BC，E，F分别是腰AB，CD的中点，EF就是梯形中位线． 梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半． 请参考三角形中位线定理来证明梯形的中位线性质． 已知：如图，梯形ABCD中AD//BC，E，F分别是腰AB，CD的中点. 求证：________. 证明： 已知：在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF． (1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC−CD． (2)如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE，DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由． 参考答案与试题解析2020-2021学年四川省自贡市某校初二（下）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】勾股数【解析】根据勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数进行分析即可．【解答】解：A，22+32≠42，故该组数据不是勾股数，故此选项错误； B，0.3，0.4，0.5均不是正整数，故该组数据不是勾股数，故此选项错误； C，72+242=252，故该组数据是勾股数，故此选项正确； D， 13，14，15均不是正整数，故该组数据不是勾股数，故此选项错误. 故选C.2.【答案】C【考点】同类二次根式【解析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可．【解答】解：A、12=22，能与2合并； B、8=22，能与2合并； C、12=23，不能与2合并； D、18=32，能与2合并. 故选C．3.【答案】A【考点】直角三角形斜边上的中线【解析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=12AB＝a，即可得出答案．【解答】解：连接OP， ∵ ∠AOB=90∘，P为AB中点，AB=2a， ∴ OP=12AB=a， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a. 故选A.4.【答案】C【考点】在数轴上表示实数二次根式的性质与化简【解析】由数轴可知a>0，b<0，|b|>a，利用绝对值的定义计算．【解答】解：由数轴可知a>0，b<0，|b|>a， ∴ |a−b|−a2−|a+b| =a−b−a−[−(a+b)]=a． 故选C.5.【答案】B【考点】勾股定理的逆定理勾股定理真命题，假命题三角形内角和定理【解析】根据勾股定理、三角形内角和定理、勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4， 则第三边长为5或7，故①是假命题； 若三角形的三边a ，b，c满足a2+b2=c2， 则△ABC是∠C为直角的直角三角形，故②是假命题； △ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3， 则∠C=180∘×31+2+3=90∘， 则△ABC是直角三角形，故③是真命题； △ABC中，若a:b:c=1:3:2， 则a2+b2=4=c2， 则这个三角形是直角三角形，故④是真命题， 综上，正确命题的个数为2. 故选B．6.【答案】A【考点】全等三角形的性质与判定翻折变换（折叠问题）矩形的性质勾股定理【解析】 【解答】解：连接EF， 由折叠的性质得：∠EGB=∠A=90∘， ∴ ∠EGF=∠D=90∘， ∵ E是AD的中点， ∴ ED=AE=EG， 又EF=EF， ∴ Rt△EGF≅Rt△EDF(HL)， ∴ ∠GEF=∠DEF， 又∠AEB=∠GEB， ∴ ∠BEF=12∠AEG+12∠DEG=90∘， ∴ BE2+EF2=BF2.① 在Rt△AEB中，AE2+AB2=BE2，② 在Rt△DEF中，ED2+DF2=EF2，③ 在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，④ 又CF=1，FD=2， 结合①②③④可得， AE2+9+ED2+4=BC2+1， 整理得，2AE2=12，解得AE=6， ∴ BC=2AE=26. 故选A.7.【答案】C【考点】二次根式有意义的条件绝对值【解析】先根据二次根式有意义的条件求出a的取值范围，依此计算绝对值，从而求得a−20002的值．【解答】解：∵ a−2001≥0， ∴ a≥2001， 则原式可化简为：a−2000+a−2001=a， 即：a−2001=2000， ∴ a−2001=20002， ∴ a−20002=2001． 选C．8.【答案】B【考点】平行四边形的性质【解析】根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，AD=BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①正确；根据三角形的面积公式即可判断②③错误；根据已知进行变形，求出S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=12S平行四边形ABCD，即可判断④．【解答】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，AD=BC， 设点P到AB，BC，CD，DA的距离分别为h1，h2，h3，h4， 则S1=12ABh1，S2=12BCh2，S3=12CDh3，S4=12ADh4， ∵ 12ABh1+12CDh3=12AB⋅hAB， 12BCh2+12ADh4=12BC⋅hBC， 又∵ S平行四边形ABCD=AB⋅hAB=BC⋅hBC， ∴ S2+S4=S1+S3，故①正确； 根据S4>S2，只能判断h4>h2， 不能判断h3>h1，即不能得出S3>S1，故②错误； 根据S3=2S1，能得出h3=2h1， 不能推出h4=2h2，即不能推出S4=2S2，故③错误； ∵ S1−S2=S3−S4， ∴ S1+S4=S2+S3=12S平行四边形ABCD， 此时S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=12S平行四边形ABCD， 即P点一定在对角线BD上，故④正确. 故选B．二、填空题【答案】< 【考点】实数大小比较【解析】先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解．【解答】解：∵ (23)2=12，(32)2=18， 而12<18， ∴ 23<32． 故答案为：<.【答案】x>2【考点】二次根式有意义的条件【解析】直接利用二次根式的性质得出关于x的不等式组，进而求出出答案．【解答】解：∵ 等式x+1x−2=x+1x−2成立， ∴ x+1≥0，x−2>0， 解得：x>2． 故答案为：x>2．【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形【考点】原命题与逆命题、原定理与逆定理【解析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”． 故答案为：两个角相等的三角形是等腰三角形.【答案】12【考点】勾股定理【解析】可设两直角边分别为a、b，斜边为c，则根据边长关系即可求得面积．【解答】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c， ∵ 直角三角形的周长是2+6，斜边长2， ∴ a+b+c=2+6，a+b=6， 又∵ c2=a2+b2=4， ∴ ab=1， ∴ S=12ab=12． 故答案为：12．【答案】4【考点】正方形的性质勾股定理全等三角形的判定全等三角形的性质【解析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．【解答】解：如图所示： 观察发现， ∵ AB=BE，∠ACB=∠BDE=90∘， ∴ ∠ABC+∠BAC=90∘，∠ABC+∠EBD=90∘， ∴ ∠BAC=∠EBD， ∴ △ABC≅△BED(AAS)， ∴ BC=ED， ∵ AB2=AC2+BC2， ∴ AB2=AC2+ED2=S1+S2， 即S1+S2=1， 同理S3+S4=3． 则S1+S2+S3+S4=1+3=4． 故答案为：4．【答案】−6,5或2,5或0,−7【考点】坐标与图形性质平行四边形的性质【解析】画出图形即可解决问题，满足条件的点D有三个；【解答】解：如图所示， 则满足条件的点D有三个，坐标分别为−6,5，2,5，0,−7． 故答案为：−6,5或2,5或0,−7．三、解答题【答案】解：原式=(43−4×24)−(3×33−2×22) =(43−2)−(3−2) =43−2−3+2 =33．【考点】二次根式的混合运算【解析】先将二次根式化为最简，然后去括号合并同类二次根式即可得出答案．【解答】解：原式=(43−4×24)−(3×33−2×22) =(43−2)−(3−2) =43−2−3+2 =33．【答案】解：∵ 3<13<4， ∴ 9+13的小数部分为： a=9+13−12=13−3， 9−13的小数部分为： b=9−13−5=4−13， ∴ ab−3a+4b+8 =a(b−3)+4b+8 =(13−3)(1−13)+16−413+8 =13−13−3+313+24−413=8．【考点】估算无理数的大小【解析】根据13的整数部分为3判断出所给数的小数部分，代入所给代数式求解即可．【解答】解：∵ 3<13<4， ∴ 9+13的小数部分为： a=9+13−12=13−3， 9−13的小数部分为： b=9−13−5=4−13， ∴ ab−3a+4b+8 =a(b−3)+4b+8 =(13−3)(1−13)+16−413+8 =13−13−3+313+24−413=8．【答案】解：设湖水深为x尺，则红莲总长为(x+0.5)尺， 根据题意，得：x2+22=(x+0.5)2， 解得x=3.75， 即湖水深3.75尺．【考点】勾股定理的应用【解析】红莲在水中的长度，花离原位的长度和花的总长可构成直角三角形，设出湖水的深度为x，根据勾股定理列出方程可求出．【解答】解：设湖水深为x尺，则红莲总长为(x+0.5)尺， 根据题意，得：x2+22=(x+0.5)2， 解得x=3.75， 即湖水深3.75尺．【答案】解：∵ ∠ACB=90∘， ∴ ∠ACE+∠BCD=90∘． ∵ ∠ACE+∠CAE=90∘， ∴ ∠CAE=∠BCD． 在△AEC与△CDB中， ∠CEA=∠BDC，∠CAE=∠BCD，AC=CB， ∴ △AEC≅△CDB(AAS)． ∴ EC=BD， 则BD=CE=a，AE=CD=b， ∴ S梯形AEDB=12a+ba+b =12a2+ab+12b2． 又∵ S梯形AEDB=S△AEC +S△BCD +S△ABC =12ab+12ab+12c2 =ab+12c2． ∴ 12a2+ab+12b2=ab+12c2． 整理，得a2+b2=c2．【考点】全等三角形的性质与判定等腰直角三角形勾股定理的证明【解析】①通过AAS证得△CAE≅△BCD，根据全等三角形的对应边相等证得结论； ②利用等面积法证得勾股定理．【解答】解：∵ ∠ACB=90∘， ∴ ∠ACE+∠BCD=90∘． ∵ ∠ACE+∠CAE=90∘， ∴ ∠CAE=∠BCD． 在△AEC与△CDB中， ∠CEA=∠BDC，∠CAE=∠BCD，AC=CB， ∴ △AEC≅△CDB(AAS)． ∴ EC=BD， 则BD=CE=a，AE=CD=b， ∴ S梯形AEDB=12a+ba+b =12a2+ab+12b2． 又∵ S梯形AEDB=S△AEC +S△BCD +S△ABC =12ab+12ab+12c2 =ab+12c2． ∴ 12a2+ab+12b2=ab+12c2． 整理，得a2+b2=c2．【答案】证明：连接MD、ME． ∵ BD是△ABC的高，M为BC的中点， ∴ 在Rt△CBD中，MD=12BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 同理可得ME=12BC， ∴ MD=ME， ∵ F是DE的中点， ∴ FM⊥DE．（等腰三角形三线合一）【考点】等腰三角形的性质：三线合一直角三角形斜边上的中线【解析】连接MD、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=12BC=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论．【解答】证明：连接MD、ME． ∵ BD是△ABC的高，M为BC的中点， ∴ 在Rt△CBD中，MD=12BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 同理可得ME=12BC， ∴ MD=ME， ∵ F是DE的中点， ∴ FM⊥DE．（等腰三角形三线合一）【答案】平行四边,两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ,矩 ,有一个角是直角的平行四边形是矩形 【考点】平行四边形的判定矩形的判定与性质【解析】已知两组线段相等了，如图组成的图形依据平行四边形的判定可知是平行四边形，在调整过程中，一个角为直角时，根据矩形的定义可进行判定．【解答】解：②由题意得，AB=CD，EF=GH， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 可得窗框的形状是平行四边形. ③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形， 可得窗框的形状是矩形. 故答案为：平行四边；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；矩；有一个角是直角的平行四边形是矩形.【答案】解：设正方形CEFH的边长为a，根据题意得： S△BDF=S正方形ABCD+S正方形CEFH−S△ABD−S△DHF−S△BEF =4+a2−12×2×2−12a(a−2)−12a(a+2) =2+a2−12a2+a−12a2−a =2．【考点】正方形的性质【解析】设正方形CEFH边长为a，根据S△BDF＝S正方形ABCD+S正方形CEFH−S△ABD−S△DHF−S△BEF求解即可．【解答】解：设正方形CEFH的边长为a，根据题意得： S△BDF=S正方形ABCD+S正方形CEFH−S△ABD−S△DHF−S△BEF =4+a2−12×2×2−12a(a−2)−12a(a+2) =2+a2−12a2+a−12a2−a =2．【答案】解：∵ x+y=−5且xy=4， ∴ x<0，y<0， ∴ xy+yx =x2xy+y2xy =x2+y2xy =−x−yxy =−x+yxy =52=2.5.【考点】二次根式的混合运算二次根式的化简求值【解析】暂无【解答】解：∵ x+y=−5且xy=4， ∴ x<0，y<0， ∴ xy+yx =x2xy+y2xy =x2+y2xy =−x−yxy =−x+yxy =52=2.5.【答案】求证：EF//BC//AD且EF=12AD+BC. 证明：连接AF并延长AF交BC的延长线交于点G， ∵ E，F分别是AB，CD的中点， ∴ EF//BC，EF=12BG，DF=CF， ∵ AD//BC， ∴ AD//BG，则EF//BC//AD， ∴ ∠D=∠GCF，∠DAF=∠CGF， 在△ADF和△GCF中， ∠D=∠GCF,∠DAF=∠CGF,DF=CF, ∴ △ADF≅△GCFAAS， ∴ AD=CG， ∴ EF=12BG=12CG+BC =12AD+BC.【考点】全等三角形的性质与判定三角形中位线定理【解析】利用三角形中位线定理证明方法进行证明即可.【解答】求证：EF//BC//AD且EF=12AD+BC. 证明：连接AF并延长AF交BC的延长线交于点G， ∵ E，F分别是AB，CD的中点， ∴ EF//BC，EF=12BG，DF=CF， ∵ AD//BC， ∴ AD//BG，则EF//BC//AD， ∴ ∠D=∠GCF，∠DAF=∠CGF， 在△ADF和△GCF中， ∠D=∠GCF,∠DAF=∠CGF,DF=CF, ∴ △ADF≅△GCFAAS， ∴ AD=CG， ∴ EF=12BG=12CG+BC =12AD+BC.【答案】(1)证明：①∵ ∠BAC=90∘，AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB=45∘. ∵ 四边形ADEF是正方形， ∴ AD=AF，∠DAF=90∘. ∵ ∠BAC=∠BAD+∠DAC=90∘， ∠DAF=∠CAF+∠DAC=90∘， ∴ ∠BAD=∠CAF. 在△BAD和△CAF中， AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF, ∴ △BAD≅△CAF(SAS)， ∴ ∠ACF=∠ABD=45∘， ∴ ∠ACF+∠ACB=90∘， ∴ BD⊥CF； ②由①△BAD≅△CAF可得BD=CF， ∵ BD=BC−CD， ∴ CF=BC−CD.(2)解：①与(1)同理可得，△BAD≅△CAF， ∴ BD=CF， ∴ CF=CD−BC； ②△AOC是等腰三角形，理由如下： ∵ ∠BAC=90∘，AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB=45∘， 则∠ABD=180∘−45∘=135∘. ∵ 四边形ADEF是正方形， ∴ AD=AF，∠DAF=90∘. ∵ ∠BAC=∠BAF+∠CAF=90∘， ∠DAF=∠BAD+∠BAF=90∘， ∴ ∠BAD=∠CAF， 在△BAD和△CAF中， AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF, ∴ △BAD≅△CAF(SAS)， ∴ ∠ACF=∠ABD=180∘−45∘=135∘， ∴ ∠FCD=∠ACF−∠ACB=90∘， 则△FCD为直角三角形. ∵ 正方形ADEF中，O为DF中点， ∴ OC=12DF. ∵ 在正方形ADEF中，OA=12AE，AE=DF， ∴ OC=OA， ∴ △AOC是等腰三角形．【考点】正方形的性质等腰直角三角形全等三角形的性质与判定直角三角形斜边上的中线等腰三角形的判定【解析】(1)①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45∘，再根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90∘，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB=90∘，从而得证；②根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，从而求出CF=BC−CD；【解答】(1)证明：①∵ ∠BAC=90∘，AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB=45∘. ∵ 四边形ADEF是正方形， ∴ AD=AF，∠DAF=90∘. ∵ ∠BAC=∠BAD+∠DAC=90∘， ∠DAF=∠CAF+∠DAC=90∘， ∴ ∠BAD=∠CAF. 在△BAD和△CAF中， AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF, ∴ △BAD≅△CAF(SAS)， ∴ ∠ACF=∠ABD=45∘， ∴ ∠ACF+∠ACB=90∘， ∴ BD⊥CF； ②由①△BAD≅△CAF可得BD=CF， ∵ BD=BC−CD， ∴ CF=BC−CD.(2)解：①与(1)同理可得，△BAD≅△CAF， ∴ BD=CF， ∴ CF=CD−BC； ②△AOC是等腰三角形，理由如下： ∵ ∠BAC=90∘，AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB=45∘， 则∠ABD=180∘−45∘=135∘. ∵ 四边形ADEF是正方形， ∴ AD=AF，∠DAF=90∘. ∵ ∠BAC=∠BAF+∠CAF=90∘， ∠DAF=∠BAD+∠BAF=90∘， ∴ ∠BAD=∠CAF， 在△BAD和△CAF中， AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF, ∴ △BAD≅△CAF(SAS)， ∴ ∠ACF=∠ABD=180∘−45∘=135∘， ∴ ∠FCD=∠ACF−∠ACB=90∘， 则△FCD为直角三角形. ∵ 正方形ADEF中，O为DF中点， ∴ OC=12DF. ∵ 在正方形ADEF中，OA=12AE，AE=DF， ∴ OC=OA， ∴ △AOC是等腰三角形．
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