2022年江西省赣州市高考数学一模试卷（文科）（含答案解析）

2022年江西省赣州市高考数学一模试卷（文科）

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 复数的虚部为

A.  B. 1 C.  D. i

3. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，以F为圆心，半径为的圆与l交于A，B两点，则

A.  B.  C.  D. 4

4. 某学校为了更好落实“五育”管理，对高一年级1890名新生的体质情况进行调査，现将这些新生编号成1，2，3，4，…，1890，再采用系统抽样的方法从这些新生中抽取210名学生进行体质测验．若43号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是

A. 15号学生 B. 72号学生 C. 1214号学生 D. 1267号学生

5. 设函数，则满足的x的取值范围是

A.  B.  C.  D.

6. 在《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知四棱锥为阳马，底面ABCD是边长为2的正方形，有两条侧棱长为3，则该阳马的表面积为

A.  B.  C.  D.

7. 已知正方形ABCD的中心为M，从A，B，C，D，M五个点中任取三点，则取到的三点构成直角三角形的概率为
    

A.  B.  C.  D.

8. 等比数列满足，，则

A. 8 B. 4 C.  D.

9. 在半径为2的球O的表面上有A，B，C三点，若平面平面ABC，则三棱锥体积的最大值为

A.  B.  C.  D.

10. 已知，，，则

A.  B.  C.  D.

11. 斐波那契螺线又叫黄金螺线．广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形其中中作正方形ABFE，以F为圆心，长为半径作圆弧；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作圆弧；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线．记圆弧旋的长度分别为l，m，n，给出以下两个命题：p：，q：则下列选项为真命题的是

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数在区间上有且仅有2个不同的零点，给出下列三个结论：
    ①在区间上有且仅有2条对称轴；
    ②在区间上单调递增；
    ③的取值范围是
    其中正确的个数为

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

13. 已知单位向量满足，则的夹角为______.
14. 若实数x，y满足约束条件，则的最小值为______.
15. 已知，是双曲线的两个焦点，过作C的渐近线的垂线，垂足为若的面积为，则C的离心率为______.
16. 数列满足，若数列前n项和为，则______.
17. 在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，
    若，求的值；
    若BC边上的中线长为，求a的值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 为积极贯彻落实国家教育的“双减”政策，我市各地纷纷推行课后服务“”模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某初中学校为了解该校学生上学期来参加学业辅导、体育锻炼、综合实践三大类别的课后服务情况，德育处从全校七、八、九年级学生中按照1：2：3分层抽样的方法，抽取容量为240的样本进行调查．被抽中的学生分别对参加课后服务进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为51分，量高分为100分．随后，德育处将八、九年级学生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：
    八年级学生评分结果频率分布表

根据上述统计图表信息试求m和n的值；
为了便于调查学校开展课后服务“满意度”情况是否与年级高低有关，德育处把评分不低于70分的定义为“满意”，评分低于70分的定义为“不满意”，通过样本将七年级和九年级学生对课后服务“满意度”情况汇总得到如表：

请补充上表，并判断是否有的可能性认为学校开展课后服务“满意度”情况与年级高低有关？
附：

19. 如图，三棱柱中，侧面为菱形，，且
    证明：；
    若，，，求点O到平面ABC的距离．

20. 设函数
    若曲线在处的切线l与直线互相垂直，求l的方程；
    若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，满足，且面积的最大值为
    求椭圆C的方程；
    点，点A，B在椭圆C上，点N在直线l：，满足，，试问是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知点在曲线上．
    求动点的轨迹C的方程；
    过原点的直线l与中的曲线C交于A、B两点，求的最大值与最小值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知
    当时，求不等式的解集；
    若的解集包含，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：集合，
，
则
故选：
求出集合A，B，利用并集定义能求出
本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：，
复数z的虚部为
故选：
根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：因为，
所以焦点到准线l：的距离为2，
又，
所以，
故选：
利用焦点到准线距离为解直角三角形，再根据抛物线的及圆的对称性即可得解．
本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于基础题．
 

4.【答案】D
 

【解析】解：因为高一年级1890名新生按系统抽样共抽取210人，所以分210组，每组9人中抽取1人，
因为43号学生被抽到，
所以抽取的其他编号与43相差9的整数倍，
而，，，中只有1224能被9整除，
故下面4名学生中被抽到的是1267号．
故选：
根据已知条件，结合系统抽样的定义，即可求解．
本题主要考查系统抽样的定义，属于基础题．
 

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查指数函数，对数函数及其性质，属于基础题.
分类讨论，结合指数函数，对数函数的性质求解即可．
【解答】
解：当时，，可变形为，，

当时，，可变形为，，
，
则满足的x的取值范围是
故选  

6.【答案】B
 

【解析】解：如图，

由题意知，，，平面ABCD，
因为，
所以，
故选：
根据四棱锥的性质，分别求侧面与底面面积，即可得解．
本题考查了四棱锥表面积的计算，属于基础题．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：从A，B，C，D，M五个点中取到的三点构成直角三角形的个数为，
从A，B，C，D，M五个点中任取三点的个数为，
所以取到的三点构成直角三角形的概率为
故选：
首先计算取到的三点构成直角三角形的个数，然后计算从A，B，C，D，M五个点中任取三点的个数，以此可解决此题．
本题考查组合数应用及古典概型应用，考查数学运算能力，属于基础题．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：设等比数列的公比为q，
由，得，则，
所以
故选：
设等比数列的公比为q，利用可求出，进一步根据即可求解．
本题考查等比数列的通项公式，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：作出如图三棱锥，，取AB中点D，连接DC，DO，则，

又平面平面ABC，平面平面，平面OAB，所以平面ABC，平面ABC，则，
又，，所以，，
所以，
所以，
，
要使三棱锥体积最大，则C到平面OAB的距离h最大，显然，
当时，平面平面，平面ABC，
所以平面OAB，此时，为最大值，

故选：
取AB中点D，可证明平面ABC得，由已知求得CD长，要使三棱锥体积最大，则C到平面OAB的距离h最大，显然，当时，，由此求得体积的最大值．
本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：，
，
即，
又，，
，
故选：
利用正弦函数的单调性可判断，再结合对数函数的单调性比较三个值的大小即可．
本题考查了三角函数及对数函数单调性的应用，属于基础题．
 

11.【答案】A
 

【解析】解：根据题意，，
又由，则，
则，
又由，
则，
同理：，变形可得，
则有，
对于p，，，则，p是真命题，
对于q，，，则有为真命题，
故为真命题，、和都是假命题；
故选：
根据题意，先求出圆弧的半径，进而根据圆的周长公式分析求出l、m、n的值，分析p、q的真假，结合复合命题真假分析选项，即可得答案．
本题考查命题真假的判断，关键是求出l、m、n的值，属于中档题．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：函数在区间上有且仅有2个不同的零点，，
，故③正确；
在区间上，，可能有一条或两条对称轴，故①错误；
在区间上，，而，故在区间上单调递增，故②正确，
故选：
由题意，利用正弦函数的图象和性质，命题真假的判断，得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，命题真假的判断与应用，属于中档题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：单位向量满足，
可得，
解得，
所以，，

故答案为：
利用向量的模，求解向量的数量积，然后求解向量的夹角．
本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角以及向量的模的运算法则的应用，是基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
的几何意义为可行域内动点与定点连线的斜率，
，
的最小值为
故答案为：
由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内动点与定点连线的斜率求解．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 

15.【答案】2
 

【解析】解：设双曲线的一条渐近线方程为，
点到渐近线的距离，即，
，的面积为，的面积：，，
，，则
故答案为：
计算的面积，得到的面积，结合点到直线的距离，转化求解b，推出c，即可得出双曲线的离心率．
本题考查了双曲线的性质，三角形的面积的应用，属于中档题．
 

16.【答案】800
 

【解析】解：数列满足，
时，，
时，，
，，
……
……
…
…
…

，
故答案为：
数列满足，可得时，，时，，可得，，通过转化利用求和公式即可得出．
本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为，，，
所以由正弦定理，可得，
因为，可得C为锐角，
所以；
若BC边上的中线长为，取BC边上的中点D，则，设，
在中，利用余弦定理可得，
在中，利用余弦定理可得，
又，则，
可得，即，解得，
又，
故a的值为
 

【解析】由已知利用正弦定理可求的值，利用大边对大角可求C为锐角，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解的值；
取BC边上的中点D，则，设，利用余弦定理，又，可得，即，解得x的值，结合即可求解a的值．
本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

18.【答案】解：由已知八年级抽取人数为，
由频率和为1得，故；
七年级人数为，九年级不满意人数为，列联表如下：

，
所以没有的可能性认为学校开展课后服务“满意度”情况与年级高低有关．
 

【解析】由题干数据结合频率和为1，八年级学生总数即可得解；
由题干数据完善列联表，计算，对比即可得解．
本题考查了频率分布直方图，独立性检验的知识，属于基础题．
 

19.【答案】证明：已知O为与的交点，
侧面为菱形，，
又，，
平面，则，
为的中点，；
解：作垂足为D，连接AD，作，垂足为H，
，，，
平面AOD，得，
，且，
平面ABC，
，为等边三角形，
，，
，，
，
由，得，
即O到平面ABC的距离为
 

【解析】为与的交点，由已知可得，结合，可得平面，则，从而得到；
作垂足为D，连接AD，作，垂足为H，证明平面ABC，利用等面积法求得OH，即为O到平面ABC的距离．
本题考查空间中点、线、面的位置关系，考查点到面的距离的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：，
由题意知，，解得，
又，
故在点处的切线方程为，即
当时，，
①若时，，
从而，在区间上单调递增，
又，故
②若时，令，则，，
且，，故当时，，在区间上单调递减，
故当时，
综上所述：a的取值范围为
 

【解析】根据导数的几何意义求出求切线斜率，再由垂直关系得出直线斜率建立方程求出a，由点斜式求切线方程；
求出函数导数，分，两种情况分析，时利用函数导数分析函数单调性求出最小值，建立不等式求解，当时，分析函数在上不满足条件即可得解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，
因为，可得，即，
又由面积的最大值为2，可得，即，
因为，即，解得，
所以椭圆C的方程为
由，，可得点A，B，M，N四点共线，如图所示，

设过点的直线方程为，即，
联立方程组，整理得，
设，，则，
联立方程组，可得，即，
因为，，可得，
所以
则

，
所以为定值
 

【解析】由，得到，根据面积的最大值为2，得到，结合，求得，即可求得椭圆的方程；
设过点的直线为，联立方程组得到，，再联立两直线，求得，根据，，求得，进而结合韦达定理，化简得到，即可得到结论．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 

22.【答案】解：由题意，点在曲线上，可得，
令，可得，
设，，则，
即动点的轨迹C的方程
解：由题意，设直线l的方程为，
联立方程组，整理得，
要直线与曲线C交于A、B两点，则方程在上有两解，
设，可得，解得，
设，，则，，且
又由，
因为，
又因为，所以的最小值为1，最大值为
 

【解析】令，可得，求得，即可求得动点的轨迹C的方程；
设直线l的方程为，联立方程组得到，，根据题意转化为方程在上有两解，求得k的范围，结合，进而求得的最值．
本题考查轨迹方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：时，，
，
当时，，解得，
当时，，解得，无解，
当时，，解得，故，
综上，不等式的解集是或；
的解集包含，
故在上恒成立，
当时，，
故，
令，
时，，
故，
故，
，
，
的取值范围是
 

【解析】代入a的值，通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可；
问题转化为，令，求出的最大值，求出a的取值范围即可．
本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是中档题．