考点05 二次函数与一元二次方程-2020-2022学年九年级《新题速递·数学》（人教版）

考点05 二次函数与一元二次方程

1．（辽宁省鞍山市2019-2021学年九年级上学期期末数学试题）已知二次函数y＝x2﹣2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个点为（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是

A．x1＝﹣1，x2＝3  B．x1＝1，x2＝3 

C．x1＝﹣1，x2＝1  D．x1＝3，x2＝﹣5

【答案】A

【解析】

【分析】

利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），然后利用抛物线与x轴的交点问题求解．

【详解】

解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，

而抛物线与x轴的一个点为（3，0），

∴抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），

∴关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是x1＝﹣1，x2＝3．

故选：A．

【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

2．（山西省运城市盐湖区2019-2021学年九年级上学期期末数学试题）根据下表

确定关于的方程的解的取值范围是

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】C

【解析】

【分析】

观察表格，根据第二行的值的变化确定出方程解的范围即可．

【详解】

解：由表格可知，当x=-7时，，当x=-6时，，

当x=2时，，当x=3时，，

∵，

∴方程的解的取值范围为：或，

故答案为：C．

【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，理解表格的数据变化是解题的关键．

3．（福建省南平市浦城县2019-2021学年九年级上学期期末数学试题）二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数解，则k的最小值为

A． B． C． D．0

【答案】A

【解析】∵一元二次方程ax2+bx+k=0有实数解，

∴可以理解为y=ax2+bx和y=−k有交点，

由图可得，−k≤4，

∴k≥−4，

∴k的最小值为−4.

故选A．

4．（2021年湖北省枣阳市太平一中中考数学模拟题）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为

A．-1 ，0 B．-1，1 C． 1， 3 D．-1，3

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出二次函数的对称轴，然后利用二次函数的对称性即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x轴交点坐标与一元二次方程解的关系即可得出结论．

【详解】

解：二次函数的对称轴为直线

由图象可知：二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为（3,0）

∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为（-1,0）

∴关于的一元二次方程的解为x1=-1，x2=3

故选D．

【点睛】此题考查的是求抛物线的对称轴、抛物线与x轴的交点和求一元二次方程的解，掌握抛物线的对称轴公式和二次函数与x轴交点坐标与一元二次方程解的关系是解决此题的关键．

5．（江苏省苏州市吴江区2019-2021学年九年级下学期线上月考数学试题）如图示，二次函数的图像与轴交于坐标原点和，若关于的方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

首先将代入二次函数，求出，然后利用根的判别式和求根公式即可判定的取值范围.

【详解】将代入二次函数，得，∴，

∴方程为，

∴，

∵

∴

故答案为D．

【点睛】此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.

6．（2021年浙江省温州市龙湾区九年级中考适应性测试数学试题）二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况是

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的正实数根

C．有两个不相等的负实数根 D．没有实数根

【答案】B

【解析】

【分析】

根据直线y=2与抛物线有两个交点，可得的根的情况.

【详解】

由已知可得，直线y=2与抛物线有两个交点，即时，x有两个值，

所以方程的根有两个.

故选：B

【点睛】考核知识点：二次函数与一元二次方程的解.分析方程和函数解析式的对应关系是解题关键.

7．（广东省深圳市高级中学北校区2019~2021学年九年级下学期第一次质量检测数学试题）二次函数为常数，且)中的与的部分对应值如表：

下列结论错误的是

A． B．是关于的方程的一个根；

C．当时，的值随值的增大而减小； D．当时，

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数中的x与y的部分对应值表，可以求得a、b、c的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断．

【详解】

解：根据二次函数的x与y的部分对应值可知：

当时，，即，

当时，，即，

当时，，即，

联立以上方程：，

解得：，

∴；

A、，故本选项正确；

B、方程可化为，

将代入得：，

∴是关于的方程的一个根,故本选项正确；

C、化为顶点式得：，

∵，则抛物线的开口向下，

∴当时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大；故本选项错误；

D、不等式可化为，令，

由二次函数的图象可得：当时，，故本选项正确；

故选：C．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．

8．（2021年天津市和平区初中毕业模拟（一）数学试题）抛物线（是常数），，顶点坐标为.给出下列结论：①若点与点在该抛物线上，当时，则；②关于的一元二次方程无实数解，那么

A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 

C．①错误，②正确 D．①错误，②错误

【答案】A

【解析】

【分析】

①根据二次函数的增减性进行判断便可；
②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m，再把m代入一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误．

【详解】

解：①∵顶点坐标为,

∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x=的对称点为（1-n，y1），

∴点（1-n，y1）与在该抛物线的对称轴的右侧图像上,

∵a＞0，∴当x＞时，y随x的增大而增大，

∴y1＜y2，故此小题结论正确；

②把 代入y=ax2+bx+c中，得,

∴一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0中，

△=b2-4ac+4am-4a

∴一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确；
故选A．

【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第①小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负．

9．（山东省烟台市蓬莱市2019-2021学年九年级上学期期末数学试题）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4,0），B（3,0）两点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是_____．

【答案】﹣4或3

【解析】

【分析】

根据二次函数与轴的交点的横坐标即为一元二次方程根的性质，即可求得方程的解.

【详解】

抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4,0），B（3,0）两点，

则ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣4或3，

故答案为：﹣4或3．

【点睛】本题考查二次函数与轴的交点和一元二次方程根的关系，属基础题.

10．（广东省华南师范大学附属中学2019-2021学年九年级上学期期末数学试题）若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为_____.

【答案】，

【解析】

【分析】

首先根据对称轴求出参数b,再将参数代入方程中求解方程即可.

【详解】

解：二次函数的对称轴为直线

因此方程为

所以可得

故答案为，.

【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的问题，关键在于根据对称轴确定参数.

11．（山东省德州市乐陵市2019-2021学年九年级上学期期末数学试题）汽车刹车后行驶的距离(单位：)关于行驶的时间(单位：)的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进了______．

【答案】6

【解析】

【分析】

根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s的值.

【详解】

解：根据二次函数解析式=-6(t²-2t+1-1)=-6(t-1) ²+6

可知，汽车的刹车时间为t=1s，

当t=1时，=12×1-6×1²=6(m)

故选：6

【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，理解透题意是解题的关键．

12．（江西省上饶市2019-2021学年九年级上学期期中数学试题）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．

（1）求该二次函数图象的顶点和对称轴；

（2）在所给坐标系中画出该二次函数的图象；

（3）根据图象直接写出方程x2﹣4x+3＝0的根；

（4）根据图象写出当y＜0时，x的取值范围．

【解析】

【分析】

（1）根据二次函数顶点坐标公式、对称轴公式求解即可；

（2）根据二次函数的性质作出图象即可；

（3）根据二次函数图象与x轴的交点求解即可；

（4）根据二次函数图象，当y＜0时，求解x的取值范围即可．

【详解】

解：（1）函数的对称轴为：x＝2，顶点坐标为：（2，﹣1）；

（2）函数图象如下：

（3）从图上看，方程x2﹣4x+3＝0的根为x＝1或3；

（4）从图上看，当y＜0时，x的取值范围为：1＜x＜3．

【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象以及性质是解题的关键．

13．（广东省广州市白云区桃园中学2019-2021学年九年级上学期期中数学试题）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C，且满足：（1）一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的一个解是﹣1；（2）抛物线的顶点在直线y＝2x上．

问：（1）直接写出A、B两点的坐标．

（2）求此抛物线的解析式．

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线与x轴的交点坐标得抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），再求出抛物线的对称轴为直线x＝1，然后利用对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标；

（2）先确定抛物线的顶点坐标为（1，2），设顶点式y＝a（x﹣1）2+2，然后把A点坐标代入求出a即可．

【详解】

解：（1）∵一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的一个解是﹣1，

∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），

∵抛物线的对称轴为直线，

∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）；

即A、B两点的坐标为：A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）∵抛物线的顶点在直线y＝2x上，对称轴为直线

∴抛物线的顶点坐标为（1，2），

设抛物线解析式为，

把A（﹣1，0）代入得，解得，

∴抛物线解析式为．

【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、与y轴的交点以及根据称轴对称找点坐标的问题，解题的关键是找出所求问题需要的条件，灵活变化，根据题目中的已知条件进行转化．

14．（湖北省恩施土家族苗族自治州咸丰县2019-2021学年九年级上学期期末数学试题）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．

（1）若该方程的一个根为1，求a的值及方程的另一个根；

（2）二次函数y＝x2+ax+a﹣2的图象与x轴有交点吗？有几个交点？为什么？请说明理由．

【解析】

【分析】

（1）将x＝1代入方程x2+ax+a﹣1＝0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；

（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的个数与b2﹣4ac有关，当b2﹣4ac＞0，有两交点；b2﹣4ac＝0，有一个交点；当b2﹣4ac＜0，无交点．

【详解】

解：（1）∵x＝1是方程x2+ax+a﹣2＝0的解，

∴把x＝1代入方程x2+ax+a﹣2＝0得：1+a+a﹣2＝0，

解得a＝，

∵x1+x2＝﹣a＝﹣，

∴1+x2＝﹣，

∴x2＝﹣，

∴a的值是，方程的另一个根为-．

（2）该抛物线与x轴有两个交点，理由如下：

由二次函数y＝x2+ax+a﹣2，知△＝a2﹣4（a﹣2）＝（a﹣2）2+4＞0，则该抛物线与x轴有两个交点．

【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程之间的关系，抛物线与轴的交点个数取决于关的值．