专题24 二次函数中的圆的综合问题-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题24 二次函数中的圆的综合问题

1、如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+m的图象经过点P（4，5），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且S△PAB＝10．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点Q使得△PAQ和△PBQ的面积相等？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过A、P、C三点的圆与抛物线交于另一点D，求出D点坐标及四边形PACD的周长．

2、已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．

（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．

①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；

②若点C关于直线x的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．

3、如图，在平面直角坐标系中，为原点，点坐标为，点坐标为，以为直径的圆与轴的负半轴交于点．

（1）求图象经过，，三点的抛物线的解析式；

（2）设点为所求抛物线的顶点，试判断直线与的关系，并说明理由．

4、已知抛物线y=ax2+bx过点A（1，4）、B（﹣3，0），过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，在x轴上有一点D（4，0），连接CD．

（1）求抛物线的表达式；

（2）若在抛物线上存在点Q，使得CD平分∠ACQ，请求出点Q的坐标；[来源:学&科&网Z&X&X&K]

（3）在直线CD的下方的抛物线上取一点N，过点N作NG∥y轴交CD于点G，以NG为直径画圆在直线CD上截得弦GH，问弦GH的最大值是多少？

（4）一动点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿C﹣A﹣D运动，在线段CD上还有一动点M，问是否存在某一时刻使PM+AM=4？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．[来源:学_科_网]

5、如图1，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．

（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）若以AD为直径的圆经过点C．

①求抛物线的函数关系式；[来源:Zxxk.Com]

②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标；

③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．

6、已知二次函数y＝－x2＋bx＋c＋1.

(1)当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程；

(2)若c＝－b2－2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切；

(3)如图所示，若二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好经过点M，二次函数的对称轴l与x轴，直线BM，直线AM分别相交于点D，E，F，且满足＝，求二次函数的表达式．

7、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与⊙M相交于A，B，C，D四点，其中A，B两点坐标分别为(－1，0)，(0，－2)，点D在x轴上且AD为⊙M的直径，E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH＝1.5.

(1)求点D的坐标及抛物线的表达式；

(2)若P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

8、如图所示，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－1，0)．

(1)求抛物线的表达式；

(2)直接写出B，C两点的坐标；[来源:学科网]

(3)求过O，B，C三点的圆的面积(结果用含π的代数式表示)．

9、如图所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2，1)，并且经过点(4，2)．直线y＝x＋1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，⊙C与直线m交于对称轴右侧的点M(t，1)．直线m上每一点的纵坐标都等于1.

(1)求抛物线的表达式；

(2)证明：⊙C与x轴相切；

(3)过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F.求BE∶MF的值．

10、如图所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a＜0)与x轴交于A(3，0)，B两点，与y轴交于点C.抛物线的对称轴是直线x＝1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE＝.

(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

(2)求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；

(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△PAC＝S△ACD，求点P的坐标；[来源:学科网]

(4)在坐标轴上找一点M，使以点B，C，M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．