数学必修 第二册第四章 三角恒等变换2 两角和与差的三角函数公式2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用习题

4.2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用

1.(2020北京昌平区新学道临川学校期中)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(　　)

A.- B. C.- D.

【解析】sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=.故选D.

【答案】D

2.若tan α=，tan β=，且α∈，β∈，则α+β的大小等于(　　)

A. B. C. D.

【解析】由已知得tan(α+β)==1.

又因为α∈，β∈，

所以α+β∈(π，2π)，于是α+β=.

【答案】B

3.若tan(α+β)=，tan(α-β)=，则tan 2α=(　　)

A. B. C. D.

【解析】tan 2α=tan [(α+β)+(α-β)]=.

【答案】D

4.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)的值等于 (　　)

A.±1 B.1 C.-1 D.0

【解析】原式=sin [(θ+45°)+30°]+cos(θ+45°)-cos [(θ+45°)-30°]

=sin(θ+45°)+cos(θ+45°)+cos(θ+45°)-

=sin(θ+45°)+cos(θ+45°)-cos(θ+45°)-sin(θ+45°)=0.

【答案】D

5.设α∈，β∈，且tan α=，则(　　)

A.3α-β= B.3α+β=

C.2α-β= D.2α+β=

【解析】由tan α=，得，得sin αcos β-cos αsin β=cos α，sin(α-β)=sin.

又α∈，β∈，

故α-β=-α，即2α-β=.

【答案】C

6.已知tan α=，则的值是(　　)

A.2 B. C.-1 D.-3

【解析】

=tan+α-=tan α=.

【答案】B

7.tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°的值是　　　　　. 

【解析】因为tan 60°=，

所以tan 23°+tan 37°=tan 23°tan 37°，

所以tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=.

【答案】

8.已知α，β都是锐角，sin α=，cos(α+β)=，则cos α=　　　　;sin β=　　　　. 

【解析】因为α，β都是锐角，所以α+β∈(0，π)，

又sin α=，cos(α+β)=，

所以cos α=，sin(α+β)=，

所以sin β=sin [(α+β)-α]

=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α

=.

【答案】

9.化简求值:

(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);

(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α);

(3)cos 21°·cos 24°+sin 159°·sin 204°.

解(1)原式=sin(α+β+α-β)=sin 2α.

(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)

=sin [(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-.

(3)原式=cos 21°cos 24°+sin(180°-21°)sin(180°+24°)=cos 21°cos 24°-sin 21°sin 24°=cos(21°+24°)=cos 45°=.

1.已知α∈，π，tanα+=，则sin α+cos α= (　　)

A.- B.- C.- D.

【解析】因为tanα+=，

所以tan α=-，即sin α=-cos α，

由平方关系得+cos2α=1，

解得cos α=-，sin α=，

sin α+cos α==-.

【答案】C

2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos B=(c-b)cos A，则角A的大小为(　　)

A. B. C. D.

【解析】由正弦定理得sin Acos B=(sin C-sin B)cos A，即sin(A+B)=sin Ccos A，即sin C=sin Ccos A，即cos A=，故A=.

【答案】B

3.设α，β都为锐角，且cos α=，sin(α+β)=，则sin β等于(　　)

A. B.

C. D.-

【解析】因为α为锐角，cos α=，所以sin α=.

因为α，β都为锐角，所以0<α+β<π.

因为sin(α+β)=，所以cos(α+β)=±.

当cos(α+β)=-时，sin β=sin[(α+β)-α]

=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α

=;

当cos(α+β)=时，sin β=sin[(α+β)-α]

=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α

==-，

与已知β为锐角矛盾.所以sin β=.

【答案】B

4.化简:=　　　　　. 

【解析】原式=

==-1.

【答案】-1

5.已知tan α+tan β=2，tan(α+β)=4，则tan αtan β=　　　，tan2α+tan2β的值为　　　　　. 

【解析】因为tan(α+β)=4，所以=4，

又tan α+tan β=2，所以tan αtan β=，

所以tan2α+tan2β=(tan α+tan β)2-2tan αtan β=22-2×=3.

【答案】　3

6.tan α，tan β是方程6x2-5x+1=0的两个实数根，若α，β∈(0，π)，则α+β=　　　　. 

【解析】因为tan α，tan β是方程6x2-5x+1=0的两个实数根，所以

因此tan(α+β)==1;且tan α>0，tan β>0;

又α，β∈(0，π)，所以α，β∈0，，即α+β∈(0，π)，

因此α+β=.

【答案】

7.已知cosx-=，x∈.

(1)求sin x的值;

(2)求sinx+的值.

解(1)sin x=sinx-=sinx-cos+cosx-sin，

=sinx-+cosx-=sinx-+，

因为x∈，所以x-∈，

所以sinx-=，

所以sin x=.

(2)因为sin x=，x∈，故cos x=-，

sinx+=sin xcos+cos xsin

=×-=.