北师大版七年级下册6 完全平方公式教案

1.8  完全平方公式(一)

●教学目标

(一)教学知识点

1.完全平方公式的推导及其应用.

2.完全平方公式的几何背景.

(二)能力训练要求

1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.

2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.

(三)情感与价值观要求

1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.

2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.

●教学重点

1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.

2.完全平方公式的应用.

●教学难点

1.完全平方公式的推导及其几何解释.

2.完全平方公式结构特点及其应用.

●教学方法

自主探索法

学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后达到合理、熟练地应用.
 ●教具准备

投影片四张

第一张：试验田的改造，记作(§1.8.1 A)

第二张：想一想，记作(§1.8.1 B)

第三张：例题，记作(§1.8.1 C)

第四张：补充练习，记作(§1.8.1 D)

●教学过程

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

［师］去年，一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡”活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.

同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？

(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)

［生］我能帮这位爷爷.

［师］你能把你的结果展示给大家吗？

［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.

图1－25

［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？

［生］改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.

［生］也可以把试验田的总面积看成四部分的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.

［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？

［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2

［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.

Ⅱ.讲授新课

1.推导完全平方公式

［师］我们通过对比试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料表明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？

(出示投影片§1.8.1 A)

想一想：

(1)(a+b)2等于什么？你能用多项式乘法法则说明理由吗？

(2)(a－b)2等于什么？你是怎样想的.

(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)

［生］用多项式乘法法则可得

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)

=a2+ab+ab+b2

=a2+2ab+b2

所以(a+b)2=a2+2ab+b2         (1)

［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？

［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:a>0且b>0;

代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，a,b可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式.

［师］同学们分析得很有道理.接下来，我们来完成第(2)问.

［生］也可利用多项式乘法法则，则(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.

［生］我是这样想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－b”代替公式中的“b”,利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.

［师］这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下.

［师生共析］

(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2

↓ ↓ ↓   ↓   ↓   ↓

      (a     +b)2=a2+2·a  ·b  +  b2

=a2－2ab+b2.

于是，我们得到又一个公式：

(a－b)2=a2－2ab+b2             (2)

［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？

［生］公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.

2.应用、升华

出示投影片(§1.8.1 B)

［例1］利用完全平方公式计算：

(1)(2x－3)2;(2)(4x+5y)2;

(3)(mn－a)2.

分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.

解：(1)方法一：

［例2］利用完全平方公式计算

(1)(－x+2y)2;(2)(－x－y)2;

(3)(x+y－z)2;(4)(x+y)2－(x－y)2;

(5)(2x－3y)2(2x+3y)2.

分析：此题需灵活运用完全平方公式，(1)题可转化为(2y－x)2或(x－2y)2,再运用平方差公式；(2)题需转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式；(3)题利用加法结合律变形为［(x+y)－z］2(或［x+(y－z)］2、［(x－z)+y］2),再用完全平方公式计算；(4)题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.

解：(1)方法一：(－x+2y)2=(2y－x)2

=4y2－4xy+x2；

方法二：(－x+2y)2=［－(x－2y)］2=(x－2y)2=x2－4xy+4y2.

(2)(－x－y)2=［－(x+y)］2=(x+y)2=x2+2xy+y2.

(3)(x+y－z)2=［(x+y)－z］2=(x+y)2－2(x+y)·z+z2

=x2+y2+z2+2xy－2zx－2yz.

(4)方法一：(x+y)2－(x－y)2

=(x2+2xy+y2)－(x2－2xy+y2)

=4xy.

方法二：(x+y)2－(x－y)2

=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=4xy.

(5)(2x－3y)2(2x+3y)2

=［(2x－3y)(2x+3y)］2

=［4x2－9y2］2

=16x4－72x2y2+81y4.

Ⅲ.随堂练习

课本1.计算：

(1)(x－2y)2;(2)(2xy+x)2;

(3)(n+1)2－n2.

解：(1)(x－2y)2=(x)2－2·x·2y+(2y)2=x2－2xy+4y2

(2)(2xy+x)2=(2xy)2+2·2xy·x+(x)2=4x2y2+x2y+x2

(3)方法一：(n+1)2－n2=n2+2n+1－n2=2n+1.

方法二：(n+1)2－n2=［(n+1)+n］［(n+1)－n］=2n+1.

Ⅳ.课后作业

1.课本习题1.13的第1、2、3题.

2.阅读“读一读”，并回答文章中提出的问题.

Ⅴ.活动与探究

甲、乙两人合养了n头牛，而每头牛的卖价恰为n元.全部卖完后两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后剩下不足十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该补给乙多少元钱？

［过程］因牛n头，每头卖n元，故共卖得n2元.

令a表示n的十位以前的数字，b表示n的个位数字.即n=10a+b,于是n2=(10a+b)2=100a2+

20ab+b2=10×2a(5a+b)+b2.

因甲先取10元，而乙最后一次取钱时不足10元，所以n2中含有奇数个10元，以及最后剩下不足10元.

但10×2a(5a+b)中含有偶数个10元，因此b2中必含有奇数个10元，且b<10，所以b2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而这九个数中，只有16和36含有奇数个10，因此b2只可能是16或36，但这两个数的个位数都是6，这就是说，乙最后所拿的是6元(即剩下不足10元).

［结果］甲比乙多拿了4元，为了平均分配甲必须补给乙2元.

●板书设计

1.8. 完全平方公式(一)

一、几何背景

试验田的总面积有两种表示形式：

①a2+2ab+b2

②(a+b)2

对比得：(a+b)2=a2+2ab+b2

二、代数推导

(a+b)2=(a+b)(a+b)

=a2+2ab+b2

(a－b)2=［a+(－b)］2

=a2－2ab+b2

三、例题讲例

例1.利用完全平方公式计算：

(1)(2x－3)2

(2)(4x+5y)2

(3)(mn－a)2

四、随堂练习(略)

●备课资料

一、杨辉

杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多.

他著名的数学书共五种二十一卷.著有《详解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、《乘除通变本末》三卷(1274年)、《田亩比类乘除算法》二卷(1275年)、《续古摘奇算法》二卷(1275年).

杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌诀，如九归口诀。他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的“纵横图”及有关的构造方法，同时“垛积术”是杨辉继沈括“隙积术”后，关于高阶等差级数的研究.杨辉在“纂类”中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类.

他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的“习算纲目”是中国数学教育史上的重要文献.

二、参考练习

1.填空题

(1)(－3x+4y)2=       .

(2)(－2a－b)2=       .

(3)x2－4xy+       =(x－2y)2.

(4)a2+b2=(a+b)2+       .

(5)a2+       +9b2=(a+3b)2.

(6)(a－2b)2+(a+2b)2=       .

2.选择题

(1)下列计算正确的是(    )

A.(m－1)2=m2－1

B.(x+1)(x+1)=x2+x+1

C.(x－y)2=x2－xy－y2

D.(x+y)(x－y)(x2－y2)=x4－y4

(2)如果x2+mx+4是一个完全平方式，那么m的值是(    )

A.4   B.－4   C.±4   D.±8

(3)将正方形的边长由a cm增加6 cm,则正方形的面积增加了(    )

A.36 cm2        B.12a cm2

C.(36+12a)cm2       D.以上都不对

3.用乘法公式计算

(1)(x－y)2

(2)(x2－2y2)2－(x2+2y2)2

(3)29×31×(302+1)

(4)9992

答案：1.(1)9x2－24xy+16y2

(2)4a2+4ab+b2  (3)4y2  (4)－2ab

(5)3ab  (6)2a2+8b2

2.(1)D  (2)C  (3)C

3.(1)x2－xy+y2  (2)－8x2y2

(3)809999  (4)998001