清单16 三角恒等变换（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单16 三角恒等变换（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共21页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

清单16 三角恒等变换
一、知识与方法清单
1.两角和与差的余弦公式
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))
【对点训练1】已知角α为锐角,若sin＝,则cos等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于角α为锐角,且sin＝,则cos＝,则cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝,故选A.
2.注意公式的逆用,如
【对点训练2】
【答案】
【解析】==.
3. 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β),α＝(α＋β)－β,β＝－,α＝＋,＝－等．
【对点训练3】设α,β都是锐角,且cosα＝,sin(α＋β)＝,则cosβ＝ .
【答案】　
【解析】依题意得sinα＝＝,因为sin(α＋β)＝α,
所以α＋β∈,所以cos(α＋β)＝－.于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.
4. 两角和与差的正弦公式
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))
【对点训练4】sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝ .
【答案】
【解析】　sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°
＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°
＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝.
5. 利用公式求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
【对点训练5】设α为锐角,若cos＝,则sin的值为________．
【答案】
【解析】(1)∵α为锐角且cos＝>0,∴α＋∈,∴sin＝.
∴sin＝sin＝sin2cos－cos2sin
＝sincos－＝××－
＝－＝.
6.解决非特殊角求值问题的基本思路有：(1)化非特殊角为特殊角；(2)化为正负相消的项,消去后求值；(3)化分子、分母使之出现公约数,进行约分求值
【对点训练6】[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·＝ .
【答案】
【解析】原式＝·sin80°
＝·cos10°
＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.
7.已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
【对点训练7】设α,β为钝角,且sinα＝,cosβ＝－,则α＋β的值为(　　)
A. B. C. D.或
【答案】C
【解析】　∵α,β为钝角,sinα＝,cosβ＝－,
∴cosα＝－,sinβ＝,∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝>0.
又α＋β∈(π,2π),∴α＋β∈,∴α＋β＝.
8.平方相加在给式求值中的应用
【对点训练8】若 则
【答案】
【解析】两边平方得,所以.
9.辅助角公式
辅助角公式：asinα＋bcosα＝sin(α＋φ),其中cosφ＝,sinφ＝,或tanφ＝,φ角所在象限与点(a,b)所在象限相同,φ角的终边经过点(a,b)．
【对点训练9】（2021广东高三5月联考）（多选）已知函数,则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在上的值域为
C．若,则,
D．将的图象向右平移个单位长度得的图象
【答案】BD
【解析】由题得,,
令,则,,故A项错误,
当时,,,故B项正确,
因为的周期,所以若,则,,故C项错误,
将的图象向右平移个单位长度得的图象,故D项正确.故选BD.
10. 两角和与差的正切公式
tan(α－β)＝(T(α－β))
tan(α＋β)＝(T(α＋β))
【对点训练10】（2021全国100所名校（高三冲刺卷）设为第二象限角,若,则__________．
【答案】
【解析】因为为第二象限角,,所以,所以.
11.注意公式成立的条件（每个式子都要有意义）
【对点训练11】是成立的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由tan(α＋β)＝可知当时成立,取成立,但 无意义,故选A.
12.注意两角和与差的正切公式变形的应用
,

【对点训练12】tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝ .
【答案】
【解析】tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)
＝－tan20°tan40°,
∴原式＝－tan20°tan40°＋tan20°tan40°＝.
13.注意公式与根与系数关系的结合
【对点训练13】若是方程的两个根,则
【答案】
【解析】因为是方程的两个根,所以,,所以,所以.
14. 在三角函数的化简、求值过程中,通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用,当式子中出现 这些特殊角的三角函数值时,往往是“由值变角”的一种提示,可以根据问题
的需要,将常用三角函数式表示出来,以构成适合公式的形式,从而达到化简的目的.
【对点训练14】（2021广东省佛山市五校联盟高三5月模拟）（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【答案】D
【解析】

故选 D
15. 二倍角公式
sin2α＝2sinαcosα；
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan2α＝.
【对点训练15】（2021黑龙江省哈尔滨高三第四次模拟）已知,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ,且,所以,所以.
故选C.
16.形如的求式子值
【对点训练16】
【答案】
【解析】 =.
17. 降幂公式与升幂公式
(1)降幂公式：cos2α＝,sin2α＝.
(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α,1－cos2α＝2sin2α.
【对点训练17】已知函数f(x)＝sin2x－sin2,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由已知,有f(x)＝－＝＝sin,
f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f＝－,f＝－,f＝,所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为－.
18. 半角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin＝±.
(2)cos＝±.
(3)tan＝±＝＝.
【对点训练18】已知,
【答案】
【解析】因为,,所以 =.
19. 三角恒等变换的三个步骤

【对点训练19】已知cosα＝,cos(α＋β)＝－,且α,β∈,则cos(α－β)的值等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
【答案】D
【解析】因为α∈,2α∈(0,π),cosα＝,所以cos2α＝2cos2α－1＝－,sin2α＝＝.而α,β∈,所以α＋β∈(0,π),所以sin(α＋β)＝＝.所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝×＋×＝.故选D.
20.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角,二看名,三看式子结构与特征．三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．
【对点训练20】 化简：－sin10°.
解：原式＝－sin10°
＝－sin10°·
＝－sin10°·＝－2cos10°＝
＝＝＝＝.
21.含有偶次方根的三角函数式化简,脱去根式时要先加绝对值,再去绝对值
【对点训练21】化简： (0<θ<π)；
解：由θ∈(0,π),得0<<,∴cos>0,∴＝＝2cos.
又(1＋sinθ＋cosθ)＝
＝2cos＝－2coscosθ,
故原式＝＝－cosθ.
22.证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式的两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.
(2)证明恒等式的一般步骤：
①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.
【对点训练22】求证：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β＝.
证明：证法一：(复角→单角,从“角”入手)
左边＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
证法二：(从“名”入手,异名化同名)
左边＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos2αcos2β
＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos2αcos2β
＝cos2β－sin2αcos2β－cos2αcos2β
＝cos2β－cos2β(sin2α＋cos2α)
＝－cos2β
＝－cos2β＝.
证法三：(从“幂”入手,利用降幂公式先降次)
左边＝·＋·－cos2αcos2β
＝(1＋cos2αcos2β－cos2α－cos2β)＋(1＋cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β)－cos2αcos2β＝.
证法四：(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方)
左边＝(sinαsinβ－cosαcosβ)2＋2sinαsinβcosαcosβ－cos2αcos2β
＝cos2(α＋β)＋sin2αsin2β－cos2αcos2β
＝cos2(α＋β)－cos(2α＋2β)
＝cos2(α＋β)－[2cos2(α＋β)－1]＝.
23.的值你会求吗？
【对点训练23】
【答案】
【解析】设,则,所以,
所以,因为,所以,所以,
二、跟踪检测
一、单选题
1．（2021西南名校联盟“3 3 3”高三5月诊断）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.故选A.
2．（2021安徽省皖江名校高三5月最后一卷）已知,为锐角,,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为,为锐角,所以.所以,,
又,则.
故选C.
3．（2021江西省临川高三押题预测卷）若,则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为,所以,
故选C.
4．（2021届高三5月卫冕联考）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表,这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知,晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积,即.若对同一“表高”两次测量,“晷影长”分别是“表高”的倍和倍（所成角记、）,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知,,所以.故选D.
5．（2021湖北省高三5月联考）在平面直角坐标系xOy中,角的顶点为O,始边为x轴的非负半轴,若点是角终边上的一点,则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意,得,从而,故选B.
6．已知,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】,
因为,所以,所以.
因为,所以.
所以.故选B
7．（2021福建省高三高考考前适应性练习）已知,且,则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,
故,又因为,且．
故,或,,则或,
故,故选D．
8．已知函数,则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在上的值域为
C．若,则,
D．将的图象向右平移个单位得的图象
【答案】D
【解析】,令,则,故,故A项错误,
当时,,,故B项错误,
因为的周期,所以若,则,,故C项错误,
将的图象向右平移个单位得的图象,故D项正确.故选D.
9．（2022河南省九师联盟高三6月摸底）若,且,则（ ）
A．-7 B． C． D．-7或
【答案】A
【解析】因为,所以,所以,
得,则或,
又,所以.故选A
10．（2021吉林省松原市高三5月联考）已知当时,函数取得最小值,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数,由辅助角公式化简可得,,,为第二象限角,因为当时,函数取得最小值,
所以,则,
所以,故选C.
11．在中,的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法1：

,
当且仅当,时,等号成立,
因此,的最大值为,故选B；
法2：,
当且仅当,时,等号成立,
因此,的最大值为,故选B.
二、多选题
12．已知,则（ ）
A． B． C． D．
【解析】 因为,所以,
．
所以．故选AD
13．函数的图象的一个对称中心为（    ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】 令,当k=1时,,对称中心是;当k=2时,,对称中心是.故选AB
14．（2021福建省建瓯市芝华中学高三上学期）下列各式中,值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】选项A,,错误；选项B,,正确；选项C,,正确；选项D,,错误.,故选BC
15．已知函数,则下列关于判断正确的是（ ）
A．是以为周期的周期函数
B．的图象关于原点对称
C．的值域为
D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度获得
【答案】ABC
【解析】,所以,所以A正确；
函数的定义域为,且,所以为奇函数,所以的图象关于原点对称,故B正确；
,令,表示单位圆上的点与点连线的斜率,设过点的直线方程为,由圆的圆心到直线的距离,解得,所以,所以的值域为,故C正确；
的图象向右平移个单位长度得,故D错误.故选ABC.
16．（2021重庆市高三下学期模拟）已知､,,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由得,
同除得(*),
所以,
即,∴,取等号时,故A,B正确；


,显然不成立,故C错误；
,
由知,,∴,故D正确.
故选ABD.
三、填空题
17．（2021黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三第四次模拟）函数的最小值为_______________________．
【答案】
【解析】由题设,,
∴当且仅当时,有.
18．（2021山东省临沂市高三二轮模拟）已知,则__________________．
【答案】
【解析】
∵,∴,
∴．
19．（2021陕西省西安中学高三下学期模拟）在中,角,,的对边分别为,,．已知,则的最小值为_______．
【答案】
【解析】由题意可知,,
化简得,
所以．
根据正弦定理：,可得①．
,由①可得,
所以,
当时,等号成立．所以的最小值为．
20．（2021浙江省高三高考考前模拟）已知=,且,则__________；__________．
【答案】
【解析】因为,所以,由=,
所以,所以
；


.
故答案为：①；②.
四、解答题
21．（2021天津高考数学试题）在,角所对的边分别为,已知,．
（1）求a的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【解析】（1）因为,由正弦定理可得,
,；
（2）由余弦定理可得；
（3）,,
,,
所以.
22．（2021广东省佛山市高三高考模拟）在中,线段是的角平分线,且
（1）求.
（2）若求的值.
【解析】（1）平分



（2）如图,过点作交于点,并延长交于点,

显然
在中,

在中,由正弦定理得
即,所以
所以
所以
所以

又