2022年河北省张家口市高考数学一模试卷

2022年河北省张家口市高考数学一模试卷

1. 已知集合，集合，则

A.  B.  C.  D.

2. 已知，则z的虚部是

A.  B.  C.  D.

3. 已知，，则

A.  B.  C.  D.

4. 下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm、底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为

A.  B.  C.  D.

6. 为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方、每地至少派一人，则不同的选派方案共有

A. 18种 B. 12种 C. 72种 D. 36种

7. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记，则

A.  B.  C. t D.

8. 已知当时，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，则实数k的取值范围是

A.  B.  C.  D.

9. 若，则下列不等式中正确的有

A.  B.  C.  D.

10. 某市为了研究该市空气中的浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的浓度和浓度单位：，得到如下所示的列联表：

经计算，则可以推断出
附：

A. 该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是
B. 若列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化
C. 有超过的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关
D. 在犯错的概率不超过的条件下，认为该市一天空气中浓度与浓度有关

11. 已知正方体的棱长为1，点P是线段上不含端点的任意一点，点E是线段的中点，点F是平面ABCD内一点，则下面结论中正确的有

A. 平面
B. 以为球心、为半径的球面与该正方体侧面的交线长是
C. 的最小值是
D. 的最小值是

12. 已知F是抛物线C：的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则

A. 点M到直线l的距离为定值 B. 以为直径的圆与l相切
C. 的最小值为32 D. 当最小时，

13. 已知向量，，若，则______.
14. 已知函数，用表示m，n中的最小值，设函数，若恰有3个零点，则实数a的取值范围是______.
15. 已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是______.
16. 已知函数，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为______.
17. 已知数列是等比数列，且，
    求数列的通项公式；
    设，求数列的前n项和，并证明：
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
    求角A的大小；
    若，求周长的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，四边形是菱形，，O是AC的中点．
    证明：平面；
    求二面角的余弦值．

20. 中医药传承数千年，治病救人济苍生．中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率．对改善发热、咳嗽、乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果．”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治．现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药．服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为
    设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求；
    若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲、乙两种中药哪种药性更好？
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知双曲线C：的离心率是，实轴长是
    求双曲线C的方程；
    过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知函数，
    当时，证明：当时，；
    若对，都，使恒成立，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：，集合，

故选：
用列举法表示U，再由补集运算得答案．
本题考查补集及其运算，是基础题．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：因为，
所以，
所以z的虚部是
故选：
解方程求出z，再化简即可．
本题考查了复数的运算与化简问题，是基础题．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：，
，
则，
故选：
根据同角关系进行求出，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．
本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的三角公式进行求解是解决本题的关键，是基础题．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：，则是奇函数，
，故A正确，
B.，不是奇函数，不满足条件．
C.，是偶函数，不满足条件．
D.，定义域为，，不满足条件．
故选：
分别判断函数的奇偶性和函数值是否满足条件，进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性以及函数值的判断，利用函数奇偶性的定义进行判断是解决本题的关键，是中档题．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：铜镞由两部分组成，前段是高为2cm、底面边长为1cm的正三棱锥，
正三棱棱的底面正三角形边长为1，设正三角形内切圆半径为r，
由等体积法得：，
解得，其内切圆半径为，
由三棱锥体积与圆柱体积公式得此铜镞的体积约为：

故选：
先求出正三棱棱的底面正三角形内切圆半径为r，再分别利用三棱锥体积与圆柱体积公式即可求出总体积．
本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：将4名教师分成3个组有种分法，再将3个组的教师分到甲、乙、丙三地共有种分法，
所以共有36种选派方案，
故选：
先分组，再分派到甲、乙、丙得不同的选派方案．
本题考查排列组合问题，属基础题．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：由，得
故选：
根据斐波契数列的性质进行求解即可．
本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：由题设，当时，，
令，
则，
所以当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减，
又，
所以当时，直线与的图象有两个交点，
即函数的图象与函数的图象有且只有两个交点．
故选：
将两个函数的解析式联立，消去y，得到等式，问题转化为方程有两个不同的正实根，根据这个等式运用常变量分离法，通过构造新函数，利用导数的性质进行求解即可．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，利用常变量分离法构造函数利用导数的性质是解题的关键．
 

9.【答案】AB
 

【解析】解：若，则，，故A，B正确，
当时，C错误，
令，，显然D错误，
故选：
根据不等式的基本性质判断ABC，代入特殊值判断
本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值的应用，是基础题．
 

10.【答案】ACD
 

【解析】解：对于A，该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是，选项A正确；
对于B，列联表中的天数都扩大到原来的10倍，计算的观测值为，
所以的观测值变为原来的19倍，选项B错误；
对于CD，因为，所以在犯错的概率不超过的条件下，
即有超过的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关，选项CD正确．
故选：
根据已知条件，结合频率与频数的关系，以及独立性检验原理，即可求解．
本题主要考查了频率与频数的关系，以及独立性检验应用问题，是基础题．
 

11.【答案】ABD
 

【解析】解：平面即为平面，，平面，平面，平面，故A正确；
平面，以为球心、为半径的球面与该正方体侧面的交线即为以为圆心，
1为半径的圆在面内的部分，故其交线长为，故B正确；
点F是平面ABCD内一点，


的最小值即为P到面ABCD的距离，即过点P向BD作垂线，垂足即为F，
把平面绕旋转平与在同一平面内，如图所示，

由正方体的可知，
又，
又，的最小值即为E到BD的距离，的最小值为故C错误，D正确．
故选：
利用线线平行可得线面平行可判断A，求出球面与面的交线长可判断B，求出的最小值可判断C，
本题考查线面平行的证明，点运动和轨迹问题，距离和的最小值的求法，属中档题．
 

12.【答案】BCD
 

【解析】解：设，，，，，，
直线的方程为，
则直线的方程为，
将直线的方程代入，化简整理可得，，
则，，
故，
所以，，
因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，点M到直线l的距离，
又因为，
所以，故A错误，
因为，
所以以为直径的圆的圆心M到直线l的距离为，
故为直径的圆与l相切，故B正确，
同理，
所以，，，
则，当且仅当时，等号成立，故C正确，
，
设，
则，，，
当时，即，最小，这时，故D正确．
故选：
对于A，设直线方程，并联立抛物线，再结合韦达定义，以及抛物线的定义，即可求解，
对于B，利用抛物线的定义可得，，即可求解，
对于C，结合基本不等式的公式，即可求解，
对D，求出的表达式，采用换元法，以及二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查直线与抛物线的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于难题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：向量，，，
，解得
故答案为：
根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：函数恒过点，且其图象开口向上，的零点为1，
当的零点至少有一个大于或等于1时，如图所示：

函数的零点至多有2个，不符合题意，
故要使恰有3个零点，则函数在区间上存在两个零点，如图所示：

故，解得，
即实数a的取值范围是
故答案为：
分析函数的零点情况，可确定符合题意的情况，从而得到不等式组，解得答案．
本题主要考查函数零点问题，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：因为直线AB过原点，由椭圆及直线的对称性可得，

所以，
设右焦点，连接，，又因为，可得四边形为矩形，
即，且，
在中，，
，
由椭圆的定义可得，
所以，
因为，故，
所以离心率
故答案为：
由椭圆的对称性，取椭圆的右焦点，由题意可得四边形为矩形，求出，用2c表示的代数式，由椭圆的定义可得2a与2c的关系，由，进而求出离心率．
本题考查椭圆的对称性，椭圆的简单性质的应用，三角函数的化简求值，属于中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：由题意知：，
则：，
其中，，
当时，，，，当时，；，；
在区间上有且只有一个极大值点，
所以，
解得；
即，
所以；
当时，，此时；此时有两个极值点，故舍去；
当时，，此时；此时有一个极值点，故成立；
所以的最大值为
故答案为：
直接利用，求出和的表达式，进一步利用在区间上有且只有一个极大值点，再利用分类讨论思想的应用求出的值，最后求出的最大值．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的求法，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题意，设等比数列的公比为q，
则，即，
，
，即，
解得，
，
证明：由，
可得，
故



，
不等式对恒成立．
 

【解析】先设等比数列的公比为q，然后根据已知条件计算出首项与公比q的值，即可计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和的表达式，再根据不等式的性质即可证明结论成立．
本题主要考查数列求通项公式，以及求和不等式的证明问题．考查了方程思想，转化与化归思想，裂项相消法，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 

18.【答案】解：中，因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，
所以；
由，，
根据正弦定理得，
所以，，
所以，
又，
所以当时，周长取得最大值为
 

【解析】利用正弦定理和余弦定理求得的值，从而求得A的值；
由正弦定理求出b、c的表达式，再利用三角函数求的最大值．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．
 

19.【答案】解：证明：四边形是菱形，，，
因为平面平面，平面平面，
平面ABC，；
，，又，且，平面，
平面；
如图，连接BO，

，，O是AC的中点，，又，
又平面平面，平面平面，
平面，
设，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，可得，
设平面的一个法向量为，
则，取，可得，
，，
二面角的余弦值为
 

【解析】先通过面面垂直得线面垂直得平面ABC，再由线面垂直得线线垂直可证，由，可证，结合，再通过线线垂直得线面垂直证明平面即可；
如图，连接BO，可证平面，设，建立空间直角坐标系，求平面与平面的一个法向量，利用向量法求二面角的余弦值．
本题考查线面垂直的证明，面面角的求法，属中档题．
 

20.【答案】解：依题意有，，
，
又事件C与D相互独立，
则，
所以；
设A组中服用甲种中药康复的人数为，则，
所以，
设A组的积分为，则，
所以，
设B组中服用乙种中药康复的人数为，则的可能取值为：0，1，2，3，
，
，
，
，
故的分布列为：

所以，
设B组的积分为，则，
所以，
因为，所以甲种中药药性更好．
 

【解析】分别计算出示A组中恰好有1人康复，B组中恰好有1人康复的概率，根据相互独立事件同时发生的概率的计算方法，求得答案；
根据二项分布的期望公式求得A组中服用甲种中药康复人数积分的期望值，再计算出B组中服用乙种中药康复人数积分的期望值，比较可得答案．
本题考查了离散型随机变量的期望计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：依题意，得，解得，
所以双曲线C的方程是
证明：设，，，直线的方程为，
将直线方程代入双曲线方程，化简整理，得，
，
则，
要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，
则应满足 ，即，解得，
由，得，故，
所以，
又，
所以点D的纵坐标为定值
 

【解析】根据双曲线的离心率公式、实轴长的定义进行求解即可；
设出直线的方程与双曲线的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解证明即可．
本题考查了双曲线的标准方程，双曲线中的定值问题，属于难题．
 

22.【答案】证明：当时，，
令，则，
所以在上单调递增，且，
所以，即，
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，所以，
所以当时，有，
所以当时，
解：因为，使恒成立，
令，只需，
即在上恒成立，
整理得，
设，则，
设，又，
可得时，，单调递增，
时，，单调递减，
因此当时，有最小值，
所以在R上单调递增，
所以式即，所以，即，
设，，则，
令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，所以，
所以实数a的取值范围为
 

【解析】通过构造函数利用导数证明、，再利用放缩法进行证明即可；
构造函数，利用二次求导法得到，再通过构造函数，利用导数的性质结合条件求出a的取值范围即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值和不等式的证明，通过构造函数，利用二次求导法是解题的关键，属于难题．