第3讲 长度问题-2022年新高考数学之圆锥曲线综合讲义

第3讲 长度问题

一．解答题（共19小题）

1．已知椭圆，与轴不重合的直线经过左焦点，且与椭圆相交于，两点，弦的中点为，直线与椭圆相交于，两点．

（1）若直线的斜率为1，求直线的斜率；

（2）是否存在直线，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由已知可知，又直线的斜率为1，所以直线的方程为，

设，，，，

由解得或，

所以中点，

于是直线的斜率为．

（2）假设存在直线，使得成立．

当直线的斜率不存在时，的中点，

所以，，矛盾；

故直线的斜率存在，可设直线的方程为，

联立椭圆的方程，得，

设，，，，则，，

于是，

点的坐标为，．

直线的方程为，联立椭圆的方程，得，

设，，则，

由题知，，

即，

化简，得，故，

所以直线的方程为，．

2．已知椭圆的离心率为，经过左焦点的直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，且点在线段上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若，求直线的方程．

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为，

由已知可得，且，

所以，即有，

则椭圆的方程为；

（Ⅱ）由题意可知直线斜率存在，可设直线，

由消，并化简整理得，

由题意可知△，设，，，，

则，

因为点，都在线段上，且，

所以，即，，，

所以，即，

所以，

解得，即．

所以直线的方程为或．

3．已知直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于点，，点为椭圆的左焦点，的周长为8．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点、，，求证：直线与直线的交点在定直线上．

【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，，，

椭圆的标准方程．

（Ⅱ）若直线的斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线与直线相交于点矛盾，所以直线的斜率存在．

令，，，，，，，，，，．

将直线的方程代入椭圆方程得：，

，，．

同理．

由得，此时，△，

直线，

，即点的定直线上．

4．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为、，四边形的面积为4，四边形的面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点，为椭圆上的两个动点，的面积为1．证明：存在定点，使得为定值．

【解答】（1）解：由题意知，

，即，

，即，

又，

解得，，，

椭圆的标准方程为．

（2）证明：当定点为原点时，为定值5．

证明如下：

设，，，，

①当直线的斜率不存在时，，，，即，

，

，，

．

②当直线的斜率存在时，设直线，代入可得，

，

，，

设点到直线的距离为，则，

而，

，

化简得，即，

，

．

综上所述，存在定点，当为原点时，可使为定值．

5．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，若，，成等比数列，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦与，求的取值范围．

【解答】解：（1）易知，得，则，

而，又，得，，

因此，椭圆的标准方程为；

（2）①当两条直线中有一条斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，由题意易得；

②当两条直线斜率都存在且不为0时，由（1）知，

设，、，，直线的方程为，则直线的方程为，

将直线方程代入椭圆方程并整理得：，

显然△，，，

，同理得，

所以，，

令，则，，设，

，所以，，所以，，，则．

综合①②可知，的取值范围是．

6．已知椭圆的中心在原点，左焦点、右焦点都在轴上，点是椭圆上的动点，△的面积的最大值为，在轴上方使成立的点只有一个．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的两直线，分别与椭圆交于点，和点，，且，比较与的大小．

【解答】解：（1）根据已知设椭圆的的方程为，，，

在轴上方使成立的点只有一个，

在轴上方使成立的点是椭圆的短轴的端点，

当点是短轴的端点时，由已知可得，解得，，

椭圆的方程为，

（2）．

若直线的斜率为0或不存在时，，且，或，且，

由，，

．

若的斜率存在且不为0时，设，，

由可得，

设，，，，则，，

，

同理可得，

，

．

综上所述．

7．已知椭圆的右焦点为，上顶点为．过且垂直于轴的直线交椭圆于、两点，若

（1）求椭圆的方程；

  （2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，且分别交直线和直线于、两点，试求的值

【解答】解：（1）易知，，，，，所以，，，

因此，椭圆的方程为；

（2）设直线与椭圆的切点为点，，则直线的方程为，且有，可得，

直线与直线交于点，直线交直线于点．

所以，，，

因此，．

8．已知椭圆，为其右焦点，过垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，以线段，为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求的取值范围．

【解答】解：由已知得，解得，（3分）

椭圆，（4分）

设，，，，，

由已知得，，（5分）

由消去得（6分）

则（7分）

又（9分）

又△，

（10分）

，

，

．（11分）

的取值范围是（12分）

9．已知椭圆的离心率为，一个短轴端点到焦点的距离为2．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知直线，过点作直线交椭圆于不同的两点，交直线于点，问：是否存在常数，使得恒成立，并说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：，解得：，

椭圆的方程为．       （4分）

（Ⅱ） 设直线的方程为，有．

解得点的横坐标，（5分）

将直线代入椭圆方程得：，

由韦达定理，得，，（7分）

所以．（11分）

存在实数，使得恒成立（12分）

10．已知为坐标原点，椭圆的短轴长为2，为其右焦点，为椭圆上一点，且与轴垂直，．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于不同的两点、，若以为直径的圆恒过原点，求弦长的最大值．

【解答】解：（1）由已知得，，

又，，

椭圆的方程为（5分）

（2）当直线的斜率不存在或斜率为零时，易知；（7分）

当直线的斜率存在且不为零时，

直线，互相垂直且由图象的对称性知，直线，为椭圆有四个交点，从中任取两点作弦长所得的值相等．

设直线方程为：

联立：解得：

不妨取，同理取

则

，

综上 可知：（12分）

11．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是有一个角为的等腰三角形的三个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点．

（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；

（Ⅱ）斜率为2的直线与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点，证明：存在常数，使得成立，并求的值．

【解答】解：（Ⅰ）由已知，，则椭圆的方程为，

联立方程组得．①

方程①的判别式为△，由△，得，

此方程①的解为，所以椭圆的方程为，

点的坐标．                                     （4分）

（Ⅱ）由已知可设直线的方程为，

联立方程组得

所以点坐标为，

．   （6分）

设点，的坐标分别为，，，．

由方程组可得．②

方程②的判别式为△，由△，解得．

由②得．（8分）

所以，

同理，

所以

，（10分）

故，

存在常数，使得成立．（12分）

12．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点．

（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；

（Ⅱ）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点．证明：存在常数，使得，并求的值．

【解答】解：（Ⅰ）依题意可知，，可设椭圆方程为，

即，代入，整理得，

由△，得，

故椭圆的方程为．

点的坐标为．

（Ⅱ）设直线，设，，，，

由，得，故．

由，得，

△，

则，．，

同理，

，

．

故存在常数，使得．

13．已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，．

（Ⅰ）当，时，求的面积；

（Ⅱ）当时，求的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）方法一、时，椭圆的方程为，，

直线的方程为，代入椭圆方程，整理可得，

解得或，则，

由，可得，

由，，可得，

整理可得，由无实根，可得，

即有的面积为；

方法二、由，可得，关于轴对称，

由．可得直线的斜率为1，直线的方程为，

代入椭圆方程，可得，

解得或，，，，，

则的面积为；

（Ⅱ）直线的方程为，代入椭圆方程，

可得，

解得或，

即有，

，

由，可得，

整理得，

由椭圆的焦点在轴上，则，即有，即有，

可得，即的取值范围是，．

14．如图，设椭圆，动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限．

（Ⅰ）已知直线的斜率为，用，，表示点的坐标；

（Ⅱ）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为．

【解答】解：（Ⅰ）设直线的方程为，由，消去得

．

由于直线与椭圆只有一个公共点，故△，即，

此时点的横坐标为，代入得

点的纵坐标为，

点的坐标为，，

又点在第一象限，故，

故，

故点的坐标为，．

（Ⅱ）由于直线过原点且与直线垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离

，

整理得：，

因为，所以，当且仅当时等号成立．

所以，点到直线的距离的最大值为．

15．过椭圆的左焦点作直线交椭圆于，两点，其中，另一条过的直线交椭圆于，两点（不与，重合），且点不与点重合．过作轴的垂线分别交直线，于，．

（1）求点坐标和直线的方程；

（2）比较线段和线段的长度关系并给出证明．

【解答】解：（1）由题意可得直线的方程为．与椭圆方程联立，由可求，，

（2）线段和线段的长度为．

证明：当与轴垂直时，，两点与，两点重合，由椭圆的对称性，．

当不与轴垂直时，

设，，，，的方程为．

由，消去，整理得．

则，．

由已知，，①

则直线的方程为，令，

得点的纵坐标．

把代入得．

由已知，，则直线的方程为，

令，得点的纵坐标．

把代入得．

，

将①代入到中，

．

即，即．

16．已知，，当，分别在轴，轴上滑动时，点的轨迹记为．

（1）求曲线的方程：

（2）设斜率为的直线与交于，两点，若，求．

【解答】解：（1）设，，，

由得．

由，得，，，

从而，，

，，

曲线的方程为；

（2），．①

设，，，，

将代入到的方程并整理，可得，

．

，所以和的中点重合，

，②

联立①②可得，故．

17．已知椭圆，点

（Ⅰ）求椭圆的短轴长和离心率；

（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，，设的中点为，判断与的大小，并证明你的结论．

【解答】解：（Ⅰ）椭圆，化为：，故，，，

有，．（3分）

椭圆的短轴长为，离心率为．（5分）

（Ⅱ）结论是：．（6分）

设直线，，，，，

若不存在，直线化为，此时，，，，，

，，满足：．

，整理得：（8分）

△

故，（10分）

（11分）

（12分）

故，即点在以为直径的圆内，故（13分）

18．已知椭圆，它的上，下顶点分别为，，左，右焦点分别为，若四边形为正方形，且面积为2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线，，它们与椭圆分别交于点，，，，且四边形是菱形．求证：

①直线，关于原点对称；

②求出该菱形周长的最大值．

【解答】（1）解：由题意可知，，得，．

椭圆的标准方程为；

（2）①证明：设的方程为，，，，，

设的方程为，，，，，

联立，得，

由△，得，

，，

；

同理，

四边形是菱形，，，

又，，

可得直线，关于原点对称；

②椭圆关于原点对称，，关于原点对称，，关于原点对称，

且，，，

四边形是菱形，，

，即，

，

化简得：．

设菱形的周长为，

则

．

当且仅当，即时取等号，此时，满足．

菱形周长的最大值为．

19．在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为2，倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，且点与坐标原点连线的斜率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，是以为直径的圆上的任意一点，求证：．

【解答】（1）解：由已知，，设，，，．

由，两式相减得．

由已知条件知，，，

，即．

椭圆的标准方程为；

（2）证明：设，

联立，得到．

△，得，且，．

，化简得．

又为弦的中点，，故．

即．

，．