第二十一讲 直线及其方程-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

第二十一讲  直线及其方程

【考点剖析】

1.直线的倾斜角

(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.

(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；

(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).

2.直线的斜率

(1)定义：直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在.

(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝(x1≠x2).若直线的倾斜角为θ(θ≠)，则k＝tan__θ.

3.直线方程的五种形式

【考点剖析】

考点一　直线的倾斜角与斜率　

【例1】 (1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A.    B.

C.    D.

(2)(一题多解)(经典母题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.

【答案】　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)

【解析】　(1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，

因为α∈，所以≤cos α≤，

因此k＝2cos α∈[1，].

设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，].

又θ∈[0，π)，所以θ∈，

即倾斜角的取值范围是.

(2)法一　设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).

当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－].

故斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).

法二　设直线l的斜率为k，则直线l的方程为

y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.

∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，

∴(2k－1－k)(－－k)≤0，

即(k－1)(k＋)≥0，解得k≥1或k≤－.

即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).

【迁移探究1】 若将例1(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.

【解析】设直线l的斜率为k，则直线l的方程为

y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.

∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，

∴(2k－1＋k)(－＋k)≤0，

即(3k－1)(k－)≤0，解得≤k≤.

即直线l的斜率的取值范围是.

【迁移探究2】 若将例1(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围.

【解析】　由例1(2)知直线l的方程kx－y－k＝0，

∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，

∴(2k－1－k)(2k＋1－k)≤0，

即(k－1)(k＋1)≤0，解得－1≤k≤1.

即直线l倾斜角的取值范围是∪.

规律方法　1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的.

2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在.

考点二　直线方程的求法

【例2】 求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；

(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；

(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.

【解析】　(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，

若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，

所以l的方程为y＝x，即x－4y＝0.

若a≠0，则设l的方程为＋＝1，

因为l过点(4，1)，所以＋＝1，

所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.

综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.

(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.

因为tan α＝3，所以tan 2α＝＝－.

又直线经过点A(－1，－3)，

因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，

即3x＋4y＋15＝0.

(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.

又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3).

所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.

规律方法　1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.

2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).

考点三　直线方程的综合应用　

角度1　与不等式相结合的最值问题

【例3－1】 设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.

【答案】　5

【解析】由直线x＋my＝0求得定点A(0，0)，直线mx－y－m＋3＝0，即y－3＝m(x－1)，所以得定点B(1，3).当m＝0时，两条动直线垂直，当m≠0时，因为

m＝－1，所以两条动直线也垂直，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，所以|PA|·|PB|的最大值是5.

角度2　由直线方程求参数范围

【例3－2】 已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.

【答案】　

【解析】　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2(2－a)＋×2(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋，又0<a<2，所以当a＝时，面积最小.

规律方法　与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用均值不等式求解最值.

(2)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或均值不等式求解.

【过关检测】

1．在直角坐标系中，直线经过（    ）

A．一、二、三象限 B．一、二、四象限

C．一、三、四象限 D．二、三、四象限

2．若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

3．过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为（    ）

A．y＝－x＋3 B．y＝x－3

C．y＝x＋3 D．y＝－x－3

4．经过点(－，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（    ）

A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)

C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)

5．点P在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值为（    ）

A． B．2

C． D．2

6．已知直线，若，则m等于（    ）

A．或1 B．或4 C．4 D．1

7．已知，直线上存在唯一点，使得，则的值为（    ）

A． B．或 C．1或 D．

8．直线与连接，的线段相交，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

9．、分别为与上任意一点，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

10．若直线与垂直，则的方程的截距式为（    ）

A． B．

C． D．

11．(多选)下列直线l1与直线l2平行的有（    ）

A．直线l1经过点A(2，1)，B(-3，5)，直线l2过点C(3，-3)，D(8，-7)

B．直线l1经过点A(0，1)，B(-2，-1)，直线l2过点C(3，4)，D(5，2)

C．直线l1经过点A(1，)，B(2，2)，直线l2的倾斜角为60°且过原点

D．直线l1经过点A(0，2)，B(0，1)，直线l2的斜率为0

12．（多选）已知直线，，则（    ）

A．恒过点 B．若，则

C．若，则 D．当时，不经过第三象限

13．已知直线与直线．

（1）若，求m的值；

（2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．

14．已知直线l经过直线与的交点M．

（Ⅰ）若l经过点，求l的方程；

（Ⅱ）若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点，是否存在使面积最小的直线l？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．

15．已知直线l：

（1）若直线l的斜率是2，求m的值；

（2）当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程．