专题02 充分条件、必要条件、全称量词、存在量词（知识精讲） 高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）学案

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一 知识结构图
二.学法指导
1.定义法判断充分条件、必要条件
1确定谁是条件，谁是结论；
2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；
3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件。
2. 充要条件的证明策略
1要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.
2在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
3．利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
1化简p，q两命题；
2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；
3利用集合间的关系建立不等式；
4求解参数范围.
4.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法：
1要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明px成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得px不成立即可这就是通常所说的“举出一个反例”.
2要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使px成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.
5.含有一个量词的命题的否定的方法
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
三.知识点贯通
知识点1 充分条件、必要条件的判断
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
2.若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
3.若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
4、若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
例1.指出下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．
(3)p：a＞b，q：ac＞bc.
【答案】(1)p是q的充分不必要条件；(2)p是q的必要不充分条件；(3)p是q的既不充分也不必要条件．
【解析】(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．
(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．
(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，
故p是q的既不充分也不必要条件．
知识点二 充分条件、必要条件、充要条件的应用
1.记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA.
2.记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．
例题2：已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
【答案】{m|m≥9}
【解析】：因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp.
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,m>0，,1＋m>10，))解得m≥9.
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}
知识点三 充要条件的证明
1.一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地 说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
例题3 .求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
【解析】 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
①证明p⇒q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
②证明q⇒p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
知识点四 全称量词命题和存在量词命题的判断
1.全称量词与全称量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．
2．存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．
例题4．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使eq \f(1,x－1)＝0；
(3)对任意实数a，|a|＞0；
(4)有一个角α，使sin α＝eq \f(1,2).
【解析】(1)是全称量词命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使eq \f(1,x－1)＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．
(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝eq \f(1,2)，所以该命题是真命题．
知识点五 含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；
存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
例5.(1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为( )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
【答案】(1)C (2)D
【解析】(1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，￢p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.
(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．
五 易错点分析
易错一 充要条件的证明
例题6.试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
【解析】①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝eq \f(c,a)＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.
②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝eq \f(c,a)＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
误区警示
证明p是q的充要条件要注意充分性与必要性的证明方向，必要性证明的是必要条件，充分性证明的是充分条件。
内 容
考点
关注点
充分条件、必要条件、全称量词、存在量词
充分条件、必要条件
谁是条件，谁是结论
充要条件
充分性与必要性的证明方向
含有一个量词的命题的否定
量词改变，结论否定